河北区2011－2012学年度高三年级总复习质量检测（二）

数 学 答 案（文理）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

A

A

B

C

B

C

D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

（9）；理科： ；  文科：500；     （10）理科：2；  文科： ；

（11）理科： ；文科：13； （12） 或 ； （13）8；（14）①④．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．

文（15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由条形图可知，就餐学生人数共有200人， ……………………………… 2分

其中选择A、B、C、D四款套餐的学生人数分别为40，50，60，50，  ……… 4分

由分层抽样方法，

抽取的问卷中选择A、B、C、D四款套餐的人数分别为4，5，6，5．………… 6分

（Ⅱ）由统计表知，填写不满意的人数分别为1，1，0，2，共4人， …………8分

分别记作 a，b，d₁，d₂，

从这4人中选出2人，共有6种情形：

(a，b)，(a，d₁)，(a，d₂)，(b，d₁)，(b，d₂)，(d₁，d₂)．  ………………… 11分

其中没有选择D款套餐的只有1种情形： (a，b)，

所以，所求事件的概率为 ． ……………………………………………… 13分

理（15），文（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ） ， …………………………………………………… 3分

∴ 的最小正周期为 ＝ ，…………………………………………… 5分

由 ， 得 ．

∴ 的单调递增区间为 ，k∈Z．  ………………………… 7分

（Ⅱ）由 ＝4，得 ，即 ．

∵ ，  ∴ ，即 A＝ ．   ……………………………… 9分

又∵ ，  ∴ ．　∴ ．  ……………………… 11分

在△ABC中，由余弦定理有 ，

∴ ．  ……………………………………………………………………… 13分

理（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子 ”8人，“非高个子”12人，

用分层 抽样的方法，每个人被抽中的概率是 ， ………………………… 2分

所以选中的“高个子”有 人，“非高个子”有 人． ………… 4分

用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件 表示“没有一名“高个子”被选中”，　

则 P(A)＝1－ ＝ ．

因此，至少有一人是“高个子”的概率是 ．  ………………………………… 6分

（Ⅱ）依题意，X的取值分别为0，1，2，3．

， ，

， ．

因此，X的分布列如下：

X

0

1

2

3

P

 …………………… 10分

所以X的数学期望 ．   ………………… 13分

 

文（17）（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：取BD中点F，连接AF，EF，

∵ E是BC的中点，F是BD的中点，CD＝2，CD⊥BD，

∴ EF∥CD，EF＝1，EF⊥BD．

∵ △ABD是等腰直角三角形，BD＝4，

∴ AF⊥BD，AF＝2．

∴ ∠AFE是二面角A―BD―C的平面角，即∠AFE＝60°，

   BD⊥面AFE．  ……………………………………… 3分

∴ BD⊥AE．

在△AFE中，由余弦定理得 AE＝ ，

∴ ∠AEF＝90°，即AE⊥EF．

∵ BD∩EF＝F， 

∴ AE⊥面BCD．  ………………………………………………………………… 6分

（Ⅱ）解：记点B到平面ACD的距离d，则三棱锥B－ACD的体积 ，

由（Ⅰ）知AE是A－BCD的高，

∴ ．  ………………… 8分

∵ △ABD是等腰直角三角形，BD＝4，

∴ AD＝ ．

在Rt△AEC中，AE＝ ，EC＝ BC＝ ，

∴  AC＝ ＝AD．  …………………………………………………………… 10分

∴ ． …………………………………… 12分

∴ B到平面ACD的距离 ． ………………………………… 13分

 

理（17）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）∵ 平面 平面 ，平面 平面 ，

平面 ， ，

∴ SE⊥平面 ． ……………………………………………………………… 2分

∵ 平面 ， ∴ ．

∵ ， ，CD＝3AB＝3，AE＝ED＝ ，

∴ ．

∴ ，即 ．   ………………………………………………… 4分

∵ ，

∴ BE⊥平面SEC，

∵ 平面 ，

∴ 平面SBE⊥平面SEC． ………………………………………………………… 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线ES，EB，EC两两垂直，如图，以EB为x轴，

以EC为y轴，以ES为z轴，建立空间直角坐标系，

则 ， ，

∴ ， ，

， ．

设平面SBC的法向量为 ，

则

解得一个法向量 ， ……………………… 7分

设直线CE与平面SBC所成角为 ，则 ．

所以直线CE与平面SBC所成角的正弦值 ．  ………………………………… 9分

（Ⅲ）设平面SCD的法向量为 ，

则

解得一个法向量 ， ……………………………………………… 11分

 ∴ ．

∵ 二面角B－SC－D为钝角，

 ∴ 二面角B－SC－D的余弦值为－ ． ………………………………………… 13分

 

（18）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）当  时， ，

则 ．   …………………………………………… 2分（文3分）

∴ ．

又 ，

∴ 切线方程为 ．  ……………………………………………… 5分（文6分）

（Ⅱ） ，  ……………………… 6分（文8分）

（1）当 ，即 时，因为 ，

∴ ，即函数 在 上单调递增．   ……………… 8分（文10分）

（2）当 ，即 时，令 ，得 ．

因此，当 时， ，当 时， .

所以函数 的单增区间为 ，

函数 的单减区间为 ． …………………………10分（文13分）

（Ⅲ）当 时，函数 在 上单调递增，

∴ 的最小值为 ，满足题意． ……………………………………… 11分

当 时，

由（Ⅱ）知函数 的单增区间为 ，单减区间为 ，

则 的最小值为 ，而 ，不合题意.

所以 的取值范围是 ． …………………………………………………… 13分

（19）（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）设圆的半径为 ，圆心到直线 距离为 ，则 ，………… 2分

∴ 圆 的方程为 ．  ………………………………………………… 3分

（Ⅱ）设动点 ， 轴于 ， ，

由题意得 ，

∴   即   ………………………………………… 5分

将

20090515

20090515

代入 ，得 ．………………………………… 7分

（Ⅲ）当 时，得到曲线 方程为 ，

设直线 与椭圆  交点为 ，

联立得 ，得 ． ………………………… 9分

因为 ，解得 ，且 ，………… 10分

∴ ．  ………………… 12分

∵ 为钝角，

∴ ．  解得 ，满足 ．

∴ ．

∴ 存在直线 满足题意．   ……………………………………………………… 14分

 

 

（20）（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：由 ，解得 a₁＝1 或 a₁＝2，

∵ a₁＝S₁＞1，  ∴ a₁＝2． ……………………………………………………… 2分

∵ ，

∴ ，即  或 ．  ………… 4分

∵ ，

∴ ，即{a_n}是公差为3，首项为2的等差数列．…………………… 6分

∴ {a_n}的通项为 a_n＝3n－1．  …………………………………………………… 7分

 

 

（Ⅱ）证明：∵ ，

∴ ．     …………………………………………… 9分

∴ ．

∴ ． …………………… 10分

令 ，

则 ．

∵ ，

∴ ．     ………………………………………………………… 12分

∴ ．

∴ ，即 ． …………… 14分