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牛吃草问题：

  牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度．

牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率.

  下面给出几例牛吃草及其相关问题．

  1. 草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周?(这类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”．)

【分析与解】  27头牛吃6周相当于27×6=162头牛吃1周时间，吃了原有的草加上6周新长的草；

    23头牛吃9周相当于23×9=207头牛吃1周时间，吃了原有的草加上9周新长的草；于是，多出了207-162=45头牛，多吃了9-6=3周新长的草．所以45÷3=15头牛1周可以吃1周新长出的草．即相当于给出15头牛专门吃新长出的草．于是27-15=12头牛6周吃完原有的草，现在有21头牛，减去15头吃长出的草，于是21-15=6头牛来吃原来的草；

    所以需要12×6÷6=12(周)，于是2l头牛需吃12周．

评注：我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃，这样就把问题化归为一般工程问题了．  

一般方法：

    先求出变化的草相当于多少头牛来吃：(甲牛头数×时间甲-乙牛头数×时间乙)÷(时间甲-时间乙)；

    再进行如下运算：(甲牛头数-变化草相当头数)×时问甲÷(丙牛头数-变化草相当头数)=时间丙．

    或者：(甲牛头数-变化草相当头数)×时间甲÷时间丙+变化草相当头数丙所需的头数．   

    2．有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷．草地上的草一样厚而且长得一样快．第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周．问：第三块草地可供50头牛吃几周?

   【分析与解】  我们知道24×6=144头牛吃一周吃2个(2公顷+2公顷周长的草).36×12=432头牛吃一周吃4个(2公顷+2公顷12周长的草)．于是144÷2=72头牛吃一周吃2公顷+2公顷6周长的草．432÷4=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草．所以108-72=36头牛一周吃2公顷12—6=6周长的草．即36÷6=d头牛1周吃2公顷1周长的草．

    对每2公顷配6头牛专吃新长的草，则正好．于是4公顷，配4÷2×6=12头牛专吃新长的草，即24-12=12头牛吃6周吃完4公顷，所以1头牛吃6×1÷(4÷2)=36周吃完2公顷．

    所以10公顷，需要10÷2×6=30头牛专吃新长的草，剩下50-30=20头牛来吃10公顷草，要36 ×(10÷2)÷20=9周．

    于是50头牛需要9周吃10公顷的草．

3．如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长．牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光．(在这2天内其他草地的草正常生长)之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光．然后牧民把 的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外号的牛放在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完．那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？

【分析与解】 一群牛，2天，吃了1块+1块2天新长的；一群牛，6天，吃了2块+2块2+6=8天新长的；即3天，吃了1块+1块8天新长的.即 群牛，1天，吃了1块1天新长的.

   又因为， 的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外 的牛放在④号草地吃草，它们同时吃完.所以，

③=2 阴影部分面积.于是，整个为 块地.那么需要 群牛吃新长的草，于是 =现在 .所以需要吃： 天.

所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃30天.

    4．现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间?

【分析与解】  我们注意到：

牛、马45天吃了  原有+45天新长的草①    牛、马90天吃了

                                               2原有+90天新长的草⑤

    马、羊60天吃了  原有+60天新长的草②

    牛、羊90天吃了  原有+90天新长的草③

    马    90天吃了  原有+90天新长的草④

    所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草．

    所以，②知马60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．

    现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草.

    所需时间为l÷ =36天.

    所以，牛、羊、马一起吃，需36天．

    5. 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快．它们的面积分别是 公顷、10公顷和24公顷．已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草，21头牛9星期吃完第二片牧场的草，那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草?

【分析与解】  由于三片牧场的公顷数不一致，给计算带来困难，如果将其均转化为1公顷时的情形．   

    所以表1中，3.6-0.9=2.7头牛吃4星期吃完l公顷原有的草，那么18星期吃完1公顷原有的草需要2.7÷(18÷4)=0.6头牛，加上专门吃新长草的O．9头牛，共需0.6+0.9=1.5头牛，18星期才能吃完1公顷牧场的草．

    所以需1.5×24=36头牛18星期才能吃完第三片牧场的草．

工程问题：

  多人完成工作、水管的进水与排水等类型的应用题．解题时要经常进行工作时间与工作效率之间的转化．

    1．甲、乙两人共同加工一批零件，8小时司以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了2 小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个?

【分析与解】乙单独加工，每小时加工 － = .

   甲调出后，剩下工作乙需做(8—2 )×( ÷ )= (小时)，所以乙每小时加工零件420÷ =25个，则2 小时加工2 ×25=60(个)，因此乙一共加工零件60+420＝480(个)．

    2．某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成．如果由甲、乙两人合作，需48天完成．现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需做多少天?

【分析与解】  由右表知，甲单独工作15天相当于乙单独工作20

天，也就是甲单独工作3天相当于乙单独工作4天．   

所以，甲单独工作63天，相当于乙单独工作63÷3×4=84天，

即乙单独工作84+28=112天即可完成这项工程．

    现在甲先单独做42天，相当于乙单独工作42÷3×4=56天，即乙还需单独工作112—56=56天即可完成这项工程．

    3．有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现在让3个队合修，但中间甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?

【分析与解】  甲、乙、丙三个队合修的工作效率为 + + = ，那么它们6天完成的工程量为 ×6= ，而实际上因为中途撤出甲队6天完成了的工程量为1．

    所以 －1= 是因为甲队的中途撤出造成的，甲队需 ÷ =5(天)才能完成 的工程量，所以甲队在6天内撤出了5天．

    所以，当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了5天才完成．

    4．一件工程，甲队独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天恰好完成一半．现在甲、乙两队合做若干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段所用时间相等，则共用了多少天?

【分析与解】  甲队做6天完成一半，甲队做3天乙队做2天也完成一半。所以甲队做3天相当于乙队做2天．

    即甲的工作效率是乙的 ，从而乙单独做12× =8(天)完成，所以两段所用时间相等，每段时间应是：

    8÷(1+l+ )＝3(天)，因此共用3×2＝6(天)．

    5．抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的 ．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？

【分析与解】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的 ，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的 ，即甲每天抄写书稿的 ；

    由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的 ，即丙每天抄写书稿的 ；于是可知乙每天抄写书稿的 － － ＝ .

    所以乙一人单独抄写需要1÷ =24天才能完成．

    6．游泳池有甲、乙、丙三个注水管．如果单开甲管需要20小时注满水池；甲、乙两管合开需要8小时注满水池；乙、丙两管合开需要6小时注满水池．那么，单开丙管需要多少小时注满水池?

【分析与解】  乙管每小时注满水池的 - = ,

                 丙管每小时注满水池的 - = .

  因此，单开丙管需要1÷ = =10 (小时)．

    7．一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成?

【分析与解】  甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是 、 、 .

    对于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，丙)=(甲，丁)．

即 + － = ，所以甲、丁合作的工作效率为 ．

所以，甲、丁两人合作24天可以完成这件工程．

    8．一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成．那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?   

【分析与解】  方法一：对于工作效率有：

    (甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2乙，即 + － = 为两倍乙的工作效率，所以乙的工作效率为 ．

    而对于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效率为 － ＝

    那么丙一个人来做，完成这项工作需1÷ =48天．   

    方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝ ＋ ＋ ＝ ，所以(甲，乙，丙)= ÷2＝ ，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为 ．

    那么丙单独工作的工作效率为 － ＝ ，那么丙一个人来做，完成这项工作需48天．   

    9．某工程如果由第1、2、3小队合干需要12天才能完成；如果由第1、3、5小队合干需要7天才能完成；如果由第2、4、5小队合干需要8天才能完成；如果由第1、3、4小队合干需要42天才能完成．那么这5个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程? 

【分析与解】  由已知条件可得，

对于工作效率有：

    (1、2、3)+(1、3、5)+2(2、4、5)+(1、3、4)=3(1、2、3、4、5)．

所以5个小队一起合作时的工作效率为：

    （ ＋ ＋2× ＋ ）÷3＝

所以5个小队合作需要6天完成这项工程.

评注：这类需综合和差倍等知识的问题在工程问题中还是很常见的.

    10．一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水．若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满．又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．则该水箱最多可容纳多少吨水?

【分析与解】  设甲管注入18吨水所需的时间为“1”，而乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍，那么乙管注入18吨的水所需时间为“O.5”，所以乙管注入27吨水所需的时间为27÷18×0.5=0.75.

    以下采用两种方法：

    方法一：设丙在单位时间内注入的水为“1”，那么有：

因此18+“1”=27+“O.75”，则“0.25”=9吨，所以“1”

=36吨，即丙在单位时间内灌入36吨的水．

    所以水箱最多可容纳18+36=54吨的水．

    方法二：也就是说甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效率的 ．

    再设甲单独灌水的工作效率为“1”，那么乙单独灌水的工作效率为“2”，有1+丙= (2+丙)；所以丙的工作效率为“2”，即丙的工作效率等于乙的工作效率，那么在乙、丙合灌时，丙也灌了27吨，那么水箱最多可容纳27+27=54吨水．

    11.某水池的容积是100立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管．甲、乙两管单独灌满水池分别需要10小时和15小时．水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管放水，需要6小时将水池中的水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要2小时将水池中的水放完．问水池中原有水多少立方米?

【分析与解】  甲每小时注水100÷10=10(立方米)，

                  乙每小时注水100÷15= (立方米)，

     设排水管每小时排水量为“排”，

则(“排”－10－ )×3=(“排”－10)，整理得3“排”－3× =“排”－10,2“排”=40，则“排”=20．   

 所以水池中原有水(20—10)×2=20(立方米)．

    12．一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管．当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池．现在需要在2小时内将水池注满，那么最少要打开多少个进水管?   

【分析与解】  记水池的容积为“1”，设每个进水管的工作效率为“进”，排水管的工作效率为“排”，那么有：   

    4“进”－“排”= ，  2“进”－“排”= .

    所以有，2“进”=( － )= ，那么“进”= ，则“排”= .

题中需同时打开x个进水管2小时才能注满，有：

x“进”－“排”= ，即 x－ = ，解得x=8.5 

所以至少需打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满．

    13．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时．要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时．现在池内有 池水．如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，问经过多少时间后水开始溢出水池?

【分析与解】  方法一：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开l小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的 － ＋ － = .

    最优情况为：在完整周期后的1小时内灌满一池水．因为此时为甲管进水时间，且甲的效率是四条管子中最大的．

    那么在最优情况下：完整周期只需注入1－ － ＝ 池水．

    所需周期数为 ÷ ＝ ＝4

    那么，至少需要5个完整周期，而5个完整周期后，水池内有水 ＋ ×5= ＋ ＝

    剩下l－ ＝ 池水未灌满，而完整周期后l小时内为甲注水时间，有 ÷ ＝  (小时).

    所以，需5个完整周期即20小时，再加上 小时，即20 小时后水开始溢出．

方法二：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的 － ＋ － = .

加上池内原有的水，池内有水： ＋ = .

    再过四个4小时，也就是20小时后，池内有水： ＋ ×4= ，在20小时后，只需要再灌水1－ ＝ ,水就开始溢出．

    ÷ =  (小时)，即再开甲管 小时，水开始溢出，所以20+ =20 (小时)后，水开始溢出水池． 

方法三：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的 － ＋ － ＝ .

一个周期后，池内有水： ＋ = , 有待注入；

    二个周期后，池内有水： ＋ = , 即 有先待注入；

    三个周期后，池内有水： ＋ ＝ ， 有待注入；

    四个周期后，池内有水： ＋ ＝ ， 即 有待注入；

    五个周期后，池内有水： ＋ ＝ ， 即 有待注入．

    而此时，只需注入 的水即可，小于甲管1小时注入的水量，所以有 ÷ =  (小时)，即再开甲管 小时，水开始溢出，所以20+ ＝20  (小时)后,水开始溢出水池．

    评注：这道题中要求的是第一次溢出，因为在一个周期内不是均匀增加或减少，而是有时增加有时又减少，所以不能简单的运用周期性来求解，这样往往会导致错误的解答，至于为什么?我们给出一个简单的问题，大家在解完这道题就会知晓．

    有一口井，深20米，井底有一只蜗牛，蜗牛白天爬6米，晚上掉4米，问蜗牛爬出井需多少时间?

    14.一个水池，地下水从四壁渗入，每小时渗入该水池的水是固定的．当这个水池水满时，打开A管，8小时可将水池排空；打开B管，10小时可将水池排空；打开C管，12小时可将水池排空．如果打开A，B两管，4小时可将水池排空，那么打开B，C两管，将水池排空需要多少时间?   

【分析与解】  设这个水池的容量是“1”  

 A管每小时排水量是： +每小时渗入水量；

    B管每小时排水量是：  +每小时渗入水量；   

    C管每小时排水量是：  +每小时渗入水量；

    A、B两管每小时排水量是： +每小时渗入水量．

因为 +每小时渗入水量+ +每小时渗入水量= +每小时渗入水量，因 此，每小时渗入水量是： －（ ＋ ）＝ .

那么有A、B、C管每小时的排水量如下表所示：

于是打开B、C两管，将水池排空需要

    1÷（ ＋ - ）=1÷ =4.8（小时）.

行程问题：

内容概述

  运动路线或路况复杂，与周期性或数论知识相关联，需进行优化设计等具有相当难度的行程问题．工作效率发生改变，要完成的项目及参加工作的对象较多的工程问题．   

典型问题

    1。如图21-l，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米．小张和小王分别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇．已知E在BC上，并且E至C的距离是B至C距离的 ．当小王到达A后9分钟，小张到达D．那么A至D全程长是多少千米?

【分析与解】  BE是BC的 ，CE是BC的 ，说明DC这段下坡，比AB这段下坡所用的时间多，也就是DC这一段，比AB这一段长，因此可以在DC上取一段DF和AB一样长，如下图：

  另外，再在图上画出一点G，使EG和EC一样长，这样就表示出，小王从F到C.小张从B到G．

  小王走完全程比小张走完全程少用9分钟，这时因为小张走C至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多)．

  因此，小王从F至C，走下坡所用时间是9÷ =18(分钟)．

  因此得出小张从B至G也是用18分钟，走GE或CE都用6分钟．走B至C全程(平路)要30分钟．

  从A至曰下坡所用时间是60-18-6=36(分钟)；

  从D至C下坡所用时间是60-6=54(分钟)；

  A至D全程长是(36+54)× +30× =11.5千米．

2．近年来火车大提速，1427次火车自北京西站开往安庆西站，行驶至全程的 再向前56千米处所用时间比提速前减少了60分钟，而到达安庆西站比提速前早了2小时．问北京西站、安庆西站两地相距多少千米?

    【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米？

    ( x+56)：x=60：120，即( x+56)：x=1：2，即x= x+112，解得x=1232．

    即北京西站、安庆西站两地相距1232千米，

   2．如图2l-2，A，B两点把一个周长为l米的圆周等分成两部分．蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳一步的步长是 米，如果它跳到A点，就会经过特别通道AB滑向曰点，并从B点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍．已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米?

  【分析与解】  ×4= 即蓝精灵跳4次到A点．圆半径扩大一倍即乘以2后，跳8次到A点．

    圆半径乘以4后，跳16次到A点．

    依次类推，由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000，所以有7次跳至A点．

1000次跳完后圆周长是1× =128米．

  3．已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同．而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发．问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程?

【分析与解】  方法一：由题意，猫与狗的速度之比为9:25，猫与兔的速度之比为25:49．

  设单位时间内猫跑1米，则狗跑 米，兔跑 米．

   狗追上猫一圈需300÷( -1)= 单位时间，   

   兔追上猫一圈需300÷( -1)= 单位时间．   

   猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是 的整数倍，又是 的整数倍.

   与 的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大

公约数,即 =8437.5．   

上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇．此时，猫跑了8437.5米，狗跑了

8437.5× =23437.5米，兔跑了8437.5× =16537．5米．

方法二：有猫跑35步的路程与狗跑21步的路程，兔跑25步的路程相；而猫跑15步的时间与狗跑25步的时间，兔跑21步的时间相同．

所以猫、狗、兔的速度比为 ，它们的最大公约数为

.

    即设猫的速度为 ，那么狗的速度为

   ，则兔的速度为 ．

    于是狗每跑300÷(625-225)= 单位时追上猫；

    兔每跑300÷(441-225)= 单位时追上猫．

    而 ，所以猫、狗、兔跑了 单位时，三者相遇．

    有猫跑了 ×225=8437.5米，狗跑了 ×625=23437.5米，兔跑了 ×441=16537.5米．

 评注：方法一、方法二中的相遇时间一个是8437.5单位，一个是 单位，可是答案却是一样的，为什么呢?

      在方法二中，如果按下面解答会得到不同答案，又是为什么?哪个方法有问题呢?自己试着解决，并在今后的学习中避免这种错误．

    于是狗每跑300÷(625-225) ×625= 米追上猫；

    兔每跑300÷(441-225)×441= 米追上猫；

    而 ，…

 4．一条环形道路，周长为2千米．甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周．现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时20千米．请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点．那么环行2周最少要用多少分钟?

【分析与解】  如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间 ；乙、丙情况类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程，耽搁的时间比为：

    而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等．于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即为4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为4:3:3．

    因为有3人，2辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长．

    于是，甲步行的距离为2× =0.8千米；则骑车的距离为2×2-0.8=3.2千米；

    所以甲需要时间为( )×60=19.2分钟

    环形两周的最短时间为19.2分钟．

    参考方案如下：甲先步行0.8千米，再骑车3.2千米；

    乙先骑车2.8千米，再步行0.6千米，再骑车0.6千米(丙留下的自行车) ；

    丙先骑车3.4千米，再步行0.6千米．

5．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工程需要12天.二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40％，二队的工作效率要下降10％．结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天?

【分析与解】  晴天时，一队、二队的工作效率分别为 和 ，一队比二队的工作效率高 - = ；雨天时，一队、二队的工作效率分别为 ×(1-40%)= 和 ×(1-10%)= ,这时二队的工作效率比一队高 - = .

由 : =5:3知，要两个队同时完工，必须是3个晴天，5个雨天，而此时完成了工程的 ×3+ ×5= ，所以，整个施工期间共有6 个晴天,10个雨天.

  6．画展9时开门，但早有人来排队等候入场．从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多．如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9时5分就没有人排队．那么第一个观众到达的时间是8时几分?

【分析与解】  由题意可得两个等式，如下：

  (开门前排队人数)+(9分钟内到的人数)=3×(每个入口每分钟进的人数)×9  ①

  (开门前排队人数)+(5分钟内到的人数)=5×(每个入口每分钟进的1人数)×5  ②

①-②得:4分钟内到的人数=2×(每个人口每分钟进的人数)……③

从而有:每个入口每分钟进的人数=2×(每分钟进的人数)……④

代入②得，开门前排队人数=25×2-5=45分钟内到的人数．

因此第一个人是8点15(=60-45)分到达的．

    7．甲、乙、丙3名搬运工同时分别在3个条件和工作量完全相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天3人又到两个较大的仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同．甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了16小时后同时搬运完毕．问丙在A仓库做了多长时间?

 【分析与解】  设第一天的每个仓库的工作量为“1”，

    那么甲、乙、丙的合作工作效率为 = ，第二天，甲、乙、丙始终在同时工作，所以第二天两个仓库的工作总量为 ×16=4，即第二天的每个仓库的工作总量为4÷2=2．

于是甲工作了16小时只完成了16× = 的工程量，剩下的2- = 的工程量由丙帮助完成，则丙需工作 ÷ =6(小时).

丙在A仓库做了6小时．

2、两城相距930千米，客货两车同时从两城相向开出，经过6小时两车相遇．客车平均每小时行80千米，货车平均每小时行多少千米？

　　解：设货车平均每小时行x千米．
         （80＋x）×6＝930
               x＝75
    答：货车平均每小时行75千米．

典型问题

  1．甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从4地开往B地．若乙比丙晚出发10分钟，则乙出发后40分钟追上丙；若甲比乙又晚出发20分钟，则甲出发后1小时40分钟追上丙；那么甲出发后追上乙所需要的时间为多少分钟?

  【分析与解】  我们知道开始时，乙走了40分钟与丙走了40+10=50分钟的路程相等，所以速度比为乙：丙=5：4；甲走了100分钟，丙走了100+20+lO=130分钟所走的路程相等，所以速度比为：甲：丙=13：10

  于是．甲：乙：丙=26：25：20．

  于是，乙比甲先走20分钟，路程相当于20 25=500，速度差相当于26-25=l；

  于是，追击时间为500 1=500分钟．

    2. 客车和货车分别从甲、乙两地出发相向而行．如果两车出发的时间都是6：00，那么它们在11：00相遇；如果客车和货车分别于7：00和8：00出发，那么它们在12：40相遇．现在，客车和货车出发的时间分别是10：00和8：00，则何时它们相遇?(本题中所述的时间均为同一天，采用24小时制计法．)

【分析与解】  第一次，客、货各走了5小时；第二次，客、货各走了5小时40分，4小时40分，但是两次客、货所走的路程和不变；于是有300客+300货=340客+280货；40客=20货，所以客、货两车的速度比为1：2：将全程看成“1”，则客、货车速度和为1÷5= ；所以客车速度为 ；

货车的速度为 ；货车先出发2小时，于是行走了 ；于是剩下的路程为 ；

还需要的时间为 小时，还需要3小时40分钟，在10：00后计时，所以相遇时间为13点40分．

  3．在久远的古代，有一个智者叫做芝诺，他曾经说过：兔子永远追不上10米外的乌龟．他这样解释：当兔子跑到10米处(即乌龟原来的地方)，乌龟已经往前走了一点；当兔子再次到达乌龟的位置时，乌龟又往前走了一点，……，也就说当兔子到达乌龟以前的位置时，乌龟总是往前走了一点，所以兔子永远追不上乌龟．你认为芝诺的说法错在哪里?

【分析与解】  因为兔子的速度比乌龟快，为了方便叙述，假设兔子的速度是乌龟的10倍．

  那么，按芝诺的说法，这些时间，乌龟走的路程为：

  10，1，0.1，0.01，0.001，……是无穷的，而10+1+0.1+0.01+0.001+…= ，也就是说兔子只是在乌龟行走 米之前追不上．等乌龟在 米之后，兔子就在它的前面了．

  在这里，芝诺用无穷个数的和来说明它们的和一定是无穷的，这显然是谬误的．

内容概述

本讲主要讲解需运用比和比例及分段解决的较复杂问题，还有一些需借助程来求解的问题．

经典问题

1.甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元．实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天?

    【分析与解】  开始时甲队拿到8400—5040=3360元，甲乙的工资比等于甲乙的工效比，即为3360：5040＝2：3；

    甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为

    (3360+960)：(5040—960)=18：17；

    设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需 天完成任务．

    有(2×4+4 )：(3×4+3 )=18：17，化简为216+54 =136+68 ，解得

    于是共有工程量为

所以原计划60÷(2+3)＝12天完成．

    2. 规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时,第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9．8小时，而乙、甲轮流做同样的程只需要9．6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时?

    【分析与解】

即甲工作2小时，相当与乙1小时．

所以，乙单独工作需 小时．

    3．甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用 天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用 天．已知甲单独完成这件工作需10．75天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天?

    【分析与解】  我们以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期．

    通过上一题的类似分析，我们知道第一种情况下一定不是完整周期内完成；

    但是在这题中，就有两种可能，第一种可能是完整周期+1天，第二种可能是完整周期+2天．

    验证第一种可能不成立(详细过程略)

    再看第二种可能：

即丙工作1天，甲只需要工作 天．代入第3种情况知：

    即甲工作1天，乙需要工作 天．

    因为甲单独做需10．75天，所以工作效率为 于是乙工作效率为

丙工作效率为

    于是，一个周期内他们完成的工程量为

    则需 个完整周期，剩下 的工程量；正好甲、乙各一天完成．

    所以第二种可能是正确的．

    于是，采用第二种可能算出的数据：一个周期内他们完成的工程量：

    需要 天．

    而甲、乙、丙合作一天完成的工程量正好是甲、乙、丙轮流做一天一个周期内的工程量．

于是，甲、乙、丙合作这件工程需 天．

  4．如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔．用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用1个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则需要用1小时5分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用72分钟将水箱灌满．那么，若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满?

    【分析与解】  方法一：设打开一个出水孔时，灌满出水孔以上的部分需要时间为 ，则不打开出水孔和打开两个出水孔灌满水孔以上部分所需时间为

    有工作效率之间的关系：

     通分为 化简为 解得

所以，不打开出水孔需 分钟灌满水孔以上的水，而灌满出水孔以下的水为

分钟．

    视水孔以上的水箱水量为单位“l”，有一个出水孔的工作效率为：  

    那么打开三个出水孔的工作效率为

    所以，打开三个出水孔灌满整个水箱所需的时间为 分钟

    方法二：在打开一个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管 分钟的进水量；在打开两个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管 分钟的进水量．而且注意到，后者出水孔出水的时间比前者多 分钟.

    因此两个出水孔7分钟的排水量相当于进水管 分钟的进水量

因此进水管1分钟的进水量相当于一个出水孔7分钟的排水量．

    那么在打开一个出水孔的时候，小孔排水 分钟，也就是说，进水，

进水 分钟后，水面达到小孔高度．

因此打开三个出水孔的时候，灌满水箱需要 分钟．

利润问题：

典型问题

1．某店原来将一批苹果按100％的利润(即利润是成本的100％)定价出售．由于定价过高，无人购买．后来不得不按38％的利润重新定价，这样出售了其中的40％．此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果．结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2％．那么第二次降价后的价格是原定价的百分之多少?

【分析与解】  第二次降价的利润是：

  (30.2％-40％×38％)÷(1-40％)=25％，

  价格是原定价的(1+25％)÷(1+100％)=62.5％.

  2．某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件．如果买一件按原定价，买两件降价10％，买三件降价20％，最后结算，平均每件恰好按原定价的85％出售．那么买三件的顾客有多少人?

【分析与解】  3×(1-20％)+1×100％=340％=4×85％，所以1个买一件的与1个买三件的平均，正好每件是原定价的85％．

  由于买2件的，每件价格是原定价的1-10％=90％，所以将买一件的与买三件的一一配对后，仍剩下一些买三件的人，由于

  3×(2×90％)+2×(3×80％)=12×85％．

  所以剩下的买三件的人数与买两件的人数的比是2:3．

  于是33个人可分成两种，一种每2人买4件，一种每5人买12件．共买76件，所以后一种

(76-33× )÷( - )=25(人)．

  其中买二件的有：25× =15(人)．

  前一种有33-25=8(人)，其中买一件的有8÷2=4(人)．

  于是买三件的有33-15-4=14(人)．

14．某商品按原定价出售，每件利润为成本的25％；后来按原定价的90％出售，结果每天售出的件数比降价前增加了1．5倍．问后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之几?

 【分析与解】设这种商品的成本为“1”，共卖出商品“1”，则利润为25％，总利润为0．25，定价为1．25．

 那么按原定价的90％出售，即以1.25× 90％=1.125的价格出售，现在销售的件数比原来增加了1.5倍，利润为0.125×(1.5+1)=O.3125，而原来的总利润为O.25，现在增加了0.3125一O.25=0.0625，0.0625÷0.25：25％．

    所以，后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了25％．

15．赢利百分数=

某电子产品去年按定价的80％出售，能获得20％的赢利；由于今年买入价降低，按同样定价的75％出售，却能获得25％的赢利．那么 是多少?

    【分析与解】  根据题中给出的公式知：

    赢利百分数×买入价=卖出价一买入价

    则买入价×(赢利百分数+1)=卖出价，

那么买入价=

＝ ＝ ＝

1、某商品按25%的利润定价，后来九折出售，结果每天售出的件数增加了1.5倍，那么每天这种商品的总利润比降价前增加了百分之几？

　　解答：把降价前每天销售的件数的总成本看作：“1”，那么降价前每天获得的总利润为25%，降价后每天获得的总 利润为（1+1.5）×[（1+25%）×90%]-(1-1.5)=31.25%,所以降价后每天经营这种商品的总利润比降价前增加了 31.25%÷25%-1=25%。

1．  小明于今年十月一日在银行存了活期储蓄2500元，月利率为0.1425%。如果利息率为20%，那么，到明年十月一日，小明最多可以从银行取出多少钱？

　　解答：2500×0.1425%×12×（1-20%）+2500=2534.2

　　2．  一种商品先按20%的利润率定价，然后按定价的90%出售，结果获利256元，这种商品的成本是多少？

　　解答：256÷[（1+20%）×90%-1]=3200

　1、甲乙两件商品成本共200元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，后来两件商品都按定价打九折出售，结果仍获利27.7元，求甲商品的成本。

　　解答：200×（1+20%）÷90%-200=16

　　(27.7-16)÷（30% - 20%）÷90%=130

　　2、出售一件商品，现由于进货价降低了6.4%，使得利润率提过了8%，求原来出售这件商品的利润率。

　　解答：设原来的利润率为x，

　　1+x%=(1-6.4%)×（1+x%+8%）

　　x=17%

小学六年级奥数知识解析：年龄问题的三大特征

　　年龄问题：已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应用题，叫做年龄问题。

浓度问题：

浓度问题

【试题】：浓度为60%的酒精溶液200g，与浓度为30%的酒精溶液300g，混合后所得到的酒精溶液的浓度是(    )。

　　【分析】：

　　溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量

　　溶质质量＝溶液质量×浓度

　　浓度＝溶质质量÷溶液质量

　　溶液质量＝溶质质量÷浓度

　　要求混合后的溶液浓度，必须求出混合后溶液的总质量和所含纯酒精的质量。

　　混合后溶液的总质量，即为原来两种溶液质量的和：

　　200＋300＝500(g)。

　　混合后纯酒精的含量等于混合前两种溶液中纯酒精的和：

　　200×60%＋300×30%＝120＋90＝210(g)

　　那么混合后的酒精溶液的浓度为：

　　210÷500＝42%

　　【解答】：混合后的酒精溶液的浓度为42%。

　　【点津】：当两种不同浓度的溶液混合后，其中的溶液总量和溶质总量是不变的。

3.甲容器中有纯酒精11立方分米，乙容器中有水15立方分米．第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒人甲容器．这样甲容器中的纯酒精含量为62.5％，乙容器中的纯酒精含量为25％．那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少立方分米?

【分析与解】  设最后甲容器有溶液 立方分米，那么乙容器有溶液(11+15- )立方分米．

  有62.5％× +25％×(26- )=11，解得 =12，即最后甲容器有溶液12立方分米，乙容器则有溶液26-12=14立方分米．

  而第二次操作是将乙容器内溶液倒入甲容器中，所以乙溶液在第二次操作的前后浓度不变，那么在第二次操作前，即第一次操作后，乙容器内含有水15立方分米，则乙容器内溶液15÷(1-25％)：

五、冠词

1、冠词分类及读法：

英语中冠词有不定冠词和定冠词两种,常放在名词的前面,用来限定名词的意义,起泛指或特指的作用。定冠词the读法：单独念时读[Ti:],在句子中常发[Ti ](元音之前)或者[T[](辅音之前)；

            不定冠词a/an的读法：单独念时读 [ei ]/[An ]；在句子中常发 [[]/[[n]。 

2、不定冠词a / an的用法：

不定冠词a / an用在单数名词的前面,a用在辅音开头的词前面; an用在元音开头的词的前面。

不定冠词的基本用法：

(1)    表示某一个人或东西,但不具体说明何人或何物。如：There is a dog lying on the ground.(有一只狗躺在地上。)

(2) 表示某类人或事物,以区别于其他种类。如：A elephant is much stronger than a man.(大象比人强壮多了。)(不能译为：一头大象比一个人强壮。)

(2)    表示某类人或事物中的任何一个。如：He is a teacher of English.(他是英语教师。)

(4) 表示“一”这个数量。如：There is a table and four chairs in that dining-room.(在那个餐厅里有一张桌子和四把椅子。)

(5)    几个用不定冠词的习语：a bit(一点), a little(一点), a few(几个), a lot (许多), a kind of(一种), a pair of(一副、一双), a number of(大量的), a piece of (一张、一片), half an hour(半小时), have a good time(玩得开心), have a cold(感冒), make a noise(发出嘈杂声), have/take a (rest等)(休息)一会儿,等等。

3、定冠词the的用法：定冠词the用在可数名词的单数或复数或不可数的名词前面。

定冠词的基本用法：

(1)    表示特指的人或事物。如：The man with a flower in his hand is Jack..(手上拿着一朵花的男人是杰克)

(2)    指谈话双方都熟悉的人或事物。如：Look at the blackboard,Lily.(莉莉,请看黑板。)

(3)    复述前面提到过的人或事物。如：There is a man under the tree. The man is called Robert.(树下有个人,  那个人叫罗伯特。)

(4)    表示世界上独一无二的事物。如：The earth turns around the sun.(地球绕太阳旋转。)

(5)    用在表示方位的名词前面。如：There will be strong wind to the south of the Yangtze River.(长江以南地  区将会刮大风。)

(6)    在序数词和形容词最高级的前面。如：Who is the first one to go?(谁第一个去？) / Of all the stars, the sun is the nearest to the earth.(在所有的恒星之中太阳离地球最近)

(7)    常用在乐器名称的前面。如：He began to play the violin at the age of 5.(五岁时他开始拉小提琴)

(8)    用在江河、海洋、山脉等名称的前面。如：I have never been to the Himalaya Mountains.(我从来没有去过喜马拉雅山)

(9)    用在含有普通名词的专有名词的前面。如：He is from the United States of America.(他来自美利坚合众国)

(10)用在姓氏之前表示一家人。如：The Greens are going to Mount Emei next month.(下个月格林一家要去峨眉山)

(11)same之前一般用the。如：Lucy and Lily look the same.(露西和莉莉看上去长得一样)

(12)几个用定冠词的习语：at the same time (与此同时),make the bed(铺床),in the end(最后),all the time(一直),by the way(顺便说一下),on the way(在路上)等等。

4、一些不用冠词的情况：

(1) 专有名词和(第一次使用)一些不可数名词时前面通常不用。如：China is a very large country.(中国是个大国) / Man needs air and water.(人类需要空气和水)

(2) 名词前已有指示、物主或不定代词作定语时不用。如：My pen is much more expensive than yours.(我的钢笔比你的昂贵多了)

(3)    周名,月名或季节名前一般不用。如：He was born on Monday, February 18,1995.(他出生在1995年二月十八日,星期一) / They usually plant trees on the hills in spring.(春天他们通常在山上植树)

(4) (第一次使用)复数名词表示人或事物的类别时不用。如：Men are cleverer than monkeys.(人比猴子聪明)

(5)    三餐饭前不用。如：We have breakfast at home and lunch at school.(我们在家吃早饭,在校吃午饭)

(6)    节、假日前一般不用。如：On Children’s Day the boys often get presents from their parents.(在儿童节,这些男孩经常得到父母的礼物)

(7)    球类名词前不用。如：The children play football on Saturday afternoons.(孩子们星期六下午踢足球)

(8)    城市的重要/主要建筑物名称前不用。如：They are now at People’s Cinema.(他们此刻在人民电影院)

       (9)  一些习惯用语中不用。如：⑴ at / to / from / out of / after / for school; ⑵ in / to / for / after class; ⑶in / to / out of / into bed; ⑷ after / at/ from / out of / to work;  ⑸ at / to sea; ⑹ in / from / down / to town; ⑺ at / from home; ⑻ at / for / to breakfast/lunch/supper; ⑼ at night/noon/midnight; ⑽ on foot; ⑾ go to school/bed; ⑿ on top of; ⒀ in front of; ⒁ on show/display/duty/watch; ⒂ in / out of hospital; ⒃ at all; ⒄ on/in time; ⒅ at first/last/once; ⒆ in Chinese/English,etc.; ⒇ take care of

六、形容词、副词：

1、形容词：用来说明或修饰名词、代词的词称为形容词。

1、形容词的句法作用：作句子中名词的定语、句子的表语以及宾语补足语。

2、形容词在句子中的位置：

⑴作定语时放在名词的前面,且音节少的词放在音节多的词之前。如：a big yellow wooden wheel(一个黄色的大木轮)

⑵作表语时放在连系动词之后。如：The price sounds reasonable.(这个价格听起来算是合理)

⑶作宾语补足语时放在宾语之后。如：We must try our best to keep our environment clean.(我们

9、相互代词：表示相互关系的词叫相互代词。

each other ,one another是相互代词,译成“互相”,可以通用。each other表示两者之间,而one anther表示许多人之间。它们有所有格形式each other’s ,one another’s。如： We must help each other when we are in trouble.(我们身处困境时要互相帮助。) / They sat there without talking to one another / each other.(他们坐在那儿,互相都不说话。)

10、疑问代词：用来提出问题的代词称为疑问代词。

1、who、whom、whose、what、which、whoever、whatever、whichever主要用于特殊疑问句中,一般放在句首。口语中也常用who代替whom作宾语,但在介词后则只能用whom。如：

Who(m) did you invite to your birthday party?(你都邀请了谁参加你的生日聚会的？) / What does she want to be when she grows up?(她长大了想干什么？)

2、who 和whom只能独立使用,其中who可以作句子的主语、表语或动词的宾语,whom只能作谓语动词的宾语；而what、which、whose等既可以独立使用作主语、表语和宾语,也可以与名词构成疑问短语。如： Who is that man?(那男的是谁？) / What colour are their hats?(他们的帽子是什么颜色？) / Which car was made in Germany?(哪辆车是德国造的？)(被动句)

注意这个提问：The man in the car is my father.(车里的男人是我父亲)

→Which man is your father?(哪个男人是你的父亲？)

3、which除了可以询问指代的情况之外,还可以针对说明人物的时间、地点、岁数、颜色、大小、状况等进行提问。如：People there live a very sad life.(那里的人生活凄惨) →Which people live a sad life? (哪些人生活凄惨？)/ --Which hotel have you booked for your holiday?(为了度假你预订了哪家旅馆？)—The biggest one in Haikou.(海口最大的那家旅馆)

4、疑问代词不分单复数,视它所替代的人或事物决定单复数,但是通常用单数；如果修饰名词,则以名词的单复数为准。如：Who is (are) in that playhouse?(谁在游戏房里？) / What is that? (那是什么？)/ What are those? (那些是什么？) / What colours do they have?(它们有哪些颜色？)

四、数词：

1、分类：数词有基数词和序数词两种。英语的数词可以作句子的主语、宾语、表语和定语。

2、基数词：表示数目的词叫基数词。

1、 英语中常用的基数词有：

1000→one(a) thousand,10000→ ten thousand,100000→one hundred thousand ,1000000→one million,10000000→ten million, 100000000→one hundred million,

108→one hundred and eight, 146→one hundred and forty-six, 500→five hundred , 1001→one thousand and one, 1813→one thousand eight hundred and thirteen. 

2、[注]：(1)百位与十位之间要加and；十万位和万位,亿位和千万位之间通常也要加and。

(2)英语用千、百万等单位计数,大数字从右向左看, 每隔三位划一逗号,倒数第一个逗号之前要用thousand,倒数第二个逗号之前要用million,倒数第三的逗号之前要用billion表示。

(3) hundred、 thousand、 million作数词时,不用复数,前面可以加上one, two, …等其它数词。用作名词时复数表示“成…上…”,后面必须要有of,前面可以加上some,many,several等词。如：five hundred(五百), hundreds of(成百上千的), ten thousand(