在数学解题过程中，去（添）括号作为解题的一个重要的中间环节，对此题最终结果的正确与否将产生重要影响。但在现实的学习中，由于某些原因，一部分学生存在法则记不住，或因缺乏对法则的正确理解而导致使用时频频出错等问题，严重挫伤了广大中学生学习的数学积极性。

针对这一普遍现状，笔者从广大中学生的认知水平出发，对教材上去（添）括号法则进行了深入的研究，发明了一个简单口诀，现与同学们一起分享。

去（添）括号口诀：负全变正照抄，差符号补正号。

为了方便广大学生对口诀的深入理解，笔者结合以下两例，详细介绍一下法则的使用方法：

一、用法则去括号：

例1  去括号：①        ②

                  ③

分析与简解：

在①中我们发现，括号外为“－”号，依法则“负全变”可知去掉括号和前面的“－”号后，括号内每一项全变号，所以；

在②中我们发现，括号外为“＋”号，依法则“正照抄”可知去掉括号和前面的“＋”号后，括号内每一项照抄，所以；

在③中我们依据前两题的结果可知，此时有：的结果为：  ，此时发现的前面差一个符号，依法则可知应该补上“+”号，故：=＋，余下请同学们自己完成。

二、用法则添括号：

例2  ＋（             ）

                     －（             ）

分析与简解：

观察可知第一个括号前面是“＋”号，依据法则“正照抄”可知第一个括号内的答案为：，而在第二个括号前面是“－”号，依据法则“负全变”可知第二个括号内的答案为：。

三角形知识点复习归纳总结

⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.

注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；

（2）三角形是一个封闭的图形；

（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义．

⒉ 三角形的分类：

(1)按边分类：

(2)按角分类：

⒊ 三角形的主要线段的定义：

（1）三角形的中线

三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．

表示法：1.AD是△ABC的BC上的中线.

2.BD=DC=BC.

注意：①三角形的中线是线段；

②三角形三条中线全在三角形的内部；

③三角形三条中线交于三角形内部一点；

④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．

（2）三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段

表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线.

2.∠1=∠2=∠BAC.

注意：①三角形的角平分线是线段；

②三角形三条角平分线全在三角形的内部；

③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；

④用量角器画三角形的角平分线．

（3）三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．

表示法：1.AD是△ABC的BC上的高线.

2.AD⊥BC于D.

3.∠ADB=∠ADC=90°.

注意：①三角形的高是线段；

②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；

③三角形三条高所在直线交于一点．

⒋ 三角形的主要线段的表示法：

三角形的角平分线的表示法：

如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：

①  AD是DABC的角平分线；

②  AD平分ÐBAC，交BC于D；

③ 如果AD是DABC的角平分线，那么ÐBAD=ÐDAC=ÐBAC.

    (2)三角形的中线表示法：

如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：

①AE是DABC的中线；

②AE是DABC中BC边上的中线；

③如果AE是DABC的中线，那么BE=EC=BC.

    (3)三角线的高的表示法：

如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：

①    AM是DABC的高；

②    AM是DABC中BC边上的高；

③    如果AM是DABC中BC边上高，那么AM^BC，垂足是E；

④    如果AM是DABC中BC边上的高，那么ÐAMB=ÐAMC=90°.

⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：

    (1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.

    (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.

如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.

⒍三角形的三边关系

   三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；

（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．

⒎ 三角形的角与角之间的关系：

(1)三角形三个内角的和等于180°;

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

(4)直角三角形的两个锐角互余.

三角形的内角和定理

定理：三角形的内角和等于180°．

推论：直角三角形的两个锐角互余。

推理过程：

一、作CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=180⁰，

即∠A+∠B+∠ACB=180⁰．

二、作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=180⁰，

即∠BAC+∠B+∠C=180⁰．

注意：（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．

（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．

三角形的外角的定义

三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.

如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.   

 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处

只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.

三角形外角的性质

（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．

（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．

注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；

（2）作CM∥AB由于B、C、D共线

   ∴∠A=∠1，∠B=∠2.

    即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.

    那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.

8．三角形的稳定性：

三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．

注意：（1）三角形具有稳定性；

（2）四边形没有稳定性.

适当添加辅助线，寻找基本图形

(1)基本图形一，如图8，在DABC中，AB=AC，B,A,D成一条直线，则ÐDAC=2ÐB=2ÐC或ÐB=ÐC=ÐDAC.

(2)基本图形二，如图9，如果CO是ÐAOB的角平分线，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么DDOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.

基本图形三，如图10，如果BD是ÐABC的角平分线，M是AB上一点，MN^BD，且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即DBMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分线+垂线→等腰三角形.

当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12.

全等证明歌诀

全等证明不容易，三组元素要齐备．

要想证明变简单，尽量找出相等边．

还差条件不用急，利用等角来补齐．

公共边角对顶角，直接应用不用说．

两边一角要正确，须是两边和夹角．

利用边角证全等，反之全等证边角．

平面几何知识点“61”个定理

   ★1、勾股定理（毕达哥拉斯定理）

　　★2、射影定理（欧几里得定理）

　　★3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分

　　4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点

　　5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

　　★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。

　　★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点

　　8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL

　　9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。

　　10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，

　　11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上

　　12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

★13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：

 ，s为三角形周长的一半

　　★14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点

15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC分成m和n两段，则有n×AB2+m×AC2=BC×（AP2+mn）

　　17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD

　　18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上

　　★19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD

　　★20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，

　　21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。

　　22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。

　　★23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BP/PC×CQ/QA×AR/RB=1

★24、梅涅劳斯定理的逆定理：（略）

　　★25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。

　　★26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线

　　★27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BP/PC×CQ/QA×AR/RB=1.

　　★28、塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M

　　★29、塞瓦定理的逆定理：（略）

　　★30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点

　　★31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。

　　★32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线）

　　★33、西摩松定理的逆定理：（略）

　　34、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。

　　35、史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上。这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。

　　36、波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=360°的倍数

　　37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点

　　38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。

　　39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点

　　40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。

　　41、关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。

　　42、关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。

43、卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。

44、奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。

45、清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。

46、他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点）

47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。

　48、从三角形各边的中点，向这条边所的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心。

　　49、一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。

　　50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。

　　51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。

　　52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。

　　53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。

　　54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。

　　55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。

　　56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。

　　57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。

　　58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

　　59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

　　60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。

61、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延长线的）交点共线。

2015沈阳中考数学考试说明已出台，其中2015中考数学有哪些变化？同学们又该如何应对？下面是沈阳市教研员、名师对2015沈阳中考数学的权威解读，供同学们参考。

　　新课标数与代数部分，增加了会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2(平方)+k的形式。删去了有效数字的概念；不要求分母有理化；列一元一次不等式组，解决实际问题等内容。原课标“空间与图形”，改为“图形与几何”。图形与几何部分增加圆内接四边形对角互补；了解正多边形的概念和正多边形与圆的关系；掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。删去了有关梯形的内容；“探索并了解两圆位置关系”；关于镜面对称；平面图形的镶嵌；计算圆锥的侧面积和全面积，按要求作出平面图形旋转后的图形，关于视点、视角、盲区等内容。统计与概率部分明确要求会计算简单数据的方差。

　　沈阳市南昌中学数学教研组长、初三备课组长、沈阳市中考命题教师、沈阳市名师、沈阳市金牌十佳型老师杨俊波给大家指点：夯实数学三个“点线面”。

　　首先，抓住中考数学命题走势的三个“点”。明确试题考点，最好把近10年的沈阳市中考试题，按考点进行分类整理。关注扣分点，中考扣分点分为两类，一类是试题中不会做的难题，另一类是试题中不该错的简单题和中等题。学生解题中常犯的“五错”：看错、想错、算错、写错、抄错。考生答卷所暴露的问题：知识性错误，审题性错误，推理性错误，运算性错误，操作性错误，规范性错误。要让考生切实解决会而不对，对而不全，全而不美的问题。同时，把握教材要点。

　　其次，抓住中考数学四基复习的三条“线”。把握时间流程线。根据各区模拟考试时间验收复习成果。第一轮扫除盲点，突出重点，突破难点。第二轮把握考点，训练思维，构建网络。第三轮模拟训练，查缺补漏，心理调控。要学会架起知识联系线，归纳方法逻辑线。

　　最后，抓住中考数学复习的三个“面”。开发数学复习的有效面；培养良好的能力面。学会审题，寻找有效方法，规范书写，对所学内容进行课后反思。同时，聚焦答题的准确面。中考数学答题的策略：启动思维、浏览全卷、仔细审题、由易到难、分段得分、跳跃解答、正难则反、先改后划、联想猜押、速书严查、调整心态。考场上做到人难我难我不畏难，人易我易我更仔细。

　　沈阳市实验学校中学部教研处副主任，曾参加中考命题，沈阳市骨干教师，市数学学科带头人，市优秀教师，沈阳市数学会理事于永库教导同学们：学会寻找问题突破口

　　第一轮复习：落实基础知识。对教材中基本问题进行加工、组合、延伸和拓展，对基础知识进行系统梳理，形成知识网络。要深钻教材，对典型问题进行变式训练，找出基本问题中的核心内容，归纳和整理形成基本模型，达到举一反三、触类旁通的目的。

　　第二轮复习：积累解题经验。在教师指导下学会寻找问题突破口及如何下手解题。解题时尝试：1.解决这个问题的核心是什么？2.是否还有其它方法？各种不同解法的共性是什么？3.能否想出一个类似的题目，并予以解决吗？4.能否想出一道更一般的题目，并予以求解？从而形成一题多解，实现由“点到线”的变化；一题多变，实现由“线到面”的变化；而一题多用，则进一步实现由“面到体”的变化。通过提炼的“通法通性”领悟题目中蕴含的数学思想方法，从而形成融会贯通的能力。

　　第三轮复习：形成应考能力。利用每次模考查找自己在审题、计算、过程书写等环节中的细节问题，找出薄弱环节及时补充完善，学会运用数学符号规范地表述解题过程，让知识的吸收全面化、系统化、有效化。