三角形知识点复习归纳总结

⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC用符号表示为△ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.

注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；

（2）三角形是一个封闭的图形；

（3）△ABC是三角形ABC的符号标记，单独的△没有意义．

 

⒉ 三角形的分类：

(1)按边分类：

(2)按角分类：

 

 

 

 

 

 

 

 

⒊ 三角形的主要线段的定义：

（1）三角形的中线

三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．

表示法：1.AD是△ABC的BC上的中线.

2.BD=DC=BC.

注意：①三角形的中线是线段；

②三角形三条中线全在三角形的内部；

③三角形三条中线交于三角形内部一点；

④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．

（2）三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段

表示法：1.AD是△ABC的∠BAC的平分线.

2.∠1=∠2=∠BAC.

注意：①三角形的角平分线是线段；

②三角形三条角平分线全在三角形的内部；

③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；

④用量角器画三角形的角平分线．

（3）三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．

表示法：1.AD是△ABC的BC上的高线.

2.AD⊥BC于D.

3.∠ADB=∠ADC=90°.

注意：①三角形的高是线段；

②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；

③三角形三条高所在直线交于一点．

 

⒋ 三角形的主要线段的表示法：

三角形的角平分线的表示法：

如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：

①  AD是DABC的角平分线；

②  AD平分ÐBAC，交BC于D；

③ 如果AD是DABC的角平分线，那么ÐBAD=ÐDAC=ÐBAC.

    (2)三角形的中线表示法：

如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：

①AE是DABC的中线；

②AE是DABC中BC边上的中线；

③如果AE是DABC的中线，那么BE=EC=BC.

图2

    (3)三角线的高的表示法：

如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示：

①    AM是DABC的高；

②    AM是DABC中BC边上的高；

③    如果AM是DABC中BC边上高，那么AM^BC，垂足是E；

④    如果AM是DABC中BC边上的高，那么ÐAMB=ÐAMC=90°.

⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：

    (1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部.

    (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.

			图4
	图3

 

 

 

如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.

图5

图6

	图7

 

⒍三角形的三边关系

   三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；

（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．

 

⒎ 三角形的角与角之间的关系：

(1)三角形三个内角的和等于180°;

图8

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

(4)直角三角形的两个锐角互余.

 

三角形的内角和定理

定理：三角形的内角和等于180°．

推论：直角三角形的两个锐角互余。

推理过程：

一、作CM∥AB，则∠4=∠1，而∠2+∠3+∠4=180⁰，

即∠A+∠B+∠ACB=180⁰．

二、作MN∥BC，则∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1+∠2+∠3=180⁰，

即∠BAC+∠B+∠C=180⁰．

 

 

 

 

 

 

注意：（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．

（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．

 

三角形的外角的定义

三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

注意：每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.

如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.   

 所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处

只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.

三角形外角的性质

（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．

（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．

注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；

（2）作CM∥AB由于B、C、D共线

   ∴∠A=∠1，∠B=∠2.

    即∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B.

    那么∠ACD>∠A.∠ACD>∠B.

 

8．三角形的稳定性：

三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性．

注意：（1）三角形具有稳定性；

（2）四边形没有稳定性.

 

适当添加辅助线，寻找基本图形

(1)基本图形一，如图8，在DABC中，AB=AC，B,A,D成一条直线，则ÐDAC=2ÐB=2ÐC或ÐB=ÐC=ÐDAC.

 

图9

(2)基本图形二，如图9，如果CO是ÐAOB的角平分线，DE∥OB交OA,OC于D,E，那么DDOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线→等腰三角形.

 

基本图形三，如图10，如果BD是ÐABC的角平分线，M是AB上一点，MN^BD，且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即DBMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分线+垂线→等腰三角形.

当几何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12.

 

              

 

 

图11