高考数学―压轴题跟踪演练

1.已知不等式 为大于2的整数， 表示不超过 的最大整数. 设数列 的各项为正，且满足

   （Ⅰ）证明

（Ⅱ）猜测数列 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；

（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当 时，对任意b>0，都有

本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.

   （Ⅰ）证法1：∵当

即 于是有 

所有不等式两边相加可得 

由已知不等式知，当n≥3时有，

∵

证法2：设 ，首先利用数学归纳法证不等式

   （i）当n=3时，  由 知不等式成立.

第 1 页 共 6 页

（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即

则

即当n=k+1时，不等式也成立.

由（i）、（ii）知，

又由已知不等式得 

   （Ⅱ）有极限，且

   （Ⅲ）∵

则有

故取N=1024，可使当n>N时，都有

2．已知函数 和 的图象关于原点对称，且 ．

   (Ⅰ)求函数 的解析式；   (Ⅱ)解不等式 ；

   (Ⅲ)若 在 上是增函数，求实数 的取值范围．

解：(Ⅰ)设函数 的图象上任意一点 关于原点的对称点为 ，则

∵点 在函数 的图象上

第 2 页 共 6 页

 

∴

(Ⅱ)由

当 时， ，此时不等式无解.

当 时， ，解得 .

因此，原不等式的解集为 .

（Ⅲ）

①

②

ⅰ）

ⅱ）

3．对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f(x) 、y=g(x),

                      f(x)·g(x)    当x∈D_f且x∈D_g

    规定: 函数h(x)=   f(x)         当x∈D_f且x D_g

                      g(x)        当x D_f且x∈D_g

(1)  若函数f(x)= ,g(x)=x²,x∈R,写出函数h(x)的解析式;

(2)  求问题(1)中函数h(x)的值域;

(3)若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.

 解：(1)h(x)=       x∈(-∞,1)∪(1,+∞)                1            x=1

   (2) 当x≠1时, h(x)= =x-1+ +2, 若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立

 

第 3 页 共 6 页

若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立

∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞)

(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=

则g(x)=f(x+α)= sin2(x+ )+cos2(x+ )=cos2x-sin2x,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.

另解令f(x)=1+ sin2x, α= ,g(x)=f(x+α)= 1+ sin2(x+π)=1- sin2x,

于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+ sin2x)( 1- sin2x)=cos4x.

    4.在直角坐标平面中,已知点P₁(1,2),P₂(2,2²),┄,P_n(n,2ⁿ),其中n是正整数.对平面上任一点A₀,记A₁为A₀关于点P₁的对称点, A₂为A₁关于点P₂的对称点, ┄, A_N为A_N-1关于点P_N的对称点.

    (1)求向量 的坐标;

    (2)当点A₀在曲线C上移动时, 点A₂的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C为图象的函数在(1,4]上的解析式;

    (3)对任意偶数n,用n表示向量 的坐标.

解：(1)设点A₀(x,y), A₀为P₁关于点的对称点A₀的坐标为(2-x,4-y),

   A₁为P₂关于点的对称点A₂的坐标为(2+x,4+y),   ∴ ={2,4}.

   (2) ∵ ={2,4},∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.

因此, 曲线C是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.

另解设点A₀(x,y), A₂(x₂,y₂),于是x₂-x=2,y₂-y=4,

若3< x₂≤6,则0< x₂-3≤3,于是f(x₂)=f(x₂-3)=lg(x₂-3).

当1< x≤4时, 则3< x₂≤6,y+4=lg(x-1).

∴当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.

(3)  = ,

由于 ,得

第 4 页 共 6 页

=2( )=2({1,2}+{1,2³}+┄+{1,2^n-1})=2{ , }={n, }

5.已知函数 ，

数列 满足

    （I）求数列 的通项公式；

    （II）设x轴、直线 与函数 的图象所围成的封闭图形的面积为 ，求 ；

    （III）在集合 ，且 中，是否存在正整数N，使得不等式 对一切 恒成立？若存在，则这样的正整数N共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由.

    （IV）请构造一个与 有关的数列 ，使得 存在，并求出这个极限值.

解：（I）

   

                          ……1分

   

   

    将这n个式子相加，得

第 5 页 共 6 页[1]

    [2]

                          ……3分

    （II） 为一直角梯形（ 时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为 ，高为1

   

                                         ……6分

    （III）设满足条件的正整数N存在，则

   

    又

    均满足条件

    它们构成首项为2010，公差为2的等差数列.

    设共有m个满足条件的正整数N，则 ，解得

    中满足条件的正整数N存在，共有495个，         ……9分

    （IV）设 ，即

    则

    显然，其极限存在，并且        ……10分

注： （c为非零常数）， 等都能使 存在.

第 6 页 共 6 页

---

[1] 第 5 页 共 6 页

第 6 页 共 6 页