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牛吃草问题：

 

  牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度．

牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率.

  下面给出几例牛吃草及其相关问题．

 

  1. 草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周?(这类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”．)

    

【分析与解】  27头牛吃6周相当于27×6=162头牛吃1周时间，吃了原有的草加上6周新长的草；

    23头牛吃9周相当于23×9=207头牛吃1周时间，吃了原有的草加上9周新长的草；于是，多出了207-162=45头牛，多吃了9-6=3周新长的草．所以45÷3=15头牛1周可以吃1周新长出的草．即相当于给出15头牛专门吃新长出的草．于是27-15=12头牛6周吃完原有的草，现在有21头牛，减去15头吃长出的草，于是21-15=6头牛来吃原来的草；

    所以需要12×6÷6=12(周)，于是2l头牛需吃12周．

评注：我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃，这样就把问题化归为一般工程问题了．  

一般方法：

    先求出变化的草相当于多少头牛来吃：(甲牛头数×时间甲-乙牛头数×时间乙)÷(时间甲-时间乙)；

    再进行如下运算：(甲牛头数-变化草相当头数)×时问甲÷(丙牛头数-变化草相当头数)=时间丙．

    或者：(甲牛头数-变化草相当头数)×时间甲÷时间丙+变化草相当头数丙所需的头数．   

 

    2．有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷．草地上的草一样厚而且长得一样快．第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周．问：第三块草地可供50头牛吃几周?

   【分析与解】  我们知道24×6=144头牛吃一周吃2个(2公顷+2公顷周长的草).36×12=432头牛吃一周吃4个(2公顷+2公顷12周长的草)．于是144÷2=72头牛吃一周吃2公顷+2公顷6周长的草．432÷4=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草．所以108-72=36头牛一周吃2公顷12—6=6周长的草．即36÷6=d头牛1周吃2公顷1周长的草．

    对每2公顷配6头牛专吃新长的草，则正好．于是4公顷，配4÷2×6=12头牛专吃新长的草，即24-12=12头牛吃6周吃完4公顷，所以1头牛吃6×1÷(4÷2)=36周吃完2公顷．

    所以10公顷，需要10÷2×6=30头牛专吃新长的草，剩下50-30=20头牛来吃10公顷草，要36 ×(10÷2)÷20=9周．

    于是50头牛需要9周吃10公顷的草．

 

3．如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长．牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光．(在这2天内其他草地的草正常生长)之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光．然后牧民把 的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外号的牛放在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完．那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？

 

【分析与解】 一群牛，2天，吃了1块+1块2天新长的；一群牛，6天，吃了2块+2块2+6=8天新长的；即3天，吃了1块+1块8天新长的.即 群牛，1天，吃了1块1天新长的.

   又因为， 的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外 的牛放在④号草地吃草，它们同时吃完.所以，

③=2 阴影部分面积.于是，整个为 块地.那么需要 群牛吃新长的草，于是 =现在 .所以需要吃： 天.

所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃30天.

 

    4．现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间?

 

【分析与解】  我们注意到：

牛、马45天吃了  原有+45天新长的草①    牛、马90天吃了

                                               2原有+90天新长的草⑤

    马、羊60天吃了  原有+60天新长的草②

    牛、羊90天吃了  原有+90天新长的草③

                   

    马    90天吃了  原有+90天新长的草④

    所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草．

    所以，②知马60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．

    现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草.

    所需时间为l÷ =36天.

    所以，牛、羊、马一起吃，需36天．

 

    5. 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快．它们的面积分别是 公顷、10公顷和24公顷．已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草，21头牛9星期吃完第二片牧场的草，那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草?

   

【分析与解】  由于三片牧场的公顷数不一致，给计算带来困难，如果将其均转化为1公顷时的情形．   

    所以表1中，3.6-0.9=2.7头牛吃4星期吃完l公顷原有的草，那么18星期吃完1公顷原有的草需要2.7÷(18÷4)=0.6头牛，加上专门吃新长草的O．9头牛，共需0.6+0.9=1.5头牛，18星期才能吃完1公顷牧场的草．

    所以需1.5×24=36头牛18星期才能吃完第三片牧场的草．

 

 

工程问题：

  多人完成工作、水管的进水与排水等类型的应用题．解题时要经常进行工作时间与工作效率之间的转化．

 

    1．甲、乙两人共同加工一批零件，8小时司以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了2 小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个?

 

【分析与解】乙单独加工，每小时加工 － = .

   甲调出后，剩下工作乙需做(8—2 )×( ÷ )= (小时)，所以乙每小时加工零件420÷ =25个，则2 小时加工2 ×25=60(个)，因此乙一共加工零件60+420＝480(个)．

 

    2．某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成．如果由甲、乙两人合作，需48天完成．现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么还需做多少天?

 

【分析与解】  由右表知，甲单独工作15天相当于乙单独工作20

天，也就是甲单独工作3天相当于乙单独工作4天．   

 

所以，甲单独工作63天，相当于乙单独工作63÷3×4=84天，

即乙单独工作84+28=112天即可完成这项工程．

    现在甲先单独做42天，相当于乙单独工作42÷3×4=56天，即乙还需单独工作112—56=56天即可完成这项工程．

    3．有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现在让3个队合修，但中间甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?

   

【分析与解】  甲、乙、丙三个队合修的工作效率为 + + = ，那么它们6天完成的工程量为 ×6= ，而实际上因为中途撤出甲队6天完成了的工程量为1．

    所以 －1= 是因为甲队的中途撤出造成的，甲队需 ÷ =5(天)才能完成 的工程量，所以甲队在6天内撤出了5天．

    所以，当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了5天才完成．

 

    4．一件工程，甲队独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天恰好完成一半．现在甲、乙两队合做若干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段所用时间相等，则共用了多少天?

   

【分析与解】  甲队做6天完成一半，甲队做3天乙队做2天也完成一半。所以甲队做3天相当于乙队做2天．

    即甲的工作效率是乙的 ，从而乙单独做12× =8(天)完成，所以两段所用时间相等，每段时间应是：

    8÷(1+l+ )＝3(天)，因此共用3×2＝6(天)．

 

    5．抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的 ．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？

   

【分析与解】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的 ，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的 ，即甲每天抄写书稿的 ；

    由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的 ，即丙每天抄写书稿的 ；于是可知乙每天抄写书稿的 － － ＝ .

    所以乙一人单独抄写需要1÷ =24天才能完成．

 

    6．游泳池有甲、乙、丙三个注水管．如果单开甲管需要20小时注满水池；甲、乙两管合开需要8小时注满水池；乙、丙两管合开需要6小时注满水池．那么，单开丙管需要多少小时注满水池?

   

【分析与解】  乙管每小时注满水池的 - = ,

                 丙管每小时注满水池的 - = .

  因此，单开丙管需要1÷ = =10 (小时)．

 

    7．一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成?

   

【分析与解】  甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是 、 、 .

    对于工作效率有(甲，乙)+(丙，丁)－(乙，丙)=(甲，丁)．

即 + － = ，所以甲、丁合作的工作效率为 ．

所以，甲、丁两人合作24天可以完成这件工程．

 

    8．一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成．那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天?   

    

【分析与解】  方法一：对于工作效率有：

    (甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2乙，即 + － = 为两倍乙的工作效率，所以乙的工作效率为 ．

    而对于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作效率为 － ＝

    那么丙一个人来做，完成这项工作需1÷ =48天．   

    方法二：2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝ ＋ ＋ ＝ ，所以(甲，乙，丙)= ÷2＝ ，即甲、乙、丙3人合作的工作效率为 ．

    那么丙单独工作的工作效率为 － ＝ ，那么丙一个人来做，完成这项工作需48天．   

 

    9．某工程如果由第1、2、3小队合干需要12天才能完成；如果由第1、3、5小队合干需要7天才能完成；如果由第2、4、5小队合干需要8天才能完成；如果由第1、3、4小队合干需要42天才能完成．那么这5个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程? 

   

【分析与解】  由已知条件可得，

对于工作效率有：

    (1、2、3)+(1、3、5)+2(2、4、5)+(1、3、4)=3(1、2、3、4、5)．

所以5个小队一起合作时的工作效率为：

    （ ＋ ＋2× ＋ ）÷3＝

所以5个小队合作需要6天完成这项工程.

评注：这类需综合和差倍等知识的问题在工程问题中还是很常见的.

 

    10．一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水．若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满．又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．则该水箱最多可容纳多少吨水?

   

【分析与解】  设甲管注入18吨水所需的时间为“1”，而乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍，那么乙管注入18吨的水所需时间为“O.5”，所以乙管注入27吨水所需的时间为27÷18×0.5=0.75.

    以下采用两种方法：

    方法一：设丙在单位时间内注入的水为“1”，那么有：

因此18+“1”=27+“O.75”，则“0.25”=9吨，所以“1”

=36吨，即丙在单位时间内灌入36吨的水．

    所以水箱最多可容纳18+36=54吨的水．

    方法二：也就是说甲、丙合用的工作效率是乙、丙合用工作效率的 ．

    再设甲单独灌水的工作效率为“1”，那么乙单独灌水的工作效率为“2”，有1+丙= (2+丙)；所以丙的工作效率为“2”，即丙的工作效率等于乙的工作效率，那么在乙、丙合灌时，丙也灌了27吨，那么水箱最多可容纳27+27=54吨水．

    11.某水池的容积是100立方米，它有甲、乙两个进水管和一个排水管．甲、乙两管单独灌满水池分别需要10小时和15小时．水池中原有一些水，如果甲、乙两管同时进水而排水管放水，需要6小时将水池中的水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要2小时将水池中的水放完．问水池中原有水多少立方米?

   

【分析与解】  甲每小时注水100÷10=10(立方米)，

                  乙每小时注水100÷15= (立方米)，

     设排水管每小时排水量为“排”，

则(“排”－10－ )×3=(“排”－10)，整理得3“排”－3× =“排”－10,2“排”=40，则“排”=20．   

 所以水池中原有水(20—10)×2=20(立方米)．

 

    12．一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管．当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池．现在需要在2小时内将水池注满，那么最少要打开多少个进水管?   

   

【分析与解】  记水池的容积为“1”，设每个进水管的工作效率为“进”，排水管的工作效率为“排”，那么有：   

    4“进”－“排”= ，  2“进”－“排”= .

    所以有，2“进”=( － )= ，那么“进”= ，则“排”= .

题中需同时打开x个进水管2小时才能注满，有：

x“进”－“排”= ，即 x－ = ，解得x=8.5 

所以至少需打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满．

 

    13．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时．要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时．现在池内有 池水．如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，问经过多少时间后水开始溢出水池?

   

【分析与解】  方法一：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开l小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的 － ＋ － = .

    最优情况为：在完整周期后的1小时内灌满一池水．因为此时为甲管进水时间，且甲的效率是四条管子中最大的．

    那么在最优情况下：完整周期只需注入1－ － ＝ 池水．

    所需周期数为 ÷ ＝ ＝4

    那么，至少需要5个完整周期，而5个完整周期后，水池内有水 ＋ ×5= ＋ ＝

    剩下l－ ＝ 池水未灌满，而完整周期后l小时内为甲注水时间，有 ÷ ＝  (小时).

    所以，需5个完整周期即20小时，再加上 小时，即20 小时后水开始溢出．

方法二：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的 － ＋ － = .

加上池内原有的水，池内有水： ＋ = .

    再过四个4小时，也就是20小时后，池内有水： ＋ ×4= ，在20小时后，只需要再灌水1－ ＝ ,水就开始溢出．

    ÷ =  (小时)，即再开甲管 小时，水开始溢出，所以20+ =20 (小时)后，水开始溢出水池． 

方法三：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的 － ＋ － ＝ .

一个周期后，池内有水： ＋ = , 有待注入；

    二个周期后，池内有水： ＋ = , 即 有先待注入；

    三个周期后，池内有水： ＋ ＝ ， 有待注入；

    四个周期后，池内有水： ＋ ＝ ， 即 有待注入；

    五个周期后，池内有水： ＋ ＝ ， 即 有待注入．

    而此时，只需注入 的水即可，小于甲管1小时注入的水量，所以有 ÷ =  (小时)，即再开甲管 小时，水开始溢出，所以20+ ＝20  (小时)后,水开始溢出水池．

    评注：这道题中要求的是第一次溢出，因为在一个周期内不是均匀增加或减少，而是有时增加有时又减少，所以不能简单的运用周期性来求解，这样往往会导致错误的解答，至于为什么?我们给出一个简单的问题，大家在解完这道题就会知晓．

    有一口井，深20米，井底有一只蜗牛，蜗牛白天爬6米，晚上掉4米，问蜗牛爬出井需多少时间?

    14.一个水池，地下水从四壁渗入，每小时渗入该水池的水是固定的．当这个水池水满时，打开A管，8小时可将水池排空；打开B管，10小时可将水池排空；打开C管，12小时可将水池排空．如果打开A，B两管，4小时可将水池排空，那么打开B，C两管，将水池排空需要多少时间?   

 

【分析与解】  设这个水池的容量是“1”  

 A管每小时排水量是： +每小时渗入水量；

    B管每小时排水量是：  +每小时渗入水量；   

    C管每小时排水量是：  +每小时渗入水量；

    A、B两管每小时排水量是： +每小时渗入水量．

因为 +每小时渗入水量+ +每小时渗入水量= +每小时渗入水量，因 此，每小时渗入水量是： －（ ＋ ）＝ .

那么有A、B、C管每小时的排水量如下表所示：

于是打开B、C两管，将水池排空需要

    1÷（ ＋ - ）=1÷ =4.8（小时）.

行程问题：

内容概述

  运动路线或路况复杂，与周期性或数论知识相关联，需进行优化设计等具有相当难度的行程问题．工作效率发生改变，要完成的项目及参加工作的对象较多的工程问题．   

 

典型问题

    1。如图21-l，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米．小张和小王分别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇．已知E在BC上，并且E至C的距离是B至C距离的 ．当小王到达A后9分钟，小张到达D．那么A至D全程长是多少千米?

 

【分析与解】  BE是BC的 ，CE是BC的 ，说明DC这段下坡，比AB这段下坡所用的时间多，也就是DC这一段，比AB这一段长，因此可以在DC上取一段DF和AB一样长，如下图：

  另外，再在图上画出一点G，使EG和EC一样长，这样就表示出，小王从F到C.小张从B到G．

  小王走完全程比小张走完全程少用9分钟，这时因为小张走C至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他们两人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一样多)．

  因此，小王从F至C，走下坡所用时间是9÷ =18(分钟)．

  因此得出小张从B至G也是用18分钟，走GE或CE都用6分钟．走B至C全程(平路)要30分钟．

  从A至曰下坡所用时间是60-18-6=36(分钟)；

  从D至C下坡所用时间是60-6=54(分钟)；

  A至D全程长是(36+54)× +30× =11.5千米．

2．近年来火车大提速，1427次火车自北京西站开往安庆西站，行驶至全程的 再向前56千米处所用时间比提速前减少了60分钟，而到达安庆西站比提速前早了2小时．问北京西站、安庆西站两地相距多少千米?

 

    【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米？

    ( x+56)：x=60：120，即( x+56)：x=1：2，即x= x+112，解得x=1232．

    即北京西站、安庆西站两地相距1232千米，

 

   2．如图2l-2，A，B两点把一个周长为l米的圆周等分成两部分．蓝精灵从B点出发在这个圆周上沿逆时针方向做跳跃运动，它每跳一步的步长是 米，如果它跳到A点，就会经过特别通道AB滑向曰点，并从B点继续起跳，当它经过一次特别通道，圆的半径就扩大一倍．已知蓝精灵跳了1000次，那么跳完后圆周长等于多少米?

 

 

  【分析与解】  ×4= 即蓝精灵跳4次到A点．圆半径扩大一倍即乘以2后，跳8次到A点．

    圆半径乘以4后，跳16次到A点．

    依次类推，由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000，所以有7次跳至A点．

1000次跳完后圆周长是1× =128米．

  3．已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同；猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同．而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同；猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同，猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道，同时同向同地出发．问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程?

 

【分析与解】  方法一：由题意，猫与狗的速度之比为9:25，猫与兔的速度之比为25:49．

  设单位时间内猫跑1米，则狗跑 米，兔跑 米．

   狗追上猫一圈需300÷( -1)= 单位时间，   

   兔追上猫一圈需300÷( -1)= 单位时间．   

   猫、狗、兔再次相遇的时间，应既是 的整数倍，又是 的整数倍.

   与 的最小公倍数等于两个分数中，分子的最小公倍数除以分母的最大

公约数,即 =8437.5．   

上式表明，经过8437.5个单位时间，猫、狗、兔第一次相遇．此时，猫跑了8437.5米，狗跑了

8437.5× =23437.5米，兔跑了8437.5× =16537．5米．

方法二：有猫跑35步的路程与狗跑21步的路程，兔跑25步的路程相；而猫跑15步的时间与狗跑25步的时间，兔跑21步的时间相同．

所以猫、狗、兔的速度比为 ，它们的最大公约数为

.

    即设猫的速度为 ，那么狗的速度为

   ，则兔的速度为 ．

    于是狗每跑300÷(625-225)= 单位时追上猫；

    兔每跑300÷(441-225)= 单位时追上猫．

    而 ，所以猫、狗、兔跑了 单位时，三者相遇．

    有猫跑了 ×225=8437.5米，狗跑了 ×625=23437.5米，兔跑了 ×441=16537.5米．

 评注：方法一、方法二中的相遇时间一个是8437.5单位，一个是 单位，可是答案却是一样的，为什么呢?

      在方法二中，如果按下面解答会得到不同答案，又是为什么?哪个方法有问题呢?自己试着解决，并在今后的学习中避免这种错误．

    于是狗每跑300÷(625-225) ×625= 米追上猫；

    兔每跑300÷(441-225)×441= 米追上猫；

    而 ，…

 4．一条环形道路，周长为2千米．甲、乙、丙3人从同一点同时出发，每人环行2周．现有自行车2辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行车留给其他人骑．已知甲步行的速度是每小时5千米，乙和丙步行的速度是每小时4千米，3人骑车的速度都是每小时20千米．请你设计一种走法，使3个人2辆车同时到达终点．那么环行2周最少要用多少分钟?

   

【分析与解】  如果甲、乙、丙均始终骑车，则甲、乙、丙同时到达，单位“1”的路程只需时间 ；乙、丙情况类似，所以先只考虑甲、乙，现在甲、乙因为步行较骑车行走单位“1”路程，耽搁的时间比为：

    而他们需同时出发，同时到达，所以耽搁的时间应相等．于是步行的距离比应为耽搁时间的倒数比，即为4:3；因为丙的情形与乙一样，所以甲、乙、丙三者步行距离比为4:3:3．

    因为有3人，2辆自行车，所以，始终有人在步行，甲、乙、丙步行路程和等于环形道路的周长．

    于是，甲步行的距离为2× =0.8千米；则骑车的距离为2×2-0.8=3.2千米；

    所以甲需要时间为( )×60=19.2分钟

    环形两周的最短时间为19.2分钟．

    参考方案如下：甲先步行0.8千米，再骑车3.2千米；

    乙先骑车2.8千米，再步行0.6千米，再骑车0.6千米(丙留下的自行车) ；

    丙先骑车3.4千米，再步行0.6千米．

 

5．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工程需要12天.二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40％，二队的工作效率要下降10％．结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天?

 

【分析与解】  晴天时，一队、二队的工作效率分别为 和 ，一队比二队的工作效率高 - = ；雨天时，一队、二队的工作效率分别为 ×(1-40%)= 和 ×(1-10%)= ,这时二队的工作效率比一队高 - = .

由 : =5:3知，要两个队同时完工，必须是3个晴天，5个雨天，而此时完成了工程的 ×3+ ×5= ，所以，整个施工期间共有6 个晴天,10个雨天.

 

  6．画展9时开门，但早有人来排队等候入场．从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多．如果开3个入场口，9时9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9时5分就没有人排队．那么第一个观众到达的时间是8时几分?

 

【分析与解】  由题意可得两个等式，如下：

  (开门前排队人数)+(9分钟内到的人数)=3×(每个入口每分钟进的人数)×9  ①

  (开门前排队人数)+(5分钟内到的人数)=5×(每个入口每分钟进的1人数)×5  ②

①-②得:4分钟内到的人数=2×(每个人口每分钟进的人数)……③

从而有:每个入口每分钟进的人数=2×(每分钟进的人数)……④

代入②得，开门前排队人数=25×2-5=45分钟内到的人数．

因此第一个人是8点15(=60-45)分到达的．

 

    7．甲、乙、丙3名搬运工同时分别在3个条件和工作量完全相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天3人又到两个较大的仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同．甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了16小时后同时搬运完毕．问丙在A仓库做了多长时间?

 【分析与解】  设第一天的每个仓库的工作量为“1”，

    那么甲、乙、丙的合作工作效率为 = ，第二天，甲、乙、丙始终在同时工作，所以第二天两个仓库的工作总量为 ×16=4，即第二天的每个仓库的工作总量为4÷2=2．

于是甲工作了16小时只完成了16× = 的工程量，剩下的2- = 的工程量由丙帮助完成，则丙需工作 ÷ =6(小时).

丙在A仓库做了6小时．

2、两城相距930千米，客货两车同时从两城相向开出，经过6小时两车相遇．客车平均每小时行80千米，货车平均每小时行多少千米？



　　解：设货车平均每小时行x千米．

         （80＋x）×6＝930

               x＝75

    答：货车平均每小时行75千米．

 

典型问题

  1．甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从4地开往B地．若乙比丙晚出发10分钟，则乙出发后40分钟追上丙；若甲比乙又晚出发20分钟，则甲出发后1小时40分钟追上丙；那么甲出发后追上乙所需要的时间为多少分钟?

 

  【分析与解】  我们知道开始时，乙走了40分钟与丙走了40+10=50分钟的路程相等，所以速度比为乙：丙=5：4；甲走了100分钟，丙走了100+20+lO=130分钟所走的路程相等，所以速度比为：甲：丙=13：10

  于是．甲：乙：丙=26：25：20．

  于是，乙比甲先走20分钟，路程相当于20 25=500，速度差相当于26-25=l；

  于是，追击时间为500 1=500分钟．

 

    2. 客车和货车分别从甲、乙两地出发相向而行．如果两车出发的时间都是6：00，那么它们在11：00相遇；如果客车和货车分别于7：00和8：00出发，那么它们在12：40相遇．现在，客车和货车出发的时间分别是10：00和8：00，则何时它们相遇?(本题中所述的时间均为同一天，采用24小时制计法．)

   

【分析与解】  第一次，客、货各走了5小时；第二次，客、货各走了5小时40分，4小时40分，但是两次客、货所走的路程和不变；于是有300客+300货=340客+280货；40客=20货，所以客、货两车的速度比为1：2：将全程看成“1”，则客、货车速度和为1÷5= ；所以客车速度为 ；

货车的速度为 ；货车先出发2小时，于是行走了 ；于是剩下的路程为 ；

还需要的时间为 小时，还需要3小时40分钟，在10：00后计时，所以相遇时间为13点40分．

 

  3．在久远的古代，有一个智者叫做芝诺，他曾经说过：兔子永远追不上10米外的乌龟．他这样解释：当兔子跑到10米处(即乌龟原来的地方)，乌龟已经往前走了一点；当兔子再次到达乌龟的位置时，乌龟又往前走了一点，……，也就说当兔子到达乌龟以前的位置时，乌龟总是往前走了一点，所以兔子永远追不上乌龟．你认为芝诺的说法错在哪里?

  

【分析与解】  因为兔子的速度比乌龟快，为了方便叙述，假设兔子的速度是乌龟的10倍．

  那么，按芝诺的说法，这些时间，乌龟走的路程为：

  10，1，0.1，0.01，0.001，……是无穷的，而10+1+0.1+0.01+0.001+…= ，也就是说兔子只是在乌龟行走 米之前追不上．等乌龟在 米之后，兔子就在它的前面了．

  在这里，芝诺用无穷个数的和来说明它们的和一定是无穷的，这显然是谬误的．

 

 

 

 

 

内容概述

本讲主要讲解需运用比和比例及分段解决的较复杂问题，还有一些需借助程来求解的问题．

经典问题

1.甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元．实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天?

    【分析与解】  开始时甲队拿到8400—5040=3360元，甲乙的工资比等于甲乙的工效比，即为3360：5040＝2：3；

    甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为

    (3360+960)：(5040—960)=18：17；

    设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需 天完成任务．

    有(2×4+4 )：(3×4+3 )=18：17，化简为216+54 =136+68 ，解得

    于是共有工程量为

所以原计划60÷(2+3)＝12天完成．

    2. 规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时,第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9．8小时，而乙、甲轮流做同样的程只需要9．6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时?

    【分析与解】

即甲工作2小时，相当与乙1小时．

所以，乙单独工作需 小时．

    3．甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用 天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用 天．已知甲单独完成这件工作需10．75天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天?

    【分析与解】  我们以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期．

    通过上一题的类似分析，我们知道第一种情况下一定不是完整周期内完成；

    但是在这题中，就有两种可能，第一种可能是完整周期+1天，第二种可能是完整周期+2天．

    验证第一种可能不成立(详细过程略)

    再看第二种可能：

即丙工作1天，甲只需要工作 天．代入第3种情况知：

    即甲工作1天，乙需要工作 天．

    因为甲单独做需10．75天，所以工作效率为 于是乙工作效率为

丙工作效率为

    于是，一个周期内他们完成的工程量为

    则需 个完整周期，剩下 的工程量；正好甲、乙各一天完成．

    所以第二种可能是正确的．

    于是，采用第二种可能算出的数据：一个周期内他们完成的工程量：

 

    需要 天．

    而甲、乙、丙合作一天完成的工程量正好是甲、乙、丙轮流做一天一个周期内的工程量．

于是，甲、乙、丙合作这件工程需 天．

  4．如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔．用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用1个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则需要用1小时5分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用72分钟将水箱灌满．那么，若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满?

    【分析与解】  方法一：设打开一个出水孔时，灌满出水孔以上的部分需要时间为 ，则不打开出水孔和打开两个出水孔灌满水孔以上部分所需时间为

    有工作效率之间的关系：

     通分为 化简为 解得

所以，不打开出水孔需 分钟灌满水孔以上的水，而灌满出水孔以下的水为

分钟．

    视水孔以上的水箱水量为单位“l”，有一个出水孔的工作效率为：  

    那么打开三个出水孔的工作效率为

    所以，打开三个出水孔灌满整个水箱所需的时间为 分钟

    方法二：在打开一个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管 分钟的进水量；在打开两个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管 分钟的进水量．而且注意到，后者出水孔出水的时间比前者多 分钟.

    因此两个出水孔7分钟的排水量相当于进水管 分钟的进水量

因此进水管1分钟的进水量相当于一个出水孔7分钟的排水量．

    那么在打开一个出水孔的时候，小孔排水 分钟，也就是说，进水，

进水 分钟后，水面达到小孔高度．

因此打开三个出水孔的时候，灌满水箱需要 分钟．

利润问题：

典型问题

1．某店原来将一批苹果按100％的利润(即利润是成本的100％)定价出售．由于定价过高，无人购买．后来不得不按38％的利润重新定价，这样出售了其中的40％．此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果．结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2％．那么第二次降价后的价格是原定价的百分之多少?

 

【分析与解】  第二次降价的利润是：

  (30.2％-40％×38％)÷(1-40％)=25％，

  价格是原定价的(1+25％)÷(1+100％)=62.5％.

 

  2．某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件．如果买一件按原定价，买两件降价10％，买三件降价20％，最后结算，平均每件恰好按原定价的85％出售．那么买三件的顾客有多少人?

 

【分析与解】  3×(1-20％)+1×100％=340％=4×85％，所以1个买一件的与1个买三件的平均，正好每件是原定价的85％．

  由于买2件的，每件价格是原定价的1-10％=90％，所以将买一件的与买三件的一一配对后，仍剩下一些买三件的人，由于

  3×(2×90％)+2×(3×80％)=12×85％．

  所以剩下的买三件的人数与买两件的人数的比是2:3．

  于是33个人可分成两种，一种每2人买4件，一种每5人买12件．共买76件，所以后一种

(76-33× )÷( - )=25(人)．

  其中买二件的有：25× =15(人)．

  前一种有33-25=8(人)，其中买一件的有8÷2=4(人)．

  于是买三件的有33-15-4=14(人)．

14．某商品按原定价出售，每件利润为成本的25％；后来按原定价的90％出售，结果每天售出的件数比降价前增加了1．5倍．问后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了百分之几?

 

 【分析与解】设这种商品的成本为“1”，共卖出商品“1”，则利润为25％，总利润为0．25，定价为1．25．

 那么按原定价的90％出售，即以1.25× 90％=1.125的价格出售，现在销售的件数比原来增加了1.5倍，利润为0.125×(1.5+1)=O.3125，而原来的总利润为O.25，现在增加了0.3125一O.25=0.0625，0.0625÷0.25：25％．

    所以，后来每天经营这种商品的总利润比降价前增加了25％．

15．赢利百分数=

某电子产品去年按定价的80％出售，能获得20％的赢利；由于今年买入价降低，按同样定价的75％出售，却能获得25％的赢利．那么 是多少?

 

    【分析与解】  根据题中给出的公式知：

    赢利百分数×买入价=卖出价一买入价

    则买入价×(赢利百分数+1)=卖出价，

那么买入价=

＝ ＝ ＝

1、某商品按25%的利润定价，后来九折出售，结果每天售出的件数增加了1.5倍，那么每天这种商品的总利润比降价前增加了百分之几？



　　解答：把降价前每天销售的件数的总成本看作：“1”，那么降价前每天获得的总利润为25%，降价后每天获得的总 利润为（1+1.5）×[（1+25%）×90%]-(1-1.5)=31.25%,所以降价后每天经营这种商品的总利润比降价前增加了 31.25%÷25%-1=25%。

1．  小明于今年十月一日在银行存了活期储蓄2500元，月利率为0.1425%。如果利息率为20%，那么，到明年十月一日，小明最多可以从银行取出多少钱？



　　解答：2500×0.1425%×12×（1-20%）+2500=2534.2

　　2．  一种商品先按20%的利润率定价，然后按定价的90%出售，结果获利256元，这种商品的成本是多少？



　　解答：256÷[（1+20%）×90%-1]=3200

　1、甲乙两件商品成本共200元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，后来两件商品都按定价打九折出售，结果仍获利27.7元，求甲商品的成本。



　　解答：200×（1+20%）÷90%-200=16



　　(27.7-16)÷（30% - 20%）÷90%=130

　　2、出售一件商品，现由于进货价降低了6.4%，使得利润率提过了8%，求原来出售这件商品的利润率。



　　解答：设原来的利润率为x，



　　1+x%=(1-6.4%)×（1+x%+8%）



　　x=17%

小学六年级奥数知识解析：年龄问题的三大特征

　　年龄问题：已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应用题，叫做年龄问题。

 

 

浓度问题：

浓度问题

【试题】：浓度为60%的酒精溶液200g，与浓度为30%的酒精溶液300g，混合后所得到的酒精溶液的浓度是(    )。



　　【分析】：



　　溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量



　　溶质质量＝溶液质量×浓度



　　浓度＝溶质质量÷溶液质量



　　溶液质量＝溶质质量÷浓度



　　要求混合后的溶液浓度，必须求出混合后溶液的总质量和所含纯酒精的质量。



　　混合后溶液的总质量，即为原来两种溶液质量的和：



　　200＋300＝500(g)。



　　混合后纯酒精的含量等于混合前两种溶液中纯酒精的和：



　　200×60%＋300×30%＝120＋90＝210(g)



　　那么混合后的酒精溶液的浓度为：



　　210÷500＝42%



　　【解答】：混合后的酒精溶液的浓度为42%。



　　【点津】：当两种不同浓度的溶液混合后，其中的溶液总量和溶质总量是不变的。

 

3.甲容器中有纯酒精11立方分米，乙容器中有水15立方分米．第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合液倒人甲容器．这样甲容器中的纯酒精含量为62.5％，乙容器中的纯酒精含量为25％．那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是多少立方分米?

   

【分析与解】  设最后甲容器有溶液 立方分米，那么乙容器有溶液(11+15- )立方分米．

  有62.5％× +25％×(26- )=11，解得 =12，即最后甲容器有溶液12立方分米，乙容器则有溶液26-12=14立方分米．

  而第二次操作是将乙容器内溶液倒入甲容器中，所以乙溶液在第二次操作的前后浓度不变，那么在第二次操作前，即第一次操作后，乙容器内含有水15立方分米，则乙容器内溶液15÷(1-25％)：