4．在 中，AC=BC， ，点D为AC的中点．

（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作 ，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．

（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25．如图，直线 ： 平行于直线 ，且与直线 ： 相交于点 ．

（1）求直线 、 的解析式；

（2）直线 与y轴交于点A．一动点 从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，仍沿平行于x轴的方向运动，……

照此规律运动，动点 依次经过点 ， ， ， ， ， ，…， ， ，…

①求点 ， ， ， 的坐标；

②请你通过归纳得出点 、 的坐标；并求当动点 到达 处时，运动的总路径的长．

 

24. 若 是关于 的一元二次方程 的两个根，则方程的两个根 和系数 有如下关系： .  我们把它们称为根与系数关系定理.

如果设二次函数 的图象与x轴的两个交点为 .利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：

请你参考以上定理和结论，解答下列问题:

设二次函数 的图象与x轴的两个交点为 ，抛物线的顶点为C，显然 为等腰三角形.

（1）当 为等腰直角三角形时，求

（2）当 为等边三角形时，             .

（3）设抛物线 与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，且 ,试问如何平移此抛物线，才能使 ？

25．已知抛物线 （ ）与 轴相交于点 ，顶点为 .直线 分别与 轴， 轴相交于 两点，并且与直线 相交于点 .

(1)填空：试用含 的代数式分别表示点 与 的坐标，则 ；

(2)如图11，将 沿 轴翻折，若点 的对应点 ′恰好落在抛物线上， ′与 轴交于点 ，连结 ，求 的值和四边形 的面积；

(3)在抛物线 （ ）上是否存在一点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出 点的坐标；若不存在，试说明理由.

 

 

 

 

 

 

24．如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点， .

（1）求证：AD=AE；

（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF.

求证： ；

（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.

图1

E

B

C

A

D

图3

E

B

C

A

D

图2

E

C

B

A

D

F

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（3,0），连结BC．

y

O

A

B

C

1

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（1）求证：△ABC是等边三角形；

（2）点P在线段BC的延长线上，连结AP，作AP的垂直平分线，垂足为点D，并与y轴交于点D，分别连结EA、EP．

①若CP＝6，直接写出∠AEP的度数；

②若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），∠AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠ADP的度数；

（3）在（2）的条件下，若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度． EC与AP于点F，设△AEF的面积为S₁，△CFP的面积为S₂，

y＝S₁－S₂，运动时间为t（t>0）秒时，求y关于t的函数关系式．

 

 

24．在△ABC中，∠ACB=45º．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．

（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？

（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝ ， ，CD= ，求线段CP的长．（用含 的式子表示）

           

 

2５．已知抛物线 经过点A（1，3）和点B（2，1）．

（1）求此抛物线解析式；

（2）点C、D分别是 轴和 轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；

（3）过点B作 轴的垂线，垂足为E点．点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点,再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的 倍,试确定点F的位置,使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短．（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明）

 

 

 

 

24.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；

（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．

你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．  

（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）

 

F

B

A

D

C

E

G

图1

F

B

A

C

E

图3

D

F

B

A

D

C

E

G

图2

 

 

 

 

 

25. 如图：抛物线经过A（－3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点．

  （1）求抛物线的解析式．

  （2）已知AD＝AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

 

 

 （3）在（2）的条件下， M为抛物线的对称轴上一动点，当MQ＋MC的值最小时，请求出点M的坐标．

 

 

 

 

 

 

 

 

24．（本小题满分7分）

直线CD经过 的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且 ．

（1）若直线CD经过 的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若 ，则           （填“ ”，“ ”或“ ”号）；

②如图2，若 ，若使①中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是               ；

（2）如图3，若直线CD经过 的外部， ，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

 

A

B

C

E

F

D

D

A

B

C

E

F

A

D

F

C

E

B

图1

图2

图3

 

 

 

 

 

25．（本小题满分8分）

已知抛物线 ．

　（1）求抛物线顶点M的坐标；

　（2）若抛物线与x轴的交点分别为点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

　（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

 

 

24．我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此性质解决下面的问题.

已知：如图，点 为等腰直角三角形 的重心， ，直线 过点 ,过 三点分别作直线 的垂线，垂足分别为点 .              

(1)当直线 与 平行时（如图1），请你猜想线段 和 三者之间的数量关系并证明；

图1                             图2                            图3

    (2) 当直线 绕点 旋转到与 不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明．

 

 

 

 

 

                                                

 

25．已知：如图1，等边 的边长为 ，一边在 轴上且 ，  交 轴于点 ，过点 作 ∥ 交 于点 ．

（1）直接写出点 的坐标；

（2）若直线 将四边形 的面积两等分，求 的值；

（3）如图2，过点 的抛物线与 轴交于点 ， 为线段 上的一个动点，过 轴上一点 作 的垂线，垂足为 ，直线 交 轴于点 ，当 点在线段 上运动时，现给出两个结论：

①  ② ，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．

图1                                   图2

 

 

25．如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（1， ），若把线段OA

绕点O逆时针旋转120°，可得线段OB．

（1）求点B的坐标；

（2）某二次函数的图象经过A、O、B三点，

求该函数的解析式；

（3）在第（2）小题所求函数图象的对称轴上，

是否存在点P，使△OAP的周长最小，

若存在，求点P的坐标； 若不存在，

请说明理由．

 

 

26．已知：如图1，点P在线段AB上（AP＞PB），C、D、E分别是AP、PB、AB的中点，正方形CPFG和正方形PDHK在直线AB同侧．

⌒

A                   O                 B

C

P

M

P

A

E

B

A

x

y

－1

1

2

－3    －2     －1                     1          2

3

O

（1）求证：△EHG是等腰直角三角形；

（2）若将图1中的射线PB连同正方形PDHK

绕点P顺时针旋转一个角度后，其它已知

条件不变，如图2，判断△EHG还是等腰

直角三角形吗？请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三

 

解

答

题

20．

解:

 

 

 

 

 

21．

解:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22．

解：（1）

 

 

 

 

 

 

 

  

 （2）

 

24．如图，已知抛物线C₁： 的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点A的横坐标是 ．

（1）求 点坐标及 的值；

（2）如图（1），抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向左平移，平移后的抛物线记为C₃，C₃的顶点为M，当点P、M关于点A成中心对称时，求C₃的解析式 ；

（3）如图（2），点Q是x轴负半轴上一动点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线C₄．抛物线C₄的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N的坐标．

 

 

 

25．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°, ∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．

（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数

量关系：             ；

（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；

（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．

（可利用（2）得到的结论）           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  24． 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B= ，AD=AB=2,点E是AB边上一动点(点E不与点A、B重合)，连结ED，过ED的中点F作ED的垂线，交AD于点G,交BC于点K,过点K作KM⊥AD于M．

(1)    当E为AB中点时，求 的值；

(2)    若 , 则 的值等于         ；

(3)    若 （ 为正整数），

则 的值等于         （用含 的式子表示）．

 

25、如图，在平面直角坐标系 中，直线l₁： 交x轴、y轴于A、B两点，点M(m,n)是线段AB上一动点, 点C是线段OA的三等分点．

（1）求点C的坐标；

（2）连接CM，将△ACM绕点M旋转180°，得到△A’C’M.

①当BM= AM时，连结A’C、AC’,若过原点O的直线l₂将四边形A’CAC’分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

 

②过点A’作A’H⊥x轴于H，当点M的坐标为何值时，由点A’、H、C、M构成的四边形为梯形？

 

 

 

 

 

 

 

24．如图，将腰长为 的等腰Rt△ABC（ 是直角）放

在平面直角坐标系中的第二象限， 使顶点A在y轴上，

顶点B在抛物线 上，顶点C在x轴

上，坐标为（ ，0）．

（1）点A的坐标为         ，点B的坐标为         ；

（2）抛物线的关系式为                       ，其顶点坐标为             ；

（3）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达 的位置．请判断点 、 是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．

 

25．如图，在梯形 中， ，梯形的高为4．动点 从 点出发沿线段 以每秒2个单位长度的速

度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段

以每秒1个单位长度的速度向终点 运动．设运动的时间为 （秒）．

（1）当 时，求 的值；

（2）试探究： 为何值时， 为等腰三角形．

 

 

24．小华用两块不全等的等腰直角三角形的三角板摆放图形.

    （1）如图①所示△ABC，△DBE，两直角边交于点F，过点F作FG∥BC交AB于点G，连结BF、AD，则线段BF与线段AD的数量关系是            ；直线BF与直线AD的位置关系是       　　  ，并求证：FG＋DC＝AC；

（2）如果小华将两块三角板△ABC，△DBE如图②所示摆放，使 三点在一条直线上，AC、DE的延长线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AE于点G，连结AD，FB，则FG、DC、AC之间满足的数量关系式是                   ；

（3）在（2）的条件下，若AG＝ ，DC＝5，将一个45°角的顶点与点B重合，并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于P、Q两点（如图③），线段DF分别与线段BQ、BP相交于M、N两点，若PG＝2，求线段MN的长．

            

 

 

（第24题图①）            （第24题图②）

                                             （第24题图③）

 

25．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点，（点A在点B左侧）.与y轴交于点C，顶点为D，直线CD与x轴交于点E.

（1）请你画出此抛物线，并求A、B、C、D四点的坐标.

（2）将直线CD向左平移两个单位，与抛物线交于点F（不与A、B两点重合），请你求出F点坐标.

（3）在点B、点F之间的抛物线上有一点P，使△PBF的面积最大，求此时P点坐标及△PBF的最大面积.

（4）若平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点，以GH为直径的圆与x轴相切，求该圆半径.

 

 

 

 

 

 

 

 

24. 点 为抛物线 ( 为常数， )上任一点，将抛物线绕顶点 逆时针旋转 后得到的新图象与 轴交于 、 两点（点 在点 的上方），点 为点 旋转后的对应点.

（1）当 ，点 横坐标为4时，求 点的坐标；

（2）设点 ，用含 、 的代数式表示 ；

（3) 如图，点 在第一象限内, 点 在 轴的正半轴上，点 为 的中点，  平分 ， ，当 时，求 的值.

 

 

25.已知： 中， ， 中， , . 连接 、 ，点 、 、 分别为 、 、 的中点.

           

图1                           图2

(1) 如图1，若 、 、 三点在同一直线上，且 ，则 的形状是________________，此时 ________；

(2) 如图2，若 、 、 三点在同一直线上，且 ，证明 ，并计算 的值（用含 的式子表示）；

(3) 在图2中，固定 ，将 绕点 旋转，直接写出 的最大值.

 

 

 

24．(1)已知：如图1，△ 中，分别以 、 为一边向△  外作正方形 和 ，直线 于 ，若 于 ， 于 . 判断线段 的数量关系，并证明；

(2)如图2，梯形 中， ∥ , 分别以两腰 、 为一边向梯形  外作正方形 和 ，线段 的垂直平分线交线段 于点 ，交 于点 ，若 于 ， 于 ．(1)中结论还成立吗？请说明理由.

 

25．如图，在平面直角坐标系 中，点 关于 轴的对称点为 ， 与 轴交于点 ，将△ 沿 翻折后，点 落在点 处．

（1）求点 、 的坐标；

（2）求经过 、 、 三点的抛物线的解析式；

（3）若抛物线的对称轴与 交于点 ，点 为  

线段 上一点，过点 作 轴的平行线，

交抛物线于点  .

①     当四边形 为等腰梯形时，求出点

的坐标；

②     当四边形 为平行四边形时，直接写出点 的坐标.

 

24．已知：将函数 的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像．

(1)求这个新的函数的解析式；

(2)若平移前后的这两个函数图象分别与y轴交于 、 两点，与直线

x

y

O

交于 、 两点．试判断以 、 、 、 四点为顶点的

四边形形状，并说明理由；

(3)若⑵中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数

的图象的一部分，求满足条件的实数b的取值范围．

 

 

 

25．已知：如图，在直角坐标系中，已知点 的坐标为 ，将线段 按逆时针方向旋转 ，再将其长度伸长为 的2倍，得到线段 ；又将线段 按逆时针方向旋转 ，长度伸长为 的2倍，得到线段 ；如此下去，得到线段 ， ， ， （ 为正整数）

O

x

y

 

(1)求点 的坐标；

(2)求 的面积；

(3)我们规定：把点 （ ）的横坐标

、纵坐标 都取绝对值后得到的新坐标 称之为点

的“绝对坐标”．根据图中点 的分布规律，请你猜想点

的“绝对坐标”，并写出来．

 

 

 

 

24．（本小题满分7分）

已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线 经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍.

（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；                      

（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形；

（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大，若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．

 

 

 

 

25．（本小题满分8分）

已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′ 处．

（1）当 =1 时，CF=______cm，

（2）当 =2 时，求sin∠DAB′ 的值；

C

A

D

B

（3）当 = x 时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．

                                                                 

 

 

 

 

 

24．已知如图，在梯形 中， 点 是 的中点， 是等边三角形．

  （1）求证：梯形 是等腰