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扮阳光教师，做优秀班主任 [随笔杂谈]
发表于：2013-06-23 阅读：240次
扮阳光教师，做优秀班主任 “为了看看阳光，我来到世上。”这是巴尔蒙特的诗句。既然选择了教师这份神圣的职业，就要在贫富差距越来越大的今天耐得住清贫，不被绚丽多姿的社会所动摇诱惑；就要珍惜你所拥有的，知足常乐，以阳光的步伐走入校门，走上讲台，向学生展现一个阳光的自我。为了让学生能更多的看到阳光，感受到阳光的温暖，在与他们相处的时候，在适当的场合，不失时机的为他们展现笑容，创造轻松、和谐、愉悦的氛围。 “态度决定一切。”在班级管理中，我时刻以这句仇校长常说的名言提醒自我。在繁琐的班级管理工作中，消极应对或积极面对，最终都得自己去完成。既然无法逃避，与其心烦意乱的抱怨着完成，不如静下心来，调整好自我，积极快乐的去完成。为班级工作的积极开展奠定基础。 充分发挥班干部的管理作用。一个成功者的背后，总有一批优秀的干将。一个优秀的班主任背后，总有一批得力的班干部。一个人的力量是有限的，要在繁琐班级管理工作中，做到得心应手，井井有条，就需将班级管理工作分解。在班级常规管理中，只要指导到位，班干部完全能够胜任。例如：班级公共事务的服务。在高效课堂实施后，就可分解到组，再由组分解到人。两组负责门窗擦洗，一组负责作业本的收发，一组负责牛奶的发放，其余五组分别负责周一到周五的卫生打扫。每件事务由大家选出管理者，并由管理者和大家共同制定管理制度。当然，在有些常规管理中，因管理事务的难易度，或因管理者的才能有限，一些工作做得不到位，这就需要班主任进一步指导。如果指导后效果仍不明显，就需调整管理人员或重新制定管理方法。例如：班级纪律管理，最初由我班班长具体负责，班干部配合班长共同管理。但因班长能力有限，不能很好的领导组织班干部共同管理。几经指导效果甚微，我就改变管理方法，变为班长全权负责，每天三组轮流配合班长共同管理。管理制度由原来的处罚班干部自然就变为所轮流的小组，当每人都充当管理者后，深感管理的不易，慢慢的都有所改变，纪律自然比以前由班干部管理就好多了。当班级工作步入正轨，班级工作就应从常规管理向深入管理转换。 “细节决定成败，无爱便无教育。”和学生相处的时间，除了常规管理的工作外，还有很多其他时间和他们在一起。在这些共处的时间里，只要能抓住细节，便能让学生感受到我们对他们的爱。学生请假时，一句关心的问候，一声温馨的祝福，一次耐心的开导。学生受伤时，关心照料；学生灰心丧气失意时，投去鼓励信任的目光；学生成功努力时，投去赞许欣赏的祝贺。只要能抓住时机，便能把我们对他们的爱，向春雨“润物细无声”那样，播进他们的心田，让他们真真切切的感受到我们对他们的爱。从而更深入的了解他们，为班级工作的深入开展打下伏笔。 班级管理不仅是一门科学，更是一门艺术。当对学生有充分的了解后，在班级管理中，便能因人而异，游刃有余。现将班级管理中的一些非常规管理方法总结如下：一、刚柔并济。在现行师生平等，尊重学生，一切为了学生的教育理念中，教师在学生面前的言行就要分外注意恰当。成就一个学生需要很多的心血，毁灭一个学生有时只需一句话。这就需要我们在教育学生时，做好充分的准备，避免公众场合，给学生足够的尊重。当然有时难免和学生发生冲突，这就让我想起了杨红斌主任常教导我们的“刚柔并济”。当和学生矛盾升级后，事后叫入办公室，谈谈心，做做思想工作，不求将学生完全转化，只求在以后工作中，不起负面影响。二、褒贬共用。例如我班潘帅和曹佳伟在课间来到我的办公室，说他俩打架了，要我做一个公平合理的评判。面对着俩名都显委屈，互不认错，责怪对方的学生；想着没有调查就没有发言权的哲言。我先让他们将整个事件写出来，同时我去向其他同学调查情况。当整个事件调查清楚后，我追忆着教育家对此类事件的处理方法，想起了三颗糖的教育故事。于是，我首先买了些颗糖，才去调节这场因嬉闹过分引起的打架事件。面对着潘帅和曹佳伟，我说到，首先对你俩能在第一时间收手，来办公室找我表示赞赏，我便给了他俩各一颗糖。再次我对你俩对我的信任我感到高兴，对你俩能静下心来，写出事件的过程提出表扬，又奖励给他俩各一颗糖。表扬完后再和他们分别交谈，最后才对他俩的事件做出评判。当我处理完后，在他俩离开的那一刻，他俩竟也握手言和。三、师生共同教育。在班上总有一些大错不犯，小错不断的学生。对于他们的养成教育，同学好友间的监督督促比老师更起作用。再教育约束他们的同时，这些监督者也就更严格的要求自我。 积极学习，从专业性教师不断向多才多艺形教师转变。记得有一段时间，我们办公室研究魔方，当目睹杨主任三下五除二将一个魔方转好后，我们对杨主任的尊敬度又一次得到提升。面对者爱好各异的学生，要想在他们心中提升我们的威信度，就需我们不仅能做好分内事，而且还能做好分外事。他们爱下象棋，我就和他在棋盘上一比高下；他们爱玩乒乓球，我就和他比拼一场。总之，只要是学生喜好的正当活动，能学就学，我就不信，他们不服我。 不断陶冶自己的情操，修身养性，做一位宽容大度的教师。只要存在，就是合理的。记得曾读过一篇“把木梳卖给和尚”的故事。他让我更加深刻的体会到：“只有教不好的老师，没有教不好的学生”。我们应该宽容学生的一言一行，并思考寻找他的起因，发展形成过程。同时思考寻找应对方法措施。 以上是我担任班主任工作以来的点滴体会，可惜我愚钝，只做到了其中一部分。将“爱”在细节展现时，往往因记错学生姓名，拉乱学生家庭状况，搞错学生曾经的功过而张冠李戴。好时，大家一笑了之，相安无事。坏时，学生和我一脸窘相，尴尬收场。唉！都是差劲的记忆力惹的祸。为此，在以后的教育生活当中，我会不断锻炼提高自己的记忆力，为做一名优秀的班主任而努力奋斗。 |
从传统课堂走向高效课堂初探 [随笔杂谈]
发表于：2013-06-23 阅读：232次
从传统课堂走向高效课堂初探 高校课堂通常是指以尽可能少的时间、精力和物力投入，取得尽可能好的教学效果。尽可能好的教学效果可以从以下两个方面来体现： 一是效率的最大化。也就是在单位时间内学生的受益量。主要表现在课堂容量，课内外学业负担等。 二是效益的最优化。也就是学生受教育教学影响的积极程度。主要表现在兴趣培养、习惯养成、学习能力、思维能力与品质等诸多方面。 回顾以往教学，通常只注重效率，很少关注效益。致使经常抱怨学生这个问题都讲了多少遍仍还做错。要实现教学效益的高效化，就需时刻关注学生，这是传统的以教为主教学模式所不能够实现的。 要实现教学效率效益的高效化，就得改变以往的传统教学模式。暑期在县局组织的教学中，胡明焕教授的提问：“教学的重点是教还是学？”使我受益非浅，她使我走出了以往教学中，只研究教材，研究教法的误区；使我深刻认识到，要将课堂还给学生，学生才是课堂的主角。为此，要实现教学效率效益的高效化，就得将以教为主变为以学为主，从而逐步迈入高校课堂。 在以学为主的实施中，成功模式很多。有杜郎口的常态模式和一般模式，山东的“三线”教学等成功案例，这些都为我们提供了宝贵的经验。为了充分体现学生的主体性，结合学生实际在课堂教学我主要采用学、教、练、总结的教学模式。 1.学 据调查，我校现在多数学生没有课前预习的习惯。在课堂开始，应让学生自读教材，对本节内容做到初步感知；接着带着问题解读教材，用自己的思维方式理解教材。从而逐步提高学生自学的能力，实现新课改的理念，不仅要让学生学会，更重要的是要让学生会学。因此，这个过程是教师对教材的分析，讲解无法替代的。 2.教 在充分了解学生自学情况后，根据学生实际，做好精讲。精讲是指讲在要点上，讲学生已错的和易错点，易混点，疑难点。学生已会的，学生自己能学会的，讲了学生也不会的坚决不讲。从而为学生留出更多的主动学习时间，充分体现以学为主的教学模式。 3.练 结合学生新学的知识，做好针对性的练习。对练习题的设计要有明确的目的性和预见性。为了充分调动学生学习的积极性和时效性，练习题应做到既不过于简单也不过难。学生做完后，教师结合学生的完成情况做好点评。在时间允许的情况下，再练再点评。即不断重复性的练教，层层逼近教学难点。 4.总结 心理学理论指出：学习过程是学生自主建构知识的过程，学生需要把所学的知识纳入已有的知识结构中去，通过对已有知识结构的调整，重新建立新的知识结构，以便回忆、再现、提取。为此，课堂教学要安排一定的时间让学生自己来回顾总结：本堂课的主要内容有哪些？本堂课我学到了什么？需要掌握的方法有哪些？还有哪些问题需要弥补和学习等等，从而让学生自主完成知识的系统建构，实现课堂教学的高效性。 要从以往高效率低效益的教学走向高效率高效益的教学，改变了教学模式以后还需要一个长期的逐步过度、探索和转化过程。 1.低效率高效益课堂 在以学为主的教学模式初始阶段，因教师教学经验的欠缺，对学生自主学习后的效果还不能正确预测，需要教师深入到学生之中，尤其是刚开学初，面对一张张新面孔，更需充分的时间去了解学生；学生还不习惯这种教学模式，在以往教学中思维的锻炼程度较低，在问题的设置上，跨越度不能过大，这就需要做到我们校长常说的“低起点，多台阶”，给学生留够充分的独立思考时间。这样就严重冲击了学、教、练、总结的教学模式，为了教学模式的完整性，就需降低压缩教学目标和内容，从而保证所授内容的高效性，否则又回到了高效率低效益课堂之中。因此，低效率高效益课堂是走向高效课堂的必经之路。 2.适效率高效益课堂 随着低效率高效益课堂的不断开展，学生的独立自学能力和教师对问题的预设不断提高，学生自学时间的不断减少，这样就为教师的教和学生的练留出了更多时间，使学、教、练、总结的教学模式逐步完善化。当学生掌握基础知识后，便可向重难点迈进，实施练教循环模式教学。适当开展必做题和选作题双重练习，让学优生吃得饱，中等生和学困生吃得了，在重难点上反复训练、追踪强化，形成能力。在这里教学中，教师要时刻关注学生，随时调整教学步伐和内容，从而做到因材施教，切不可打击学困生的积极性。 3. 高效率高效益课堂 高效率高效益课堂是适效益高效益课堂不断开展理想化的必然的产物，但从适效益高效益课堂到适效益高效益课堂需要一个长期的转化过程。 在长期开展双重练习后，当学困生得到转化，在预设时间允许的情况下，集体便可向突破难点迈进，在这里便可营造宽松、民主的氛围，使课堂生态化、生命化，使学生乐在其中、自在发展，以分组讨论的模式进行，将课堂推入高潮。从而实现完整的学、教、练、总结的教学模式。 |
家校合作 [随笔杂谈]
发表于：2013-06-23 阅读：41次
1.影响孩子成绩的主要因素不是学校，而是家庭。
2.如果家庭教育出了问题，孩子在学校就可能会过的比较辛苦，孩子很可能会成为学校的“问题儿童”。 3.成绩好的孩子，妈妈通常是有计划而且动作利落的人。父亲越认真，越有条理，越有礼貌，孩子成绩就越好。 4.贫穷是重要的教育资源，但并非越贫穷越有利于孩子的成长。做父母的，需要为孩子提供基本的文化资料，不让孩子陷入人穷志短的自卑深渊。 5.富裕是另一种更高级的教育资源，西方人的经验是：“培育一个贵族需要三代人的努力。”“阶层是会遗传的。”但是，更高级的教育资源需要有更高级的教育技艺，如果没有更高级的教育技艺，富裕的家庭反而会给孩子的成长带来灾难。 6.不要做有知识没文化的家长。有些人有高学历，但不见得有文化。如果家长不懂得生活，不知道善待他人，甚至不懂得善待自己的孩子，无论他拥有多高的学术水平，他也是没有文化的人。 7.父母可以把孩子作为世界的中心，但是不要忘了，父母也要过独立的生活。如果父母完全围绕孩子转而没有了自己的生活主题，这样的父母常常会以爱的名义干扰孩子的成长。有时侯，并不是孩子离不开父母，而是父母离不开孩子。 8.父母需要承担教育孩子的责任，不过，也不要因为教育孩子而完全取消了自己的休闲生活。“没有责任感伤害别人，太有责任感伤害自己。”（吴稼祥语） 9.如果孩子一哭闹父母就赶紧抱起孩子，那么，孩子就会利用父母的这个特点经常纠缠父母，提出更多的要求。所以，孩子哭闹，不要着急把孩子抱起来，父母最好让自己有事情做，让孩子看着自己动作麻利地做事。 10.夫妻关系影响孩子的性格。一个男人如果不尊重他的妻子，那么，他的儿子就学会了在学校不尊重他的女同学。一个女人如果不尊重她的丈夫，那么，她的女儿就学会了在学校瞧不起她的男同学。 11.教育就是培育人的精神长相。家长和教师的使命就是让孩子逐步对自己的精神长相负责任，去掉可能沾染的各种污秽，培育人身上的精神“种子”，让人可以呼吸高山空气，让人可以扬眉吐气。 12.有修养的父母是“伏尔泰主义者”，“我不同意你的观点，但我誓死捍卫你说话的权利”。他们从孩子出生的那天就开始跟孩子讲道理，耐心的征求孩子的意见。不要指望打骂孩子就能让孩子学会服从。杀鸡给猴看的结果是：猴子也学会了杀鸡。 13.让孩子成为既有激情又有理智的人。“没有激情，任何伟业都不可能善始，没有理智，任何壮举都不能善终。” 14.让你的孩子成为有教养的人，有教养从守时，排队，在公共场合不大声说话，不轻易发怒开始。 15.做人要厚道。如果你的孩子比较厚道，请不要嘲笑他的软弱。喜欢占小便宜的人，往往吃大亏，因为他被别人厌恶。愿意吃小亏的人，将来会占大便宜，因为他被人喜欢。 16.身体的活力能够带来精神的活力。身体好的人，性格阳光。身体不好的人，做事犹犹豫豫，躲躲闪闪，说话吞吞吐吐。 17.不要以为孩子1到6岁只是长身体的年龄。如果父母让孩子1到6岁在祖父母或外祖父母那里度过，等到孩子6岁时父母再把孩子接回来上小学，那么，这个孩子在小学要么成为默默无语的沉默者，要么成为无法无天的捣乱者。 18.经常和孩子一起做三件事：一是和孩子一起进餐，二是邀请孩子一起修理玩具，家具或衣物，偶尔邀请孩子帮忙解决工作中的困难。三是给孩子讲故事并邀请孩子自己讲故事。 19.如果没有特别困难，父母最好每天赶回家和孩子一起进餐。家庭的共同价值观，就在全家人围着一张桌子吃饭的过程中建立起来。 20.给孩子讲故事并邀请孩子自己讲故事，让孩子从听故事开始建立阅读和写作习惯，让孩子尽早学会独立阅读，尽早养成终身阅读的习惯。“只要还在读书的人，就不会彻底堕落，彻底堕落的人是不读书的。”从来不给孩子讲故事的父母，是不负责任的父母。 21.孩子的成长有三个关键期：第一个在3岁前后，第二个在9岁前后，第三个在13岁前后。如果错过了成长的关键期，后患无穷。 22.不是“三十而立”,而是“三岁而立”。孩子三岁前后，就必须建立自食其力的勇气和习惯。凡是自己能够做的，必须自己做，凡是自己应该做的，当尽力去做。 23.如果你的孩子在13岁的时候喜欢弗罗斯特的诗句：“两条路在树林里分岔，我选择走人少的那一条”，这很正常，不要担心，他以后也许会选择人走的多的那一条。 24.人的一生充满了大量的暗恋。如果孩子暗恋某个异性，请不要嘲笑他。“暗恋是世界上最美丽的爱情。”（苏格拉底语） 25.父母给孩子讲道理是必要的，但给13岁前后的孩子讲道理时，要注意自己讲话的姿态，姿态比道理更重要。否则，孩子会厌恶，反抗。孩子会说：你讲的话都是对的，但你讲话的那个样子很令人讨厌。 26.心底秘密是人成长，成熟的标志。如果孩子有心事，他不想告诉你，那么，不要逼迫孩子把他的秘密说出来。 27.在孩子3岁前后，他的身边最好有一个无为的放任型父母。在孩子9岁前后，他的身边最好有一个积极的权威型父母。在孩子13岁前后，他的身边最好有个消极的民主型父母。有效的教育是先严后松，无效的教育是先松后严。 28.必须留意你的孩子的学习成绩，但也不必太在意他的名次。倒是需要警惕那些学习成绩总是第一名的孩子。有些孩子学习成绩好，性格也好，有些孩子学习成绩很好，但性格却自私，缺乏同情心，没有生活情趣。 29.必须让你的孩子学会与他人交往并愉快的接受小伙伴。“如果父母对自己的邻居不满，对孩子的小伙伴也十分挑剔，或者不让自己的孩子和他们交朋友，让孩子觉得好像自己跟别人很不一样，那么，这些孩子长大以后就很难与任何人自然地相处。 30.孩子的成长需要同伴，让孩子有自己的朋友，但不要有太杂乱的伙伴，在孩子没有形成成熟的理性和判断里之前，警惕孩子沾染同伴的坏习惯。 31.让你的孩子尽早建立健康的审美观。有出息的男性一定会喜欢健康的女性。不要让孩子的审美观陷入低级，病态。不要以为小的，有病的，就是好的。不要以为强大的，就都是坏的。不要以为小麻雀，小绵羊，小狗都是可爱的，也不要以为狮子，老虎，狼都是坏的。不要以为豺狼都是吃人的，豺狼只吃比他弱小的。 32.《麦田里的守望者》为世界贡献了一个词语：守望。教育不是管，也不是不管。在管与不管之间，有一个词语叫“守望“。 33.告诉你的孩子：认真听讲的孩子偶尔成绩好，认真自学的孩子永远成绩好。 |
用角亏研究半正多面体 [学术论文]
发表于：2013-06-23 阅读：482次
用角亏研究半正多面体 正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。 半正多面体是使用两种或以上的正多边形为面的凸多面体。半正多面体的每个顶点的情况相同。阿基米德曾研究半正多面体（虽然其研究记录已佚），故有人将半正多面体唤作阿基米德立体。 公式 （一）欧拉公式 这里V、 E 和F分别为正多面体的顶点数、棱数 和面数 。 （二）角亏公式 对于任意简单凸多面体而言，我们称以该多面体的任意一个顶点为顶的多面角的所有平面角度数之和与360的差为这个顶点多面角的角亏。角亏公式是指对于任意简单凸多面体来说，所有顶点多面角角亏之和等于720. 引理 （一） 同一个半正多面体的每个顶点多面角的角亏相等。 证明：因为半正多面体的每个顶点的情况相同，所以多面体的任意一个顶点为顶的多面角的角亏也相等。以下我们将用α表示半正多面体任意一个顶点为顶的多面角的角亏。 （二） V＝720°/α 证明：由角亏公式得知，所有顶点多面角角亏之和等于720;由引理一得知同一个半正多面体的每个顶点多面角的角亏相等。所以Ｖ＝720°/α （三）Ｅ＝360°/α×d（这里的d是指一个顶点为顶多面角的所有平面角的个数。） 证明：因为半正多面体的每个顶点的情况相同，所以从每个顶点引出的棱数相同；若一个多面角由d个平面角组成，那么从每个顶点就引出d条棱；又因为两顶点引出的棱AB和BA为同一条棱，所以Ｅ＝顶点数×d÷2即Ｅ＝360°/α×d
（四）Ｆ＝360°/α×（d－２）＋２ 证明：将引理二和引理三代入欧拉公式V-E+F=2得： 720°/α-360°/α×d+Ｆ =2 整理得：Ｆ＝360°/α×（d－２）＋２ （五）m=V∕n（m=Vb∕n）(这里n 是指半正多面体中正多边形的边数；m是指这个半正多面体中相同正n边形的个数; b是指半正多面体的一个多面角中相同角的个数。) 证明：因为半正多面体的每个顶点的情况相同，所以从每个顶点引出的角和角数相同，所以在一个多面角中，当组成它的平面角中，没有相同角时，这个半正多面体的顶点数就与相同角的所有个数相同，而这些相同的角是相同的正多边形的角，所以相同角的所有个数也就是相同的正多边形角的所有个数，所以m=V/n；而当在一个多面角中，当组成它的平面角中，有b个相同角时，相同角的所有个数就为Vb,所以m=Vb/n. 探究一 由引理 V＝720°/α，Ｅ＝360°/α×n，Ｆ＝360°/α×（n－２）＋２可以看出半正多面体的顶点数 、棱数和面数都同α有关，下面我们就用α来研究半正多面体。
表格一 正多边形
边数 内角度数 3 60° 4 90° 5 108° 6 120° 8 135° 9 140° 10 144° 12 150° 15 156° 18 160° 20 162° 24° 165° 30° 168° 36° 170° 40° 171° 45° 172° 60° 174° 90° 176° 120° 177° 180° 178° 360 179°
表格二 半正多面体
α d 组成一个多面角的所有平面角的分别度数 V＝720°/α Ｅ＝360°/α×d Ｆ＝360°/α×（d－２）＋２ 组成一个多面角所需的正多边形的边数
1° 3 179+60+120 720 1080 362 360 6 3
3 179+90+90 720 1080 362 360 4 4
4 179+60+60+60 720 1440 722 360 3 3 3
2° 3 178+60+120 360 540 182 180 6 3
3 178+90+90 360 540 182 180 4 4
4 178+60+60+60 360 720 362 180 3 3 3
3° 3 177+120+60 240 360 122 120 6 3
3 177+90+90 240 360 122 120 4 4
3 162+135+60 240 360 122 20 8 3
4 177+60+60+60 240 480 242 120 3 3 3
4° 3 176+120+60 180 270 92 90 6 3
3 176+90+90 180 270 92 90 4 4
4 176+60+60+60 180 360 182 90 3 3 3
5° 3 160+135+60 144 216 74 18 8 3
6° 3 144+120+90 120 180 62 10 6 4
3 150+144+60 120 180 62 12 10 3
3 156+108+90 120 180 62 15 5 4
3 174+120+60 120 180 62 60 6 3
3 174+90+90 120 180 62 60 4 4
4 174+60+60+60 120 240 122 60 3 3 3
4 144+90+60+60 120 240 122 10 4 3 3
8° 3 172+120+60 90 135 47 45 6 3
3 172+90+90 90 135 47 45 4 4
4 172+60+60+60 90 180 92 45 3 3 3
9° 3 156+135+60 80 120 42 15 8 3
舍 3 171+120+60 80 120 42 40 6 3
舍 3 171+90+90 80 120 42 40 4 4
4 171+60+60+60 80 160 82 40 3 3 3
10° 3 170+120+60 72 108 38 36 6 3
3 170+90+90 72 108 38 36 4 4
3 150+140+60 72 108 38 12 9 3
3 140+120+90 72 108 38 9 6 4
4 170+60+60+60 72 144 74 36 3 3 3
4 140+90+60+60 72 144 74 9 4 3 3
12° 3 168+120+60 60 90 32 30 6 3
3 168+90+90 60 90 32 30 4 4
3 120+120+108 60 90 32 6 6 5
3 150+108+90 60 90 32 12 5 4
4 168+60+60+60 60 120 62 30 3 3 3
4 108+90+90+60 60 120 62 5 4 4 3
4 120+108+60+60 60 120 62 6 5 3 3
5 108+60+60+60+60 60 150 92 5 3 3 3 3 15° 3 150+135+60 48 72 26 12 8 3
3 120+135+90 48 72 26 8 6 4
3 165+120+60 48 72 26 24 6 3
3 165+90+90 48 72 26 24 4 4
3 177+108+60 48 72 26 120 5 3
舍 4 135+60+60+90 48 96 50 8 4 3 3
4 165+60+60+60 48 96 50 24 3 3 3
18° 3 162+60+120 40 60 22 20 6 3
舍 3 162+90+90 40 60 22 20 4 4
3 144+108+90 40 60 22 10 5 4
3 174+108+60 40 60 22 60 5 3
舍 4 162+60+60+60 40 80 42 20 3 3 3
20° 3 160+120+60 36 54 20 18 3 6
3 160+90+90 36 54 20 18 4 4
3 140+140+60 36 54 20 9 9 3
3 172+108+60 36 54 20 45 5 3
舍 4 160+60+60+60 36 72 38 18 3 3 3
24° 3 156+120+60 30 45 17 15 3 6
3 156+90+90 30 45 17 15 4 4
3 168+108+60 30 45 17 30 5 3
舍 4 156+60+60+60 30 60 32 15 3 3 3
30° 3 150+60+120 24 36 14 12 3 6
3 120+120+90 24 36 14 6 6 4
3 150+90+90 24 36 14 12 4 4
3 162+108+60 24 36 14 20 5 3
舍 4 150+60+60+60 24 48 26 12 3 3 3
4 120+90+60+60 24 48 26 6 4 3 3
4 90+90+90+60 24 48 26 4 4 4 3
5 90+60+60+60+60 24 60 38 4 3 3 3 3 36° 3 108+108+108 20 30 12 5 5 5
◆ 3 144+120+60 20 30 12 10 6 3
舍 3 144+90+90 20 30 12 10 4 4
3 156+108+60 20 30 12 15 5 3
舍 3 174+90+60 20 30 12 60 4 3
舍 4 144+60+60+60 20 40 22 10 3 3 3
40° 3 140+120+60 18 27 11 9 3 6
3 140+90+90 18 27 11 9 4 4
3 170+60+90 18 27 11 36 3 4
舍 4 140+60+60+60 18 36 20 9 3 3 3
45° 3 135+60+120 16 24 10 8 3 6
舍 3 135+90+90 16 24 10 8 4 4
3 165+60+90 16 24 10 24 3 4
舍 4 135+60+60+60 16 32 18 8 3 3 3
60° 3 120+120+60 12 18 8 6 3 6
3 120+90+90 12 18 8 6 4 4
3 150+60+90 12 18 8 12 3 4
舍 4 120+60+60+60 12 24 14 6 3 3 3
4 90+90+60+60 12 24 14 4 4 3 3
5 60+60+60+60+60 12 30 20 3 3 3 3 ◆ 72° 3 120+108+60 10 15 7 6 5 3
舍 3 108+90+90 10 15 7 5 4 4
3 168+60+60 10 15 7 30 3 3
舍 4 108+60+60+60 10 20 12 5 3 3 3
90° 3 120+90+60 8 12 6 6 4 3
舍 3 90+90+90 8 12 6 4 4 4
◆ 4 90+60+60+60 8 16 10 4 3 3 3
120° 3 120+60+60 6 9 5 6 3 3
舍 3 90+90+60 6 9 5 4 4 3
3 160+60+60 6 9 5 18 3 3
舍 4 60+60+60+60 6 12 8 3 3 3 3 ◆ 180°
60+60+60 4 6 4 3 3 3
◆ 探究二 由引理m=V/n( m=Vb/n) 可以看出半正多面体中，组成它的正多边形的个数m同半正多面体的顶点数以及正多边形的边数n有关，下面我们就用V和n来研究一个半正多面体中，组成它的相同正多边形的个数。 表格三 半正多面体中相同正多边形的个数
α d V＝720°/α 组成一个多面角所需的正多边形的边数n m=V |
