三角函数概念总结

1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：

（1） 终边与 终边相同( 的终边在 终边所在射线上) ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

 

（2） 终边与 终边共线( 的终边在 终边所在直线上) .

（3） 终边与 终边关于 轴对称 .

（4） 终边与 终边关于 轴对称 .

（5） 终边与 终边关于原点对称 .

（6） 终边在 轴上的角可表示为： ； 终边在 轴上的角可表示为： ； 终边在坐标轴上的角可表示为： .如 的终边与 的终边关于直线 对称，则 ＝____________。

 

4、 与 的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若 是第二象限角，则 是第_____象限角

 

5.弧长公式： ，扇形面积公式： ，1弧度(1rad) . 如已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

 

6、任意角的三角函数的定义：设 是任意一个角，P 是 的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是 ，那么 ， ， ， ， 。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。如

（1）已知角 的终边经过点P(5，－12)，则 的值为＿＿。

 

（2）设 是第三、四象限角， ，则 的取值范围是_______

 

（3）若 ，试判断 的符号

 

7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在 轴上(起点在 轴上)”、余弦线OM“躺在 轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点 处(起点是 )”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如

（1）若 ，则 的大小关系为_____

(答： )；

（2）若 为锐角，则 的大小关系为_______

 （答： ）；

（3）函数 的定义域是_______

 

8.特殊角的三角函数值：

 

30°

45°

60°

0°

90°

180°

270°

15°

75°

0

1

0

－1

1

0

－1

0

1

0

 

0

 

2-

2+

1

 

0

 

0

2+

2-

9. 同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：

（2）倒数关系：sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1,

（3）商数关系：

同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如

（1）函数 的值的符号为____

 

（2）若 ，则使 成立的 的取值范围是____

 

（3）已知 ， ，则 ＝____

 

（4）已知 ，则 ＝___； ＝____

 

（5）已知 ，则 等于

　　A、 　　B、 　　C、 　　　D、

 

（6）已知 ，则 的值为______

 

10.三角函数诱导公式（ ）的本质是：奇变偶不变（对 而言，指 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把 看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k + , ；(2)转化为锐角三角函数。如

（1） 的值为________

 

（2）已知 ，则 ______，若 为第二象限角，则 ________。

 

11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

     如（1）下列各式中，值为 的是

    A、      　B、

　  C、 　　D、

　

（2）命题P： ，命题Q： ，则P是Q的

　   A、充要条件　　B、充分不必要条件

　　　C、必要不充分条件　D、既不充分也不必要条件

 

（3）已知 ，那么 的值为____

 

（4） 的值是______

 

(5)已知 ，求 的值（用a表示）甲求得的结果是 ，乙求得的结果是 ，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______

 

12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 ， ， ， ， 等），如

（1）已知 ， ，那么 的值是_____

 

（2）已知 ，且 ， ，求 的值

 

（3）已知 为锐角， ， ，则 与 的函数关系为______

 

(2)三角函数名互化(切割化弦)，如

（1）求值

 

（2）已知 ，求 的值

 

(3)公式变形使用（ 。如

（1）已知A、B为锐角，且满足 ，则 ＝_____

 

(2)设 中， ， ，则此三角形是____三角形

 

(4)三角函数次数的降升(降幂公式： ， 与升幂公式： ， )。如

(1)若 ，化简 为_____

 

（2）函数 的单调递增区间为____

（答： ）

(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如

（1）  

 

（2）求证： ；

（3）化简：

 

(6)常值变换主要指“1”的变换（

等），如已知 ，求 （答： ）.

(7)正余弦“三兄妹— ”的内存联系――“知一求二”，如

（1）若 ，则    __

 

（2）若 ，求 的值。

 

（3）已知 ，试用 表示 的值

 

13、辅助角公式中辅助角的确定： (其中 角所在的象限由a, b的符号确定， 角的值由 确定)在求最值、化简时起着重要作用。如

（1）若方程 有实数解，则 的取值范围是___________.

 

（2）当函数 取得最大值时， 的值是______

 

（3）如果 是奇函数，则 =    

 

（4）求值： ________

 

14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数 和余弦函数 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0， 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

15、正弦函数 、余弦函数 的性质：

（1）定义域：都是R。

（2）值域：都是 ，对 ，当 时， 取最大值1；当 时， 取最小值－1；对 ，当 时， 取最大值1，当 时， 取最小值－1。如

（1）若函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 __， ＿

 

（2）函数 （ ）的值域是____

 

（3）若 ，则 的最大值和最小值分别是____ 、_____

 

（4）函数 的最小值是_____，此时 ＝__________

 

（5）己知 ，求 的变化范围

 

（6）若 ，求 的最大、最小值

 

。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？

（3）周期性：① 、 的最小正周期都是2 ；② 和 的最小正周期都是 。如

(1)若 ，则 ＝___

 

(2) 函数 的最小正周期为____

 

(3) 设函数 ，若对任意 都有 成立，则 的最小值为____

 

（4）奇偶性与对称性：正弦函数 是奇函数，对称中心是 ，对称轴是直线 ；余弦函数 是偶函数，对称中心是 ，对称轴是直线 （正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 轴的直线，对称中心为图象与 轴的交点）。如

（1）函数 的奇偶性是______、

 

（2）已知函数 为常数），且 ，则 ______

 

（3）函数 的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______

 

（4）已知 为偶函数，求 的值。

 

（5）单调性： 上单调递增，在 单调递减； 在 上单调递减，在 上单调递增。特别提醒，别忘了 ！

16、形如 的函数：

（1）几个物理量：A―振幅； ―频率（周期的倒数）； ―相位； ―初相；

（2）函数 表达式的确定：A由最值确定； 由周期确定； 由图象上的特殊点确定，如 ， 的图象如图所示，则 ＝_____

（3）函数 图象的画法：①“五点法”――设 ，令 ＝0， 求出相应的 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

（4）函数 的图象与 图象间的关系：①函数 的图象纵坐标不变，横坐标向左（ >0）或向右（ <0）平移 个单位得 的图象；②函数 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，得到函数 的图象；③函数 图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数 的图象；④函数 图象的横坐标不变，纵坐标向上（ ）或向下（ ），得到 的图象。要特别注意，若由 得到 的图象，则向左或向右平移应平移 个单位，如

（1）函数 的图象经过怎样的变换才能得到 的图象？

（答： 向上平移1个单位得 的图象，再向左平移 个单位得 的图象，横坐标扩大到原来的2倍得 的图象，最后将纵坐标缩小到原来的 即得 的图象）；

(2) 要得到函数 的图象，只需把函数 的图象向___平移____个单位

 

（3）将函数 图像，按向量 平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出 ；若不唯一，求出模最小的向量

 

（4）若函数 的图象与直线 有且仅有四个不同的交点，则 的取值范围是                      

 

（5）研究函数 性质的方法：类比于研究 的性质，只需将 中的 看成 中的 ，但在求 的单调区间时，要特别注意A和 的符号，通过诱导公式先将 化正。如

（1）函数 的递减区间是______

 

（2） 的递减区间是_______

 

（3）设函数 的图象关于直线 对称，它的周期是 ，则

A、

B、 在区间 上是减函数

C、

D、 的最大值是A

 

（4）对于函数 给出下列结论：

①图象关于原点成中心对称；

②图象关于直线 成轴对称；

③图象可由函数 的图像向左平移 个单位得到

；④图像向左平移 个单位，即得到函数 的图像。

其中正确结论是_______

 

（5）已知函数 图象与直线 的交点中，距离最近两点间的距离为 ，那么此函数的周期是_______

 

17、正切函数 的图象和性质：

（1）定义域： 。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？

（2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值；

（3）周期性：是周期函数且周期是 ，它与直线 的两个相邻交点之间的距离是一个周期 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如 的周期都是 , 但

的周期为 ，而 ， 的周期不变；

（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是 ，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与 轴的交点，另一类是渐近线与 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。

（5）单调性：正切函数在开区间 内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。如下图：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18. 三角形中的有关公式：

(1)内角和定理：三角形三角和为 ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方.

(2)正弦定理： (R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式： ；

； ；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

(3)余弦定理： 等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.

 (4)面积公式： （其中 为三角形内切圆半径）.如 中，若 ，判断 的形状（答：直角三角形）。

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意 这个特殊性： ；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如

（1） 中，A、B的对边分别是 ，且 ，那么满足条件的    A、 有一个解   B、有两个解  C、无解     D、不能确定

 

（2）在 中，A＞B是 成立的_____条件

 

（3）在 中， ，则 ＝_____

 

(4)在 中， 分别是角A、B、C所对的边，若 ，则 ＝____

 

（5）在 中，若其面积 ，则 =____

 

（6）在 中， ，这个三角形的面积为 ，则 外接圆的直径是_______

 

（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边， =   ， 的最大值为            

 

（8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是      

 

（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若 ，且 的面积满足关系式 ，求 （

 

19.反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）： 表示一个角，这个角的正弦值为 ,且这个角在 内 。(2)反正弦 、反余弦 、反正切 的取值范围分别是 .

在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、 到 的角、 与 的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？ ， ， ．

20、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如

（1）若 ，且 、 是方程 的两根，则求 的值______

 

（2） 中， ，则 ＝_______

 

（3）若 且 ， ，求 的值

.