3.转化的思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想,在研究数学问题时,我们通常
是将未知的问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转
化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题等,我们也常常在不同的数学问题之间互
相转化,可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。
一:【要点梳理】
将未知解法或难以解决的问题,通过观察、分析、类比、联想等思想的过程,选择运
用的数学方法进行交换,化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题思想叫做
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转化与化归的思想,转化与化归思想的实质是揭示联系,实现转化。
除简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的,化
归月转化思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程,
数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,空间向平面的
转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,函数与方程的转化,无限
向有限的转化等,都是转化思想的体现。熟练,扎实的掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础;丰富的联想,机敏细
微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁;培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对
定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识
的去发现事物之间的本质联系。“抓基础,重转化”是学好中学数学的金钥匙。
二:【例题与练习】
1.已知实数x满足,那么的值是( )
A.1或-2; B. -1或2; C. 1 ; D.-2
2.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S
3表示,则不难证明S1=S2=S3
(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,
S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系(不求证明)?
(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别为S1,S
2,S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系,并加以证明。
(3)若分别以直角三角形ABC三边为边想外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,
S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条
件?证明你的结论;
(4)类比(1)(2)(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论。
3.如图①所示,一张三角形纸片ABC,角ACB=90,AC=8,BC=6,沿斜边AB的中线CD把这张
纸片剪成三角形AC1D1和三角形BC2D2两个三角形(如图②所示),将纸片三角形AC1D
1沿直线D2B(AB方向平移0(点A,D1,D2,B始终在同一直线上),当点D1与点B重合
时,停止平移,在平移过程中,CD1与BC2,交于点E,AC1与C2D2,BC2分别交于点F,
P
(1)当三角形AC1D1平移到如图③所示的位置时,猜想图中的D1E与D2F的数量关系,并加
以证明你的猜想
(2)设平移距离D2D1为X,三角形AC1D1与三角形BC2D2重叠部分面积设为y,请你写出y
与x的函数关系式,以几自变量的取值范围;
(3)对与(2)中的结论,是否存在这样的x的值,使重叠部分的面积等于原三角形ABC
的1/4/?若存在,求x的值:若不存在,请说明理由。
4.如图,在宽为20m,长32m
的矩形地面上修筑同样宽的道路(如图阴影部分),余下的部分种上草,要使草坪的
面积为540m2.求道路的宽17如图反比例函数与一次函数y=-
x+2的图像交于A,B两点
(1)求A,B两点坐标
(2)求三角形AOB的面积
5.如图,在直角坐标系中,点O’的坐标为(2,0),圆O与x轴交于原点O和点A,又B,
C,E三点坐标分别为(-1,0),(0.3),(0,b),且0<b<3
(1)求点A的坐标和经过点B,C两点的直线的解析式
(2)当点E在线段OC上移动时,直线BE与圆O有哪几种位置关系?并求出这种位置关系b
的取值范围。
6.已知
7.如图,把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形,接着把面积为
的矩形等分成两个面积为的正方形,再把面积为的正方形等分成两个面积为
的矩形,如此进行下去……试利用图形揭示的规律计算:
8.解方程:
9.△ABC中,BC=,AC=,AB=c.若,如图l,根据勾股定理,则
。若△ABC不是直角三角形,如图2和图3,请你类比勾股定理,试猜想与c2的关系
,并证明你的结论.
10.已知:如图所示,在△ABC中,E是BC的中点,D在AC边上,若AC=1且∠BAC=60°,∠ABC
=100°,
∠DEC=80°,求:.>>收起