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用角亏研究半正多面体
发表于：2013-06-23阅读：482次
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用角亏研究半正多面体 正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。 半正多面体是使用两种或以上的正多边形为面的凸多面体。半正多面体的每个顶点的情况相同。阿基米德曾研究半正多面体（虽然其研究记录已佚），故有人将半正多面体唤作阿基米德立体。 公式 （一）欧拉公式 这里V、 E 和F分别为正多面体的顶点数、棱数 和面数 。 （二）角亏公式 对于任意简单凸多面体而言，我们称以该多面体的任意一个顶点为顶的多面角的所有平面角度数之和与360的差为这个顶点多面角的角亏。角亏公式是指对于任意简单凸多面体来说，所有顶点多面角角亏之和等于720. 引理 （一） 同一个半正多面体的每个顶点多面角的角亏相等。 证明：因为半正多面体的每个顶点的情况相同，所以多面体的任意一个顶点为顶的多面角的角亏也相等。以下我们将用α表示半正多面体任意一个顶点为顶的多面角的角亏。 （二） V＝720°/α 证明：由角亏公式得知，所有顶点多面角角亏之和等于720;由引理一得知同一个半正多面体的每个顶点多面角的角亏相等。所以Ｖ＝720°/α （三）Ｅ＝360°/α×d（这里的d是指一个顶点为顶多面角的所有平面角的个数。） 证明：因为半正多面体的每个顶点的情况相同，所以从每个顶点引出的棱数相同；若一个多面角由d个平面角组成，那么从每个顶点就引出d条棱；又因为两顶点引出的棱AB和BA为同一条棱，所以Ｅ＝顶点数×d÷2即Ｅ＝360°/α×d
（四）Ｆ＝360°/α×（d－２）＋２ 证明：将引理二和引理三代入欧拉公式V-E+F=2得： 720°/α-360°/α×d+Ｆ =2 整理得：Ｆ＝360°/α×（d－２）＋２ （五）m=V∕n（m=Vb∕n）(这里n 是指半正多面体中正多边形的边数；m是指这个半正多面体中相同正n边形的个数; b是指半正多面体的一个多面角中相同角的个数。) 证明：因为半正多面体的每个顶点的情况相同，所以从每个顶点引出的角和角数相同，所以在一个多面角中，当组成它的平面角中，没有相同角时，这个半正多面体的顶点数就与相同角的所有个数相同，而这些相同的角是相同的正多边形的角，所以相同角的所有个数也就是相同的正多边形角的所有个数，所以m=V/n；而当在一个多面角中，当组成它的平面角中，有b个相同角时，相同角的所有个数就为Vb,所以m=Vb/n. 探究一 由引理 V＝720°/α，Ｅ＝360°/α×n，Ｆ＝360°/α×（n－２）＋２可以看出半正多面体的顶点数 、棱数和面数都同α有关，下面我们就用α来研究半正多面体。
表格一 正多边形
边数 内角度数 3 60° 4 90° 5 108° 6 120° 8 135° 9 140° 10 144° 12 150° 15 156° 18 160° 20 162° 24° 165° 30° 168° 36° 170° 40° 171° 45° 172° 60° 174° 90° 176° 120° 177° 180° 178° 360 179°
表格二 半正多面体
α d 组成一个多面角的所有平面角的分别度数 V＝720°/α Ｅ＝360°/α×d Ｆ＝360°/α×（d－２）＋２ 组成一个多面角所需的正多边形的边数
1° 3 179+60+120 720 1080 362 360 6 3
3 179+90+90 720 1080 362 360 4 4
4 179+60+60+60 720 1440 722 360 3 3 3
2° 3 178+60+120 360 540 182 180 6 3
3 178+90+90 360 540 182 180 4 4
4 178+60+60+60 360 720 362 180 3 3 3
3° 3 177+120+60 240 360 122 120 6 3
3 177+90+90 240 360 122 120 4 4
3 162+135+60 240 360 122 20 8 3
4 177+60+60+60 240 480 242 120 3 3 3
4° 3 176+120+60 180 270 92 90 6 3
3 176+90+90 180 270 92 90 4 4
4 176+60+60+60 180 360 182 90 3 3 3
5° 3 160+135+60 144 216 74 18 8 3
6° 3 144+120+90 120 180 62 10 6 4
3 150+144+60 120 180 62 12 10 3
3 156+108+90 120 180 62 15 5 4
3 174+120+60 120 180 62 60 6 3
3 174+90+90 120 180 62 60 4 4
4 174+60+60+60 120 240 122 60 3 3 3
4 144+90+60+60 120 240 122 10 4 3 3
8° 3 172+120+60 90 135 47 45 6 3
3 172+90+90 90 135 47 45 4 4
4 172+60+60+60 90 180 92 45 3 3 3
9° 3 156+135+60 80 120 42 15 8 3
舍 3 171+120+60 80 120 42 40 6 3
舍 3 171+90+90 80 120 42 40 4 4
4 171+60+60+60 80 160 82 40 3 3 3
10° 3 170+120+60 72 108 38 36 6 3
3 170+90+90 72 108 38 36 4 4
3 150+140+60 72 108 38 12 9 3
3 140+120+90 72 108 38 9 6 4
4 170+60+60+60 72 144 74 36 3 3 3
4 140+90+60+60 72 144 74 9 4 3 3
12° 3 168+120+60 60 90 32 30 6 3
3 168+90+90 60 90 32 30 4 4
3 120+120+108 60 90 32 6 6 5
3 150+108+90 60 90 32 12 5 4
4 168+60+60+60 60 120 62 30 3 3 3
4 108+90+90+60 60 120 62 5 4 4 3
4 120+108+60+60 60 120 62 6 5 3 3
5 108+60+60+60+60 60 150 92 5 3 3 3 3 15° 3 150+135+60 48 72 26 12 8 3
3 120+135+90 48 72 26 8 6 4
3 165+120+60 48 72 26 24 6 3
3 165+90+90 48 72 26 24 4 4
3 177+108+60 48 72 26 120 5 3
舍 4 135+60+60+90 48 96 50 8 4 3 3
4 165+60+60+60 48 96 50 24 3 3 3
18° 3 162+60+120 40 60 22 20 6 3
舍 3 162+90+90 40 60 22 20 4 4
3 144+108+90 40 60 22 10 5 4
3 174+108+60 40 60 22 60 5 3
舍 4 162+60+60+60 40 80 42 20 3 3 3
20° 3 160+120+60 36 54 20 18 3 6
3 160+90+90 36 54 20 18 4 4
3 140+140+60 36 54 20 9 9 3
3 172+108+60 36 54 20 45 5 3
舍 4 160+60+60+60 36 72 38 18 3 3 3
24° 3 156+120+60 30 45 17 15 3 6
3 156+90+90 30 45 17 15 4 4
3 168+108+60 30 45 17 30 5 3
舍 4 156+60+60+60 30 60 32 15 3 3 3
30° 3 150+60+120 24 36 14 12 3 6
3 120+120+90 24 36 14 6 6 4
3 150+90+90 24 36 14 12 4 4
3 162+108+60 24 36 14 20 5 3
舍 4 150+60+60+60 24 48 26 12 3 3 3
4 120+90+60+60 24 48 26 6 4 3 3
4 90+90+90+60 24 48 26 4 4 4 3
5 90+60+60+60+60 24 60 38 4 3 3 3 3 36° 3 108+108+108 20 30 12 5 5 5
◆ 3 144+120+60 20 30 12 10 6 3
舍 3 144+90+90 20 30 12 10 4 4
3 156+108+60 20 30 12 15 5 3
舍 3 174+90+60 20 30 12 60 4 3
舍 4 144+60+60+60 20 40 22 10 3 3 3
40° 3 140+120+60 18 27 11 9 3 6
3 140+90+90 18 27 11 9 4 4
3 170+60+90 18 27 11 36 3 4
舍 4 140+60+60+60 18 36 20 9 3 3 3
45° 3 135+60+120 16 24 10 8 3 6
舍 3 135+90+90 16 24 10 8 4 4
3 165+60+90 16 24 10 24 3 4
舍 4 135+60+60+60 16 32 18 8 3 3 3
60° 3 120+120+60 12 18 8 6 3 6
3 120+90+90 12 18 8 6 4 4
3 150+60+90 12 18 8 12 3 4
舍 4 120+60+60+60 12 24 14 6 3 3 3
4 90+90+60+60 12 24 14 4 4 3 3
5 60+60+60+60+60 12 30 20 3 3 3 3 ◆ 72° 3 120+108+60 10 15 7 6 5 3
舍 3 108+90+90 10 15 7 5 4 4
3 168+60+60 10 15 7 30 3 3
舍 4 108+60+60+60 10 20 12 5 3 3 3
90° 3 120+90+60 8 12 6 6 4 3
舍 3 90+90+90 8 12 6 4 4 4
◆ 4 90+60+60+60 8 16 10 4 3 3 3
120° 3 120+60+60 6 9 5 6 3 3
舍 3 90+90+60 6 9 5 4 4 3
3 160+60+60 6 9 5 18 3 3
舍 4 60+60+60+60 6 12 8 3 3 3 3 ◆ 180°
60+60+60 4 6 4 3 3 3
◆ 探究二 由引理m=V/n( m=Vb/n) 可以看出半正多面体中，组成它的正多边形的个数m同半正多面体的顶点数以及正多边形的边数n有关，下面我们就用V和n来研究一个半正多面体中，组成它的相同正多边形的个数。 表格三 半正多面体中相同正多边形的个数
α d V＝720°/α 组成一个多面角所需的正多边形的边数n m=V |
