2012-8-10

 数三角形的方法之我见

                             

数三角形常常困扰很多学生，为了让学生更好地数三角形，本人通过不断的努力学习和探索，最近，终于发现了一种数三角形的规律，能够很方便地把三角形的个数数出来。现在本人将探索的结果展现出来参考，如有不足之处希望行家多加指导。

本人是以人民出版社小学四年级数学中，一个数三角形的题型为说法，存在的规律如下：

        1 （图一）只有 一个三角形，我把它看成1的平方。算式：1²=1

         

 （ 图一）

                                                                                                                          

         1 （ 图二） 共有五个三角形。其中有四个小三角形是2的平方，加上

           （图一）正好是五个。算式：1²+2²=5

            3

（ 图二） 

1    （图三）共有十三个三角形。其中有九个小三角形是3的平方，减掉一（有一个倒三角形不完整），再加上（图二 ）正好是十三个。

             算式：1²+2²+（3²-1）=13

            3

              

           5  

（图三）

              

       1

         （图四）共有二十七个三角形。其中有十六个小三角形是4的平方，

             3  减掉二（有两个倒三角形不完整），再加上（图三）正好是

                二十七个。   算式：1²+2²+（3²-1）+（4²-2）=27

                5

                 

                7

       （图四）                

             1

              

                3

             1    5    （图五） 共有四十八个三角形。其中有二十五个小三角形是5的平方，减掉四（有四个倒三角形不完整），再加上（图四）正好是四十八个。

                       7  算式：1²+2²+（3²-1）+（4²-2）+（5²-4）=48

                   5 

                       7  9

                            （图五）                          

                                                            

                 1      

                     （ 图六） 共有七十八个三角形。其中有三十六个小三角形是6 的                      3   平方，减掉六（有六个倒三角形不完整），再加上（图五）正好

5      是七十八个。

                          7 算式：1²+2²+（3²-1）+（4²-2）+（5²-4）+（6²-6）=78

                             9     

                                  

                                 11

                                    

            （ 图六）

从上面的规律分析可以看出，（图一）和（图二）没有出现不完整的倒三角形，所以平方不须要减任何数，也就是图形的一、二层不须要减任何数。图形的三层和四层分别出现了一个和两个不完整的倒三角形，所以平方就要减一，减二，不完整倒三角形都出现在底下一层。在图形的五层、六层分别发现有四个、六个不完整的倒三角形，所以平方就要减4，减6，这时不完整倒三角形出现了两层。由此可以推出：七层有九个不完整的倒三角形，八层有十二个 ，不完整倒三角形有可能会出现三层…由此可以归纳出它的规律，一，二层分别为：0，0（个）；三，四层分别为：1，2（个）；五，六层分别为4，6（个）；七，八层分别为：9，12（个）；九，十层分别为：16，20（个）…不完整的倒三角形。由此可以写成:0*0，1*0（个）；1*1,2*1（个）;2*2,3*2（个）;3*3,4*3（个）；4*4，5*4（个）…不完整的倒三角形。所以不完整的倒三角形分为两种形式：单数层[n(n+1)(4n-1)/6]和双数层[n(n+1)（4n+5n）/6]

从以上的规律可以总结出数三角形的方法算式为：（1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+…+m²）-[1²+2*1+2²+3*2+3²+4*3+4²+5*4+…+n²+(n+1)*n]( m≥1,n≥0)，由此推出： 1，3，5，7，9…单数层公式（1）为：[m(m+1)(2m+1)/6]-[n(n+1)(4n-1)/6]，( m≥1,n≥0);2,4,6,8…双数层公式（2）为：[m(m+1)(2m+1)/6]-[n(n+1)（4n+5n）/6], ( m≥1,n≥0)。[当m=1时，n=0用公式（1），m=2时，n=0用公式（2）（没有不完整倒三角形）,当m=3时，n=1用公式（1），当m=4时，n=1用公式（2）（不完整倒三角形都出现在底下一层）…]。

                                                                        

                   1

                     3

                         5 

                              7

                                9

                                   11

                                      13    （