关于组合图形面积的计算问题

学习目标：

1、丰富学生对现实空间及图形的认识，发展想象思维和空间观念。

2、能综合运用所学圆的相关知识和技能解决问题，发展应用意识和实践能力。

在图形的的转化、变通过程中感悟组合图形面积计算的趣味性和灵活性，体验数学问题的挑战性和探究性，感受空间图形变化之美。

重点： 会求组合图形的面积。

难点：转化方法的灵活运用，转化思想的渗透

设计理念  ：

     根据《数学课程标准》的要求，通过对组合图形的面积的计算（以圆面积计算为主），使学生在巩固已有知识的基础上发现和归纳解题思路，掌握解题规律，沟通数学知识之间的联系，促进学生数学思维的发展。因此在设计时以自主探究为主线，合作交流为载体，引导学生从不同角度去思考问题、解决问题，着重培养学生数学思维的灵活性和变通性，同时渗透转化的数学思想。

学习过程：

一、导入：

     在我们的周围，1、2、3、4、5……这些神奇的数字无处不在，A、B、C、D、E、……这些可爱的字母也常常出现在我们的视野中，长方形、正方形、三角形、扇形、圆形……更是我们生活中离不开的朋友，（课件出现各种平面图形，强调圆形）今天我们就来利用这些图形面积的有关知识来解决一些生活中的问题。板书：组合图形面积的计算

二、自主探究

   活动一：自主学习P35例1 

   1、课件呈现例1题目及有着欧式窗子的别墅图形（画面闪动突出窗子形状）。

   2、读题，分析题意，独立尝试解决问题。

   3、以小组为单位，小组长负责制，讨论、交流解决问题的思路及解决方法，修改订正。

   4、小组代表汇报 。

师板书：（1）解题思路：窗子面积=正方形面积+半圆面积   

       （2）解决方法：

      半径：1.2÷2=0.6（m）

      半圆面积：3.14×0.6÷2

               =3.14×0.36÷2

               =0.562（m）

      正方形面积：1.2×1.2=1.44（m）

      窗户的面积：0.562+1.44=2.0052≈2(m)

      答：窗户的面积约是2m。

活动二：自主学习P35例2

1、 课件呈现例2情境图

2、 自学要求：A按照题意画示意图 B折叠后的桌面面积应该怎样算？C如何计算折叠部分的面积？

3、 学生尝试解决   两名学生板演

4、 全班反馈，评价

（1）折叠后桌面面面积：1.2×（1.2÷2）÷2=1.2×0.6÷2=0.36（m）

（2）折叠部分的面积：圆的半径： 1.2÷2=0.6(m)  

     圆的面积：3.14×0.6=3.14×0.36=1.1304≈1.13（m） 

     折叠面积：1.13－0.72=0.41（m）

（3）作答

5、总结思路：折叠部分面积=圆面积－正方形面积

三、展示反馈 （基础题组训练）

活动三：图形平移  

求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

     独立计算后同桌互说解题思路，交流计算方法，班内统一归纳总结出最优解答方案：将左图中的阴影扇形向右平移，形成右图阴影→正方形面积：2×2=4（平方米）

  活动四： 图形旋转

  求图中阴影部分面积。（单位：厘米）

在前三次活动经验的基础上学生自主探究转化思想：旋转 —— 以左图大圆的圆心为中心，将右侧小半圆顺时针旋转180度，就得到如右图形状→较大半圆的面积为：3.14×10=157（cm）

四、拓展提升

以直线为对称轴翻折（ 此题可作为课外探讨题）

求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）

以左图的竖直半径为对称轴，将右边的阴影部分对折到左边如右图，左图所求阴影部分的面积就是右图中大扇形的面积与空白三角形面积的差 ，列式为：3.14×20÷8-20×（20÷2）÷2=57（cm）

五、课堂总结：

这节课你用相关的图形面积计算方法解决了那些生活中的问题？运用了那些数学思想方法算出了各种组合图形的面积？数学世界是不是非常美丽而又神奇呢？在图形的王国里，充满了无穷的变化，又充满了无尽的挑战……

六、布置作业：

练习七2、3题

附：板书设计    

                组合图形面积的计算

例1 半径：1.2÷2=0.6（m ）      例2 （1）折叠后桌面面面积：

半圆面积：3.14×0.6÷2         1.2×（1.2÷2）÷2=1.2×0.6÷2=0.36（m）

         =3.14×0.36÷2               （2）折叠部分的面积：

=0.562（m）                       圆的半径： 1.2÷2=0.6(m)

 正方形面积：1.2×1.2=1.44（m）            圆的面积： 3.14×0.6

窗户的面积：0.562+1.44=2.0052≈2(m)                 =3.14×0.36

答：窗户的面积约是2m 。                             =1.1304≈1.13（m）

                                    折叠面积：1.13－0.72=0.41（m）

    S窗=S正+S半圆         S折叠=S圆-S正

图形平移        图形旋转          对称翻折

（1）巩固平行线的判定和性质的基础知识，沟通知识之间的联系，整理本阶段学习的知识、及梳理知识结构。

（2）就前段的学习过程，弥补学生在基础知识掌握上的缺陷。

（3）提高平行线的判定及性质的综合运用、灵活运用知识和解决实际问题的能力。

（4）在解决问题的过程中，提升学生的学习信心。

教学重点：平行线的判定和性质的综合应用

教学难点：平行线的判定和性质的综合应用

一：知识点的整理：

一)复习平行线的判定方法

  ①同位角相等，两直线平行

  ②内错角相等，两直线平行

  ③同旁内角互补，两直线平行

二：课堂讲解：

例1：看图填空

 （1）∵∠A=∠3   ∥       （              ）

 （2）∵∠A+∠1=180°∴  ∥       （         ）

（3）∵∠A+∠AEF=180° ∴     ∥       （        ）

 （4）∵∠F=∠2 ∴     ∥       （                ）

（5）∵∠5=∠7 ∴       ∥       （                 ）

（6）∵AB∥CD,AB∥EF ∴      ∥      （             ）

分析：通过简单的填空练习，整理平行线的判定的方法

  ①同位角相等，两直线平行

  ②内错角相等，两直线平行

  ③同旁内角互补，两直线平行

  ④平行线的传递性：平行于同一直线的两条直线互相平行

特别：强调同位角、内错角、同旁内角的识别

（就题目中的角说明是哪两条直线被哪条直线所截产生的）

课堂练习

1：如图所示，能判断AB∥CE的条件是（     ）

     A：∠A=∠ACE             B：∠A=∠ECD

  C：∠B=∠BCA             D：∠B+∠ACD=180° 

2：如图所示，下列推理正确的有（     ）

   A：0      B：1      C：2      D：3

  （1）∵∠2=∠3   ∴AE∥FC

  （2）∵∠1=∠4   ∴AB∥CD

  （3）∵∠1+∠2=∠3+∠4   ∴AB∥DC

（二）复习平行线的性质定理   

    ①两直线平行，同位角相等

    ②两直线平行，内错角相等

    ③两直线平行，同旁内角互补

    ④平行线之间的距离处处相等

一：看图填空   

（1）∵AB∥CD ∴∠3 =   （   ）∠BGD=       （          ）

 （2）∵AB∥EF ∴∠5=    （   ）∠ABF+      =180°(        ）

（3）∵CD∥EF ∴∠F=       （          ）

        ∠DGE+      =180°(          )

                     （4）∵CD∥EF ∴(            )

分析：通过简单的填空练习，整理平行线的性质定理

课堂练习

1：如图所示，AB∥CD，下列等式成立的是（      ）

   A：∠CAD=∠ACB      B：∠BAC=∠ACD

   C：∠B=∠D          D：以上答案都不对

2：如图，一张宽度相等的纸条，折叠后，若∠ABC＝120°，

则∠1的度数为_____。

（三）平行线的判定及性质的综合练习

一：看图完成推理过程

分析：强调平行线的判定、性质的区别与联系

平行线的判定是通过角的相互关系得两直线平行，平行线的性质是通过两直线平行得两角之间的关系。

1：如图所示，请在以下条件中任选2个作为已知条件，剩下的一个作为所求内容并完成推理过程

（1）AB∥CD    （2）AD∥BC      (3) ∠B=∠D

2：如图所示，请在以下条件中任选3个作为已知条件，剩下的一个作为所求内容并完成推理过程

（1）AB⊥EF     (2)AB⊥CD      (3) ∠1=∠2      (4) DG∥BC

（四）课堂小结

（1）平行线的判定和性质

（2）分析法是重要的解题方法之一，按照结论需要什么条件，逐步逆推，直到推出所需要的条件是题目中的已知条件，这样就找到了解题思路。

 数三角形的方法之我见

数三角形常常困扰很多学生，为了让学生更好地数三角形，本人通过不断的努力学习和探索，最近，终于发现了一种数三角形的规律，能够很方便地把三角形的个数数出来。现在本人将探索的结果展现出来参考，如有不足之处希望行家多加指导。

本人是以人民出版社小学四年级数学中，一个数三角形的题型为说法，存在的规律如下：

        1 （图一）只有 一个三角形，我把它看成1的平方。算式：1²=1

 （ 图一）

         1 （ 图二） 共有五个三角形。其中有四个小三角形是2的平方，加上

           （图一）正好是五个。算式：1²+2²=5

            3

（ 图二） 

1    （图三）共有十三个三角形。其中有九个小三角形是3的平方，减掉一（有一个倒三角形不完整），再加上（图二 ）正好是十三个。

             算式：1²+2²+（3²-1）=13

            3

           5  

（图三）

       1

         （图四）共有二十七个三角形。其中有十六个小三角形是4的平方，

             3  减掉二（有两个倒三角形不完整），再加上（图三）正好是

                二十七个。   算式：1²+2²+（3²-1）+（4²-2）=27

                5

                7

       （图四）                

             1

                3

             1    5    （图五） 共有四十八个三角形。其中有二十五个小三角形是5的平方，减掉四（有四个倒三角形不完整），再加上（图四）正好是四十八个。

                       7  算式：1²+2²+（3²-1）+（4²-2）+（5²-4）=48

                   5 

                       7  9

                            （图五）                          

                 1      

                     （ 图六） 共有七十八个三角形。其中有三十六个小三角形是6 的                      3   平方，减掉六（有六个倒三角形不完整），再加上（图五）正好

5      是七十八个。

                          7 算式：1²+2²+（3²-1）+（4²-2）+（5²-4）+（6²-6）=78

                             9     

                                 11

            （ 图六）

从上面的规律分析可以看出，（图一）和（图二）没有出现不完整的倒三角形，所以平方不须要减任何数，也就是图形的一、二层不须要减任何数。图形的三层和四层分别出现了一个和两个不完整的倒三角形，所以平方就要减一，减二，不完整倒三角形都出现在底下一层。在图形的五层、六层分别发现有四个、六个不完整的倒三角形，所以平方就要减4，减6，这时不完整倒三角形出现了两层。由此可以推出：七层有九个不完整的倒三角形，八层有十二个 ，不完整倒三角形有可能会出现三层…由此可以归纳出它的规律，一，二层分别为：0，0（个）；三，四层分别为：1，2（个）；五，六层分别为4，6（个）；七，八层分别为：9，12（个）；九，十层分别为：16，20（个）…不完整的倒三角形。由此可以写成:0*0，1*0（个）；1*1,2*1（个）;2*2,3*2（个）;3*3,4*3（个）；4*4，5*4（个）…不完整的倒三角形。所以不完整的倒三角形分为两种形式：单数层[n(n+1)(4n-1)/6]和双数层[n(n+1)（4n+5n）/6]

从以上的规律可以总结出数三角形的方法算式为：（1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+…+m²）-[1²+2*1+2²+3*2+3²+4*3+4²+5*4+…+n²+(n+1)*n]( m≥1,n≥0)，由此推出： 1，3，5，7，9…单数层公式（1）为：[m(m+1)(2m+1)/6]-[n(n+1)(4n-1)/6]，( m≥1,n≥0);2,4,6,8…双数层公式（2）为：[m(m+1)(2m+1)/6]-[n(n+1)（4n+5n）/6], ( m≥1,n≥0)。[当m=1时，n=0用公式（1），m=2时，n=0用公式（2）（没有不完整倒三角形）,当m=3时，n=1用公式（1），当m=4时，n=1用公式（2）（不完整倒三角形都出现在底下一层）…]。

                   1

                     3

                         5 

                              7

                                9

                                   11

                                      13    （

          又到报考英语四六级的时间了，大家又都开始忙碌起来了。大家都希望一下子都给过了，我相信大家只要努力，我坚信每个人都会过的！！下面偶想谈谈我的感受，偶~~也来雷人一吧，，哦~~`哦```~哦`~~`哦！！

          首先，要明白自己是要参加应试的，切不可把考试当成学东西的机会，我说的，是非英语专业的！！

         其次，要大胆的放弃单词的死记硬背，如果你越试图记住它，它越会跟你开玩笑，越会让你记不住，甚至会把你以前的单词一并给吸走，让你花了时间，还挨累不落好！！最后，悔之当初呀！！

         最后要想想对策和办法呀，不能老是处于这种被动状态呀！！

          友人说过这么一句话，语言全在个“语”字，诚然，语言是特需要语感的，那么语感哪来呢？很自然，我们是需要经常地进行朗读英语文章，而且还需要带上感情，因为成人的记忆方式是感情登记式的，再细细加以品位，就可以了，一定要的！！！

         同样的，我们还需要进行大量的听力训练，这样我们的听感会大大提高的。中国的文字是包括“音”，“形”，“义”三个方面，而英语只有“音”，“义”这两面特别明显，所以要经常的听。汉语讲究押尾韵，而英语讲究押头韵！你可以自己去揣摩一下！！

        下面，自然是要解决阅读问题了。首先你可以，先找英汉对照的文章进行阅读，这样对你记忆英语很有好处的，等有一定词汇量的时候，然后直接阅读英文版的文章，这样会容易得很！！

        最后，要谈的是应试办法渠道的来源问题：一，你可以到英语方面的论坛去看看别人的心得和经验，或许，会对你有好处的；第二，要有进行应试的材料，可以是星火之类的。。。。。；第三，要要你周边的同学和好友多进行交流，会有好处的！！

       祝每一位都顺利，考个自己想要的成绩！！

       仅是个人观点和体会，还望大家多给意见和批评！！