中考分 类 讨 论题型整编
【知识整合创新】
整体感悟：分类讨论问题是创新性问题之一，此类题综合性强，难题较大，在各地中
考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有选拔性。目前，中考试卷中，
觉见的需分类讨论的知识点有三大类：
1．代数类：代数有绝对值、方程及根的定义，函数的定义以及点（坐标未给定）所
在象限等.
2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应
情况等.
...
点击查看全部>>
>
3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.
特例探究：以性质、公式、定理的使用条件为标准分类的题型.
中考高分解密：
题型1.考查数学概念及定义的分类
规律提示:熟练掌握数学中的概念及定义，其中以绝对值、方程及根的定义，函数的定义
尤为重要，必须明确讨论对象及原因，进而确定其存在的条件和标准。
考题1．求函数的图象与x轴的交点？
名师点拔：二次项系数中含有参数k，此函数可能是二次函数，也可能是一次函数，故应
对分类讨论.
解：（1）当时，即时，此函数为，故其与x轴只有一个交点（1，0
）
（2）当时，此函数为二次函数，.①当时，Δ＝0.抛物线与x轴的交点
只有一个.，交点坐标为（1，0）②当时，Δ＞0，函数与x轴有两个不同的交点
..
综合所述：当或时，函数图像与x轴只有一个交点（1，0）；当且
时，函数图像与x轴有两个不同交点.
变式思考1已知关于x的方程
（1）若方程有实数根，求k的取值范围
（2）若等腰三角形ABC的边长a=3，另两边b和c恰好是这个方程的两个根，求ΔABC的周长
.
易误点睛：根据方程定义确定方程到底是一次方程还是二次方程，同时应注意的是第（
2）问中并无说明哪两边是ΔABC的腰，故应考虑其所有可能情况.
题型2：考查字母的取值情况或范围的分类.
规律提示：此类问题通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应
十分注意性质、定理的使用条件及范围.
考题2．（2004，河南）如图（1）边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2）一
次函数的图像随的不同取值变化时，位于的右下方由和正方
形的边围成的图形面积为S（阴影部分）.
（1）当取何值时，S＝3？
（2）在平面直角坐标系下（图2），画出S与的函数图像.
名师点拔：设与正方形ABCD的交点为M，N，易知ΔDMN是等腰RtΔ，只有当MD＝
时，，那么，此时求得，第（2）问中，随着的变化，S的表达式
发生变化，因而须分类讨论在不同取值时S的表达式，进而作出图像.
解：（1）设与正方形ABCD的交点为M，N，
∵的解析式，在x轴，y轴上所截线段相等.
∴ΔDMN为等腰RtΔDMN
∵S＝3，∴
又∵
∴MD＝ND＝，∴ON＝OD－DM＝4－，
即D点的坐标为（0，4－）
∴，即当时，S＝3.
（2）∵直线与轴的交点M的坐标为
∴当0≤t＜2时，
当2≤t＜4时，
当t≥4时，S＝4
根据以上解析式，作图如下图（图2）
变式思考2 （2004 资阳）如图所示，在平行四边形ABCD中， ，
∠A＝60°，BD⊥AD，一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿的路线匀速运动，过点P作
直线PM，使PM⊥AD.
（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；
（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿的路线运动，且在AB上以每秒1cm的
速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动.过Q作直线QN，使QN//PM.设点Q运动的
时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2.
①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值.
易误点睛：讨论变量的取值范围，是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取
值须符合题意，逐层分析.
题型3．考查图形的位置关系或形状的分类.
规律提示：熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的
特殊性质，找准讨论对象，逐一解决.
考题3．（2004 上海）在ΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，圆A的半径为1，如图所
示，若点O在BC边上运动，（与点B和C不重合），
设BO＝x，ΔAOC的面积为.
（1）求关于的函数解析式，并写出函数的定义域.
（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O
与圆A相切时ΔAOC的面积.
名师点拔：（1）过点A作AD⊥BC于D点 ∵AB＝AC＝
∴AD＝=2
∴OC=BC－BO=4－x，故ΔAOC的面积与的函数解析式为即 （2）由
于圆与圆相切有两种情况：外切和内切，故解题中须分类讨论.
解：（1）过点A作AD⊥BC于点D.
∵∠BAC=90° AB=AC= ∴BC=4 AD＝BC＝2
∴
即
（2）当点O与点D重合时，圆O与圆A相交，不合题意；当点O与点D不重合时，在RtΔAOD中
，
∵⊙A的半径为1，⊙O的半径为x
∴①当⊙A与⊙O外切时
解得
此时，ΔAOC的面积
②当⊙A与⊙O内切时， 解得
此时ΔAOC的面积
∴当⊙A与⊙O相切时，ΔAOC的面积为.
变式思考3（2003 南京）如图，直线与x轴，y轴分别交于点M，N
（1）求M，N两点的坐标；
（2）如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，
为半径的圆与直线相切，求点P的坐标.
易误点睛：本题是一道函数与圆的综合题，注意第（2）
小问涉及到分类讨论，与直线相切时的情况，本题可分为两大类，四小类，切勿漏掉，
解决此类问题关键是把握标准，正确的分类.
题型4.考查图形的对应关系可能情况的分类
规律提示：图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关
角、边的可能对应情况加以分类讨论.
考题4（2004 福州）如图所示，抛物线的顶点为A，直线与y轴的交点为B，
其中m＞0.
（1）写出抛物线对称轴及顶点A的坐标
（用含有m的代数式表示）
（2）证明点A在直线上，并求∠OAB的度数.
（3）动点Q在抛物线的对称轴上，则抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三
角形与△OAB全等？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在
，说明理由.
名师点拨：（1）对称轴，顶点A（m,0）（2）把x＝m代入得 ∴点A（
m,0）在直线上，直线与y轴相交，则B点的横坐标为：；B点坐标为
，由三角函数知识可得：
即∠OAB＝60° （3）因为全等的对应关系，因而需进行分类论，找准对应关系，从而解
决问题。
解：（1）对称轴为直线，顶点A（m，0）
（2）把代入函数
∴点A（m,0）在直线上.当x=0时，
∴ ∴∠OAB=60°
(3)如图，以P、Q、A为顶点的三角形与ΔOAB全等，共有以下4种情况：
① ∴点的坐标为，代入抛物>>收起
