| 家教张老师的文章列表 |
|---|
高中数学解题通法理论研究与实例（一） [高中数学]
发表于：2013-08-26 阅读：316次
《中学数学教育学新论》将数学思想定义蕴含在数学知识产生、发展及运用的全过程中的，为现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果。高中数学常见的基本数学思想符号与变元表示的思想，集合思想、对应思想、公理化与结构思想，数形结合，特殊与一般，对立统一，等价转化与化归思想。第一类是宏观型思想方法，包括抽象概括、化归、数学模型、数形结合、归纳猜想等；第二类是逻辑型思想方法，包括分类、类比、完全归纳法、特殊化等。 《中学数学教学参考》中由通法的相对性将通法的特点概括为以下几点： 1、概括性：解决数学问题的过程实际是概括化地解决问题的过程，即从一般形式(通 法)解答特殊的问题。所以通法具有概括性。实际通法的形成过程是从某一类问题中概 括出共同的相通性(一般形式)。运用通法的过程是从概括出来的一般形式去考虑具体的 问题。 2、隐蔽性：任何通法都不是显而易见的，是人们把隐蔽在某一类问题内部的普遍 规律通过数学思维揭示出来，并经过归纳和总结，形成这类问题的通用解法。所以通法 具有隐蔽性。 3、发展性：通法的隐蔽性说明了以下两点：现有的通法是逐渐被挖掘出来的，而 暂被埋没的通法需要我们去挖掘。这两点体现了通法的发展性。也就是说，从通法发展 的历史看，现有的通法是人们在对它认识的基础上，逐渐发展起来的；另外，从人们对 它认识的程度看，我们还需不断完善和总结出新的通法。 4、层次性：数学方法具有层次性，数学通法自然也就具有层次性。通法的这一特 点应该有如下两个方面的内容： 从横向看，通法的层次可分为直接通法和间接通法。从纵向看，通法可分为较低层次、较高层次和高层次的通法。 5、通法的多样性：因为通法具有发展性、相对性及层次性，所以通法具有多样性。 通法常常从基本概念、原理出发，以基础知识为依托、以基本方法为技能，按照既定的步骤，逐步推出问题和解答，解法思想顺乎一般思维规律。 解题通法的层次性：与某些特殊问题联系在一起的方法，我们可以将它称为“解题术”，解决一类问题时可以采用的共同方法，我们将其称为“解题通法”（代入法、消元法、配方法、割补法），是数学思想，这是人类对数学及其对象，对数学的概念、命题、法则、 原理以及数学方法的本质性认识，数学观念。普通高中数学课程标准中提出一个现代数学教学理念：要与时俱进地认识“双基”，要强调对数学本质的理解，注意适度的形式化。在教学中将这些解题通法系统地渗透、训练以及综合提高，使学生在知识、技能学习的过程中熟练地掌握，对数学教育质量的提高必将起到重要作用。 通法与巧法的对立统一关系：标准来区分它们： (1)按可操作性的强弱程度分，具有较强操作程序的称为通法，程序性较弱的称为巧 法。 (2)按流传时间长短分．把长的称为通法，而短的称为巧法； (3)按方法适用面的大小分，把大的称为通法、较小的称为巧法； (4)按书写、运算的简繁分，把解决问题时书写长、运算繁的方法称为通法，而把简 捷的称为巧法； (5)按是否被推广、公认分，把被推广和公认的方法称为通法．而暂时还未被推广和 公认的方法称为巧法； (6)按掌握人数多少分，把多的称为通法，而少的称为巧法 (7)按学习和运用该方法的难易程度分，把易的称为通法，而难的称为巧法； (8)按思维类型分，把用定势思维来解决问题的方法称为通法、而把需要用发思维和 创造性思维来解决问题的方法称为巧法。 近几年高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，强调“注意通性通法，淡化特殊技巧”。有一定难度的题，一般用的都是最常规的性质、方法，就是说高考最重视的是具有普遍意义的方法和相关的知识。学习中应帮助学生掌握通性、通法，使学生学到有价值的数学，以达到理解数学本质的目标；在此基础上，适当地介绍一些巧法，以吸引多数学生的兴趣，给一些具有数学潜能的学生以示范，这样用辩证的观点看待通法和巧法，并有机结合，才能充分发挥通法和巧法各自的教学功能。 中学数学解题通法的举例： 求数列通项公式的通法： 数列在高考数学试卷中占有重要的地位，它的命题也开始与函数、方程、不等式、 排列组合、二项式定理等知识联系，不管命题形式如何变化，解决数列问题的前提多是 确定通项公式，即便是在新课程背景下也是万变不离其中的，这就使得数列通项公式的 求解方法显得突出重要。下面仅从近两年高考有关求数列通项公式问题列举，谈谈求数 列通项三种重要的通法的应用。 数列通项公式的求解方法有很多，如观察法、累加法、累乘法、待定系数法、递推 公式法、归纳猜想法、由 畴：①归纳猜想法；②构造新数列法；③迭代法。 1. 猜想归纳法 猜想归纳法：利用已知条件先确定数列的前几项，而后综合运用观察法，从中找出 规律性的结论，归纳猜想得出 运用此方法需要熟悉特殊数列和常见数列的形式及结构，并尽量将该数列的前几项的形 式写得恰到好处，要是计算出具体的结果规律反而不容易看出来。 2构造新数列法 构造新数列法：根据已知条件确定数列的递推关系式，进而得出关于
3. 迭代法 迭代法：利用数列的递推关系式可整理出能进行累加、累乘或层层代入等形式确定 数列通项公式的方法。此法要求考生掌握一定的数列求和方法，如等差等比数列的公式 法，倒序相加法，错位相减法等。 递推关系中是关于
数列的相关知识时，由于题设条件给出的形式或结构不同而产生的，求数列通项公式的 通法体现的是转化与化归的数学思想方法，即将不熟悉形式的转化为熟悉的。所以解答 有关求数列通项公式的问题时，应多角度观察，勤思考，才能获取解题思路，进而恰当 地选择适合题目的通法。 求弦类函数的值域的通法 （1）弦类一次函数 (2)弦类二次函数：
利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通 法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。 函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式 f ( x ) > g ( x)( f ( x ) < g ( x))的问题转 化为证明 f ( x ) − g ( x) > 0( f ( x ) − g ( x) < 0)，进而构造辅助函数 h ( x ) = f ( x ) − g ( x)，然后利用导数证明函数 h ( x )的单调性或证明函数 h ( x )的最小值(最大值)大于或等于零(小于或等于零)。证明函数类不等式时，构造辅助函数比较容易，只需将不等式的其中一边变为 0，然后另一边的函数作为辅助函数，并利用导数证明其单调性或其最值，进而构造 我们所需的不等式的结构即可。 常数类不等式证明的通法可概括为：证明常数类不等式的问题等价转化为证明不等 式f ( a ) < f (b )的问题，在根据 a ,b 的不等式关系和函数 f ( x )的单调性证明不等式。利用导数证明常数类不等式的关键是经过适当的变形，将不等式证明的问题转化为函数单调性证明问题，其中关键是构造辅助函数，如何构造辅助函数也是这种通法运用的难点和关键所在。 求曲线方程通法 求曲线方程的一般方法： (1)定义法：如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、 抛物线)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得 到轨迹方程，也有人将此方法称为待定系数法。 (2)直译法：如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断， 但点 P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系，再 用点 P 的坐标(x，y)表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 (3)参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个 几何量 t，以此量作为参变数，分别建立 P 点坐标 x，y 与该参数 t 的函数关系 x＝f(t)， y＝g(t)，进而通过消参化为轨迹的普通方程 F(x，y)＝0。 (4)代入法(相关点法)：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点 的运动规律已知，(该点坐标满足某已知曲线方程)，则可以设出 P(x，y)，用(x，y)表示 出相关点 P'的坐标，然后把 P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。 |
确定关于
的等式法等，这些都可纳入以下三种通法的范
或其相关项，然后用数学归纳法证明猜想结论的正确性。
的某个新数列的表达式，它可看作是等差数列或等比数列，再应用题设确定新数列的通项公式，最后求出
的通项公式。
的一次式与
的二次式，此类问题通常有两种方法解：①转化成对数式进而构成等比数列；②采用迭代法层层代入，对于不能直接得到类似等差或等比数列的形式的数列，我们认为采用层层代入的方法是最简洁的。此外，迭代法也包括累加法、累乘法，对于已知或可推出
型的数列，若数列{ f (n)}可求和，将条件转化为 
，把这 n −1个等式利用用累加法累加就可求出数列{
}的通项公式，其中右侧的 f (n)不仅可以是等差数列，还可以是等比数列，或是可以裂项求和的数列结构：
以上求数列通项公式的方法，究其本质是利用我们在学习特殊数列等差数列与等比
值域求法：根据正弦函数的有界性，易知其值域为[ − A + B , A + B]
