高考数学―压轴题跟踪演练 [随笔杂谈]

发表于：2013-09-25 阅读：31次

高考数学―压轴题跟踪演练

1.已知不等式 为大于2的整数， 表示不超过 的最大整数. 设数列 的各项为正，且满足

   （Ⅰ）证明

（Ⅱ）猜测数列 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；

（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当 时，对任意b>0，都有

本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.

   （Ⅰ）证法1：∵当

即 于是有 

所有不等式两边相加可得 

由已知不等式知，当n≥3时有，

∵

证法2：设 ，首先利用数学归纳法证不等式

   （i）当n=3时，  由 知不等式成立.

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（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即

则

即当n=k+1时，不等式也成立.

由（i）、（ii）知，

又由已知不等式得 

   （Ⅱ）有极限，且

   （Ⅲ）∵

则有

故取N=1024，可使当n>N时，都有

2．已知函数 和 的图象关于原点对称，且 ．

   (Ⅰ)求函数 的解析式；   (Ⅱ)解不等式 ；

   (Ⅲ)若 在 上是增函数，求实数 的取值范围．

解：(Ⅰ)设函数 的图象上任意一点 关于原点的对称点为 ，则

∵点 在函数 的图象上

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∴

(Ⅱ)由

当 时， ，此时不等式无解.

当 时， ，解得 .

因此，原不等式的解集为 .

（Ⅲ）

①

②

ⅰ）

ⅱ）

3．对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f(x) 、y=g(x),

                      f(x)·g(x)    当x∈D_f且x∈D_g

    规定: 函数h(x)=   f(x)         当x∈D_f且x D_g

                      g(x)        当x D_f且x∈D_g

(1)  若函数f(x)= ,g(x)=x²,x∈R,写出函数h(x)的解析式;

(2)  求问题(1)中函数h(x)的值域;

(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.

 解：(1)h(x)=       x∈(-∞,1)∪(1,+∞)                1            x=1

   (2) 当x≠1时, h(x)= =x-1+ +2, 若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立

 

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若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立

∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞)

(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=

则g(x)=f(x+α)= sin2(x+ )+cos2(x+ )=cos2x-sin2x,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.

另解令f(x)=1+ sin2x, α= ,g(x)=f(x+α)= 1+ sin2(x+π)=1- sin2x,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+ sin2x)( 1- sin2x)=cos4x.

    4.在直角坐标平面中,已知点P₁(1,2),P₂(2,2²),┄,P_n(n,2ⁿ),其中n是正整数.对平面上任一点A₀,记A₁为A₀关于点P₁的对称点, A₂为A₁关于点P₂的对称点, ┄, A_N为A_N-1关于点P_N的对称点.

    (1)求向量 的坐标;

    (2)当点A₀在曲线C上移动时, 点A₂的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式;

    (3)对任意偶数n,用n表示向量 的坐标.

解：(1)设点A₀(x,y), A₀为P₁关于点的对称点A₀的坐标为(2-x,4-y),

   A₁为P₂关于点的对称点A₂的坐标为(2+x,4+y),   ∴ ={2,4}.

   (2) ∵ ={2,4},∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.

因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.

另解设点A₀(x,y), A₂(x₂,y₂),于是x₂-x=2,y₂-y=4,

若3< x₂≤6,则0< x₂-3≤3,于是f(x₂)=f(x₂-3)=lg(x₂-3).

当1< x≤4时, 则3< x₂≤6,y+4=lg(x-1).

∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.

(3)  = ,

由于 ,得

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=2( )=2({1,2}+{1,2³}+┄+{1,2^n-1})=2{ , }={n, }

5.已知函数 ，

数列 满足

    （I）求数列 的通项公式；

    （II）设x轴、直线 与函数 的图象所围成的封闭图形的面积为 ，求 ；

    （III）在集合 ，且 中，是否存在正整数N，使得不等式 对一切 恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.

    （IV）请构造一个与 有关的数列 ，使得 存在，并求出这个极限值.

解：（I）

   

                          ……1分

   

   

    将这n个式子相加，得

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    [2]

                          ……3分

    （II） 为一直角梯形（ 时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为 ，高为1

   

                                         ……6分

    （III）设满足条件的正整数N存在，则

   

    又

    均满足条件

    它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.

    设共有m个满足条件的正整数N，则 ，解得

    中满足条件的正整数N存在，共有495个，         ……9分

    （IV）设 ，即

    则

    显然，其极限存在，并且        ……10分

注： （c为非零常数）， 等都能使 存在.

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培养孩子学习兴趣的最佳方案 [随笔杂谈]

发表于：2013-07-30 阅读：25次

家长必读：培养孩子学习兴趣的最佳方案

 

一、如何让孩子觉得学习是轻松的

　　1、首先让孩子做“会的内容”

　　◎孩子表现不自信时，不露声色地让他做一下以前做过的题。

　　◎从爱学的功课入手，有助于攻克不擅长的功课。

　　◎把所有精力集中到一门功课上，体验满分感觉。

　　◎感受学习外的成功体验。

　　2、让孩子对学习的印象不再是“痛苦”与“黑暗”

　　◎通过心理调节减轻孩子的学习压力。

　　◎最好对孩子说“别勉强！”而不是说“学习去”。

　　◎如果每天让孩子学习1小时，开始就要有2小时的要求。

　　◎使用提议式而不是命令式。

　　◎不要问孩子“是学习还是玩儿？”，而应该问孩子“你想什么时候开始学习？”

　　◎让整天看电视的孩子选择：是出去跑腿，还是在家学习？

　　◎孩子就是不学习，你不妨问他，是休息还是学习

　　3、在学习中加入“游戏”的因素

　　◎消除孩子对学习的抵触心理。

　　◎将趣味游戏引入学习。

　　◎给别人找错可以让孩子热衷做习题。

　　◎“有趣的文具”可成为孩子学习的“促进剂”。

　　◎合理分配学习时间。

　　◎通过抽签让磨蹭不学习的孩子选择学习。

　　4、把日常生活与学习结合起来

　　◎让孩子制定家庭旅行计划也许会使他爱上地理。

　　◎让孩子学会剪报也许会使他留意政治、新闻。

　　◎领孩子去参观博物馆。

　　◎全家人至少每天有一段在一起学习的时间。

　　◎留意课堂上学不到的东西。

　　◎平时散步、购物、访友时拐进书店，浏览群书。

　　◎学习所需要的45分钟注意力，通过平时的生活训练来获得。

　　◎父母不妨偶尔送一些超过孩子阅读能力的书籍。

　　二、促使孩子想学习的诀窍

　　1、调节孩子学习的心态

　　◎新学期到来后，更换所有的学习用品。

　　◎给孩子准备各种笔调用具。

　　◎更换“全新感觉”的学习环境。

　　◎如果觉得孩子学习厌倦了，就让他试着换一门功课。

　　◎尝试制定“禁学时间”。

　　◎重大考试后，以款待的方式激励孩子。

　　2、把孩子喜欢的功课培养成擅长科目

　　◎在房间里张贴漫画和广告画也能使孩子对学习感兴趣。

　　◎让孩子就他(她)关心的问题进行报纸剪贴收集。

　　◎向孩子“赠书”会激发孩子的专家意识。

　　◎对孩子喜欢的东西刨根问底，有助于孩子养成调查研究的习惯。

　　◎利用家教的擅长学科来培养孩子的擅长科目。

　　◎让孩子拥有一个自己的宠物或花盆，有助于提高孩子的观察能力。

　　3、一样小东西可能使孩子愿坐下来学习

　　◎房间、书桌、照明、百科全书和参考书会成为孩子热爱学习的契机。

　　◎让孩子将其宝贵的收藏品放进他的抽屉中。

　　◎孩子学习时，把周围光线调暗，只在书桌正中点一盏台灯。

　　◎把字写得很大贴在墙上，有助于创造记忆气氛。

　　◎把书散放于家里各个房间，营造一种学习氛围。

　　◎睡前让孩子写几行日记，可以使孩子养成好的学习习惯。

　　4、让孩子喜欢学校和老师

　　◎消除孩子不喜欢学习的附加因素。

　　◎不要强迫孩子拿出成绩单。

　　◎即使低分也要找出可予以表扬的部分。

　　◎让孩子穿他“看中”的衣服和携带他喜欢的物品上学。

　　◎家人一块吃饭时，不露声色地称赞某位老师。

　　5、帮助孩子从沮丧中振作起来

　　◎不应该以“一喜一忧”，而以“既苦既乐”的心情看待孩子的成绩。

　　◎孩子失败时，给他寻找“同伴”予以安慰。

　　◎孩子考不好也要鼓励他目光朝向未来。

　　◎孩子略显沮丧表现时要安慰，这不过是下次飞跃的充电期。

　　三、帮孩子找到学习顺利的窍门

　　1、让孩子感受学习的轻松快乐

　　◎大字印刷的书籍可提高孩子的阅读速度。

　　◎尽量挑选尽可能“薄”的习题集或课外练习册。

　　◎挑选马上能看到答案的参考书和习题集。

　　◎房间里不仅要制作计划表，还要划红圈制作“完成表”。

　　◎把孩子用过的书本和练习册堆在显眼的位置，增其成就感。

　　2、帮助孩子调整学习次序

　　◎如果学习2小时，就每半小时换一种学习内容。

　　◎避免枯燥、单调的题海战术。

　　◎孩子做习题时，故意让他(她)停下来，以使记忆深刻。

　　◎放完30分钟的音乐，就让孩子去学习。

　　◎孩子学完后，让他(她)再看一看下一次学习内容的起始部分。

　　◎最好不要让孩子饭后马上就学习。

　　3、提高学习效率

　　◎让孩子在学习开始前进行削铅笔、整理课本、准备稿纸等准备工作。

　　◎要想让孩子开始学习，就和孩子一起收拾他(她)的书房。

　　◎不要呵斥孩子在桌前摆弄钢笔或咬指头等行为。

　　◎让孩子从他(她)爱学的功课开始学。

　　4、集中注意力学习法

　　◎让孩子必须学习时，定下结束时间比定下开始时间好。

　　◎把写作业的时间定在孩子爱看的电视节目开演前。

　　◎用闹钟将学习结束时间定上。

　　◎假期让孩子玩到不做作业就来不及的时候。

　　◎让孩子制定家庭学习计划时，注意有效时限。

　　四、树立孩子能学好的自信心

　　1、让孩子知道自己能做许多小事

　　◎在小事上多表扬孩子。

　　◎在孩子玩的高兴时，鼓励孩子的学习。

　　◎寻找孩子擅长的与学习相关的技能，并引导孩子留意这种技能。

　　◎替孩子挑选一学就会的小事，体验成功滋味。

　　◎如果孩子极度厌学，就称赞他(她)与学习无关的性格和爱好。

　　2、让别人替自己对孩子说

　　◎听腻的话让别人说对孩子来讲有新鲜感。

　　◎让孩子的爷爷和奶奶来教诲。

　　◎当着朋友和邻居的面表扬孩子。

　　◎让孩子和同伴一道学习，他(她)就不得不学习。

　　3、充分利用孩子的逆反心理

　　◎故意给孩子使激将法，对孩子说：这个，你干不了。

　　◎耗着。

　　五、引发学习兴趣的四种方法

　　1、兴趣暗示法

　　对那些不喜欢的科目，可以采用兴趣暗示法。

　　比如对数学，在学习之前，首先进行热身运动，摩拳擦掌，面带笑容，看着数学，大声说：“数学，从今天开始，我要喜欢你啦！”“可爱的数学，我要对你产生兴趣了。”“数学，我会满怀兴趣地学好你！”

　　每次学习数学之前都大声暗示自己，坚持三个星期，甚至更长一些时间，这些语言就会深入潜意识，一但进入潜意识，你对数学的兴趣就真正建立起来了。

　　很多对学习没有兴趣的同学，一拿起书就会产生不愉快的情绪，甚至厌烦、恐惧，从而关闭了自己的灵性之门，导致学习效率低下，甚至无效。

　　当你摩拳擦掌、面带微笑进行自我暗示时，就会产生一种愉悦感，厌烦、恐惧的情绪都被冲散，心灵之门渐渐打开，要学的知识就容易吸收进来了。

　　作为学生，学习是自己的职责，在我们不可以改变课程的情况下，那么只好改变自己，改变自己对待学习的态度。痛苦也是学，快乐也是学，我们为何不去选择快乐地学呢？

　　在学语文时，暗示自己：“学好语文很快乐，我对语又充满兴趣。”

　　在学数学时，暗示自己：“学好数学很快乐，我对数学充满兴趣。”

　　此法可适用于任何一门课程。当你快乐地学习的时候，你已与兴趣结缘了。

　　2、增强自信法

　　人往往因为自信而成功，也往往因为缺乏自信而失败。19世纪的思想家爱默生说；“相信自己'能’，便攻无不克。”拿破仑甚至讲：“在我的字典里，没有''不可能’这个词。”正是没有这个词才使他南征北战，横扫欧洲大陆。

　　事实上有许多学生正是缺乏学好某门课的信心，产生了畏惧心理，丧失了兴趣，所以要建立起学习的兴趣，可以从增强自信心入手，具体有如下步骤：①想象自己曾获得成功的事情，努力回味那种成就感，以获得对学习的兴趣。②令人愉快的事物总能激发兴趣。所以尽量想愉快的事情，如“我今天将再学会10个单词”，“今天又学会了方程式的解法”，让自己知道今天超越昨天，树立起“每天多做一点，就是成功的开始”的信念。

　　3、弄假成真法

　　戴尔·卡耐基有句名言：“假如你假装对工作感兴趣，那么这种态度会使兴趣变成真的，并且消除疲劳。”这种经验可以很好地应用在学习的兴起培养上；如果你对某一门课或对学习不感兴趣，你就可以训练自己假装对它感兴趣，并坚持下去，必定会有很好的效果。

　　首先，训练自己面带微笑。当面对着自己不喜欢的课程时，不要愁眉苦脸，要让自己面带微笑，并要从心底里愉悦起来，保持一种快乐感。

　　然后，用肯定、简短的语句宣布：“我很喜欢你！”“我对你很感兴趣！”

　　这样坚持一段时间后，就会解除心中的排斥感，真的发生兴趣了。这种方法并不是说“心想事成”，不是讲我“想”怎么样，就可以怎么样，它要求你在心里产生学习兴趣之后，立即着手，深入研究下去，将这种兴趣转化为深入学习的动力。

　　4、兴趣迁移法

　　面对不喜欢的科目时，也可以运用这种兴趣迁移法，利用自己对其他科目的兴趣来带动不感兴趣的那些科目，训练时进行下列做法；

　　①问自己愿不愿意把这门课学好，用肯定的语言来回答自己，比如“我一定能将数学学好”，“这些单词我很快就会背了”。这样反复默念，形成一种潜意识。

　　②进行身心放松训练。尽量坐舒适。慢慢做三次深呼吸，将心情放松，不要感受到压力。

　　③想象自己上所喜欢的课时的情景，让心情快乐起来。

　　④想象自己上不喜欢的课时的情景，然后就上喜欢的课时的愉快心态迁移到不喜欢的课程上，让自己面对不喜欢的科目时也有一种轻松、愉快的心情。

　　⑤立即开始学习。

　　勤奋努力＋正确方法＋讲究效率＝成功。

　　这就是爱因斯坦列下的著名成功公式。他把勤奋看成是成功的首要因素，说明要取得任何形式的成功，都必须具备勤奋精神。培养勤奋精神，首先要加强自己对社会的责任感，树立正确的人生观，明确学习目的，立志做一位未来社会的成功者。

　　市场竞争的机制决定了优胜劣汰，进入21世纪后，如果没有过硬的本领便不能为社会做贡献，不勤奋学习就无法适应新的社会生产力发展的需要。

　　勤奋不能只是一朝一夕，要持之以恒，永不停息。当然，时代发展到今天，勿需我们“悬梁刺股”，更不用“映雪夜读”，但前人的勤奋精神，永远是值得我们学习的。

　　一个具备勤奋精神的学生，即使头脑不太聪明，但仍有可能取得较好的成绩。

　　一个具备勤奋精神的学生，将来走上社会，即便没有背景，没有靠山，但仍有可能取得较大的成功。

　　考查一下社会上所有的杰出成功者，无一不是具有勤奋精神的人。当社会选拔人才的时候，一个具备勤奋精神的人，也是最受青睐的人。

高考数学复习方法 [高中数学]

发表于：2011-07-04 阅读：36次

      第一轮复习，即基础复习阶段，这个阶段的复习是整个高考复习中最关键的环节，一般从8月份到第二年的三月份，历时8个月，这一阶段的复习效果直接影响整个高考的成败，因此同学们应该高度重视，在第一轮复习中我们必须严格按照《复习大纲》的要求，把《大纲》中所有的考点逐个进行突破，全面落实，形成完整的知识体系。这就需要考生要对课本中的基本概念，基本公式，基本方法重点掌握，在复习中应淡化特殊技巧的训练，重视数学思想和方法的作用。常用的数学思想方法有：（1）函数思想方法：根据问题的特点构建函数将所要研究的问题，转化为对构建函数的性质如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性、范围和图像的交点个数等的研究；（2）方程思想方法：通过列方程（组）建立问题中的已知数和未知数的关系，通过解方程（组）实现化未知为已知，从而实现解决问题的目的；（3）数形结合的思想：它可以把抽象的数学语言与直观图形相对应，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，（4）分类讨论的思想：此思想方法在解答题中越来越体现出其重要地位，在解题中应明确分类原则：标准要统一，不重不漏。    同时考生在此阶段的复习过程中一定要重视教材的作用，我们有很大一部分考生不重视课本，甚至在高考这一年中从来没翻过课本，这是非常危险的。因为高考试题有一部分都是从书上的例题和练习里引申变形而来的，对于我们基础比较薄弱的同学来讲，就更应该仔细阅读教材，认真琢磨书上的例题，体会其中包含的数学思想和数学方法。这对于我们提高数学能力是非常有帮助的！    对于课外参考书的选择我认为选择一到两本适合自己的参考书，把里面的精髓学懂学会就足够了，不必弄的太多，弄的太多，反而对自己是一个很大的包袱。

     第二轮复习，即专题强化复习阶段，一般从三月份到四月底，由于第一轮复习是以各知识板块为主，横向联系不多，因此在第二轮复习中应重点突出在知识网络交汇点处的复习，高考中一般有下面几个专题，即：函数与导函数专题；平面向量与三角函数专题；平面向量与解析几何专题；空间向量与立体几何专题；概率与统计专题；数列与不等式专题等，通过这几个版块的复习目标在于提高学生解答高考解答题的能力。此阶段学生不应沉迷于套卷演练，而应以典型例题为载体，以数学思想方法的灵活运用为线索，讲求解题策略，使自己在第一轮复习的基础上，数学素质得以明显提升。值得注意的是在这个阶段当年的《考试大纲》已经出台了，考生应该仔细阅读《考试大纲》，针对前期的复习来查漏补缺，特别是对于《大纲》中与往年变动的地方我们一定高度重视，重点复习，争取在高考复习中面面俱到，不留死角。

    第三轮复习，即考前冲刺复习阶段，在这个阶段我们应该大量做一些练习， 要做题先要选题，高考真题一定是最好的练习题！因此建议一定要好好做一下最十年以来的高考试卷，包括全国卷和地方卷，其次最好能找到近5年以来各区的统考试题，在做题的过程中来巩固前面复习过的考点。同时最后的复习别忘了课本，特别是在考前应该再次翻开课本把里面公式和定理再看看，把典型的例题再做做，因为书上的例题毕竟比较简单，在考前做例题一是防止手生，便于高考正常发挥，一是有助于提高我们的自信心。

 

中考数学答题技巧 [中考数学]

发表于：2011-07-01 阅读：39次