直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方，这就叫做勾股定理。即勾的平方加股的平方等于弦的平方

在中国，《周髀算经》约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是中国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。

《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。还有的国家称勾股定理为“平方定理”.中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛以祭“天神”，因此又称“百牛定理”）.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a²+b²=c²。

勾股定理指出

直角三角形两直角边（短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。

中国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。

1．满足勾股定理方程a²+b²=c²的正整数组（a，b，c）。例如（3，4，5）就是一组勾股数组。勾股数组有无数多组。

　　 勾股数组的通式：a=m²-n²   b=2mn   c=m²+n²　　(m>n,  m,n为正整数）

2、勾股定理的逆定理: 如果三角形的一条直角边是a，另一条直角边是b，如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的来源

勾股定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明  

常用勾股数组(3,4,5);(6,8,10);(5,12,13);(8,15,17) ;(7,24,25)

6辅助定理：

﹙1﹚如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） ﹙2﹚三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。﹙3﹚任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。﹙4﹚任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积　                                                                                                                                                                                                                                                        　

7.探索勾股定理的方法:

         ﹙1﹚在方格纸上通过计算面积的方法

﹙2﹚通过拼图,用两种方法来表示同一个图形的面积和方法.

通过证明三角形相似则有射影定理如下：

（1）BD²=AD·DC， 2）AB²=AD·AC ，（3）BC²=CD·AC。       　　勾股数又名毕氏三元数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。

①            观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。

②            继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，．

．      若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。首先观察已知数是奇数还是偶数。（1）若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。(2）若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n²-1和n²+1

例如①已知直角三角形的一个边是奇数时:

3²=9分拆成4和5       勾股数   3  4  5 5²=25分拆成12和13   勾股数  5  12  13 ， 7²=49分拆成24和25    勾股数  7  24  25

9²=81分拆成40和41    勾股数  9  40  41，11²=121分拆成60和61  勾股数  11  60  61

②已知直角三角形的一个边是奇数时:

（4/2）²=4      4+1=5          4-1=3      勾股数     4   5   3 （6/2）²=9      9+1=10         9-1=8      勾股数     6   10   8

（8/2）²=16     16+1=17        16-1=15    勾股数     8   17   15 （10/2）²=25     25+1=26       25-1=24    勾股数     10   26   24

（2n/2）²=n²      n²+1          n²-1       勾股数   n²    n²+1      n²-1   

性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图，∠BAC=90°，则AB²+AC²=BC²;

性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。    性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：

（1）AD²=BD·DC，　　（2）AB) ²=BD·BC ，　　（3）AC ²=CD·BC 。（4）AB*AC=AD*BC (可用面积来证明）

性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

性质7:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

直角三角形的判定方法：

判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。

判定3：若a的平方+b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形

判定4：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定5：两个锐角互余的三角形是直角三角形。

判定6：在直角三角形中，60度内角所对的直角边等于斜边长的二分之根号三。　判定7：在证明直角三角形全等的时候 可以利用HL 两个三角形的斜边长对应相等 以及一个直角边对应相等 可判断两直角三角形全等。