北师大版数学中考专题复习------动态几何
图形的运动变化问题。
【典型例题】
例1.
已知；⊙O的半径为2,∠AOB＝60°，M为的中点，MC⊥AO于C,MD⊥OB于D，求CD的长。
分析：连接OM交CD于E，
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∵∠AOB＝60°，且M为中点
∴∠AOM＝30°，又∵OM＝OA＝2
∴
∴
例2. 如图，AB是 ⊙O的直径，⊙O过AE的中点D，DC⊥BC，垂足为C。
（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程
中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）（2）若∠ABC为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并
画出图形。（要求：写出6个结论即可，其它要求同（1））
分析：（1）AB＝BE
DC＝CE
∠A＝∠E
DC为⊙O切线
（2）若∠ABC为直角
则∠A＝∠E＝45°，DC＝BC
DC∥AB，DC＝CE，BE为⊙O的切线
例3.
在直径为AB的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，现要
建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如图的设计方案是AC＝8，BC＝6
。
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DN＝x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
分析：（1）∵AB为半圆直径
∴∠ACB＝90°
∵AC＝8，BC＝6
∴AB＝10
∴△ABC中AB边上高h＝4.8m
（2）设DN＝x，CM＝h＝4.8
则MP＝x
当时，水池面积最大。
例4.
正方形ABCD的边长为6cm，M、N分别为AD、BC中点，将C折至MN上，落在P处，折痕BQ交M
N于E，则BE＝______cm。
分析：△BPQ≌△BCQ
BP＝BC＝6
连接PC，∵BP＝PC（M、N为中点）
∴△BPC为等边三角形
∴∠PBC＝60°，
又∵
∴在Rt△BEN中，BN＝3
∴
例5.一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线
从A点到B点经过的路线长是 。
分析：A（0，1），B（3，3），则OA＝1
过B作BM⊥x轴于M
则BM＝3，OM＝3
又∵AC与CB为入射光线与反射光线
∴∠AOC＝∠BCM
∴△AOC∽△BMC
∴
∴
∴
∴
同理：BC
∴
例6. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD－BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出
这个等量关系，并加以证明。
分析：（1）AD⊥MN
BE⊥MN
∴∠ADC＝∠CEB＝90°
∴∠DAC＋∠DCA＝90°
又∵∠ACB＝90°
∴∠DCA＋∠ECB＝90°
∴∠DAC＝∠ECB
∵AC＝BC
∴△ADC≌△CEB
∴DC＝BE
AD＝CE
∴DE＝DC＋CE
＝BE＋AD
（2）与（1）同理
△ADC≌△CEB
∴CD＝BE
AD＝CE
∵DE＝CE－CD
＝AD－BE
（3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时
与（1）（2）同理可知
CE＝AD，BE＝CD
∵DE＝CD－CE
＝BE－AD
例7.
把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且
使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转
（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如
图②）。
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明
你发现的结论；（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH＝，△GKH的面积为，求与
之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？
若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由。
分析：（1）在上述旋转过程中，BH＝CK，四边形CHGK的面积不变.
证明：连结CG
∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点
∴CG＝BG,CG⊥AB
∴∠ACG＝∠B＝45°
∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，
∴∠BGH＝∠CGK
∴△BGH≌△CGK
∴BH＝CK,S△BGH＝S△CGK
∴S四边形CHGK＝S△CHG＋S△CGK
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