高中数学函数知识点总结

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

函数定义域求法：
 分式中的分母不为零；
 偶次方根下的数（或式）大于或等于零；
 指数式的底数大于零且不等于一；
对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
 正切函数
 余切函数
 反三角函数的定义域
函数y＝arcsinx的定义域是 [－1, 1]　 ，值域是 ，函数y＝arccosx的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y＝arctgx的定义域是 R ，值域是 .，函数y＝arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
10. 如何求复合函数的定义域？
复合函数定义域的求法：已知 的定义域为 ，求 的定义域，可由 解出x的范围，即为 的定义域。
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y= 的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y= -2x+5，x [-1，2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

13. 反函数存在的条件是什么？
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）


14. 反函数的性质有哪些？
反函数性质：
1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）
2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）
3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称
①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
②保存了原来函数的单调性、奇函数性；


15 . 如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
判断函数单调性的方法有三种：
(1)定义法：
根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系
可以变形为求 的正负号或者 与1的关系
(2)参照图象：
①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）
②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）
(3)利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。
③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）
④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）
⑤函数f(x)与 在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）
⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f－1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正数
增 增 增 增 增
增 减 减 / /
减 增 减 / /
减 减 增 减 减













∴……）


17. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）


判断函数奇偶性的方法
一、 定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.
二、 奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算 ，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

三、 复合函数奇偶性

f(g) g(x) f[g(x)] f(x)+g(x) f(x)*g(x)
奇 奇 奇 奇 偶
奇 偶 偶 非奇非偶 奇
偶 奇 偶 非奇非偶 奇
偶 偶 偶 偶 偶









18. 你熟悉周期函数的定义吗？

函数，T是一个周期。）


我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导： ，
同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。
如：


19. 你掌握常用的图象变换了吗？
联想点（x,y）,(-x,y)
联想点（x,y）,(x,-y)
联想点（x,y）,(-x,-y)
联想点（x,y）,(y,x)
联想点（x,y）,(2a-x,y)
联想点（x,y）,(2a-x,0)


（这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）
注意如下“翻折”变换：





19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

(k为斜率，b为直线与y轴的交点)

的双曲线。






应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程


②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。






由图象记性质！ （注意底数的限定！）


利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？（均值不等式一定要注意等号成立的条件）












20. 你在基本运算上常出现错误吗？







21. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）







（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了
1、 代y=x，
2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)
3、 求奇偶性，令y=—x；求单调性：令x+y=x1

几类常见的抽象函数
1. 正比例函数型的抽象函数
f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）
2. 幂函数型的抽象函数
f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（ ）＝
3. 指数函数型的抽象函数
f（x）＝ax------------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝
4. 对数函数型的抽象函数
f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x•y）＝f（x）＋f（y）；f（ ）＝ f（x）－f（y）
5. 三角函数型的抽象函数

f（x）＝tgx-------------------------- f（x＋y）＝
f（x）＝cotx------------------------ f（x＋y）＝

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.
分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.
分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；
（3）若a≥0且f（a＋1）≤ ，求a的取值范围.
分析：（1）令y＝－1；
（2）利用f（x1）＝f（ •x2）＝f（ ）f（x2）；
（3）0≤a≤2.

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：
（1）f（0）；
(2)对任意值x，判断f（x）值的符号.
分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.

例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.
分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明.

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x•y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：
（1） f（1）；
（2） 若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.
分析：（1）利用3＝1×3；
（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）•g（b）是否正确，试说明理由.
分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，
进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….

例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：
① x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝ ；
② f（a）＝ －1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③ 当0＜x＜2a时，f（x）＜0.
试问：
（1） f（x）的奇偶性如何？说明理由；
（2） 在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由.
分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数；
（3） 先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.
对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.
例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），
（1） 求证：f（1）＝f（－1）＝0；
（2） 求证：f（x）为偶函数；
（3） 若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－ ）≤0.
分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0）
（1） 先令x＝y＝1，再令x＝y＝ －1；
（2） 令y＝ －1；
（3） 由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.

例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）•f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：
（1） 当x＞0时，0＜f（x）＜1；
（2） f（x）在x∈R上是减函数.
分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；
（3） 受指数函数单调性的启发：
由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝ ，
进而由x1＜x2，有 ＝f（x1－x2）＞1.
练习题：
1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ）
（A）f（0）＝0 （B）f（0）＝1
（C）f（0）＝0或1 （D）以上都不对
2. 若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（ ）
（A）f（1）＝0 （B）f（ ）＝ f（x）
（C）f（ ）＝ f（x）－f（y） （D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）
3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（ ）
（A）（1，＋∞） （B）（－∞，1）
（C）（0，1） （D）（－1，＋∞）
4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有
f（x1－x2）＝ ，则f（x）为（ ）
（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（ ）
（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
参考答案：
1．A 2．B 3 ．C 4．A 5．B