摩擦力做功的特点

1.静摩擦力做功的特点

如图5－15－1，放在水平桌面上的物体A在水平拉力F的作用下未动，则桌面对A向左的静摩擦力不做功，因为桌面在静摩擦力的方向上没有位移。如图5－15－2，A和B叠放在一起置于光滑水平桌面上，在拉力F的作用下，A和B一起向右加速运动，则B对A的静摩擦力做正功，A对B的静摩擦力做负功。可见静摩擦力做功的特点是：

（1）静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。

（2）相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零。

（3）在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其它形式的能。

一对相互作用的静摩擦力做功的代数和必为零，即

l 对相互有静摩擦力作用的两物体A和B来说，A对B的摩擦力和B对A的摩擦力是一对作用力和反作用力：大小相等，方向相反。由于两物体相对静止，其对地位移必相同，所以这一对静摩擦力一个做正功，一个做负功，且大小相等，其代数和必为零，
即

例1. 如图1所示，物体在水平拉力下静止在粗糙水平面上，物体与桌面间有静摩擦力，该摩擦力不做功。

图1

如图2所示，光滑水平面上物体A、B在外力F作用下能保持相对静止地匀加速运动，则在此过程中，A对B的静摩擦力对B做正功。

图2

如图3所示，物体A、B以初速度滑上粗糙的水平面，能保持相对静止地减速运动，则在此过程中A对B的静摩擦力对B做负功。

图3

例2. 在光滑的水平地面上有质量为M的长平板A（如图4），平板上放一质量的物体B，A、B之间动摩擦因数为。今在物体B上加一水平恒力F，B和A发生相对滑动，经过时间，求：（1）摩擦力对A所做的功；（2）摩擦力对B所做的功；（3）若长木板A固定时B对A的摩擦力对A做的功。

图4

 

 

解析

（1）平板A在滑动摩擦力的作用下，向右做匀加速直线运动，经过时间，A的位移为

因为摩擦力的方向和位移相同，即对A做正功，其大小为

。

（2）物体B在水平恒力F和摩擦力的合力作用下向右做匀加速直线运动，B的位移为

摩擦力方向和位移方向相反，所以对B做负功为

。

（3）若长木板A固定，则A的位移，所以摩擦力对A做功为0，即对A不做功。

 

2.滑动摩擦力做功的特点

l 滑动摩擦力做功与路程有关，其值等于滑动摩擦力的大小和物体沿接触面滑动的路程的乘积，即

例3. 滑雪者从山坡上A点由静止出发自由下滑，设动摩擦因数为常数，他滑到B点时恰好停止，此时水平位移为（如图5所示）。求 A、B两点间的高度差。

图5

解析：设滑雪者质量为，取一足够小的水平位移，对应的滑行路线可视为小直线段，该处滑雪者所受的摩擦力为

所以在段摩擦力所做的功为

对滑行路线求和可得摩擦力的总功

从A到B的过程中，重力做功，而动能的变化为，所以由动能定理得，即，可解得A、B两点间的高度差为。

l 一对滑动摩擦力做功的代数和必不为零，且等于滑动摩擦力的大小与两物体间相对位移的乘积，即

例4. 如图6，一质量为M的木板，静止在光滑水平面上，一质量为的木块以水平速度滑上木板。由于木块和木板间有摩擦力，使得木块在木板上滑动一段距离后就跟木板一起以相同速度运动。试求此过程中摩擦力对两物体做功的代数和。

图6

解析：设木块与木板的共同速度为，以木块和木板整体为研究对象，则由动量守恒定律可得 ①

摩擦力对木板做正功，对木块做负功。由动能定理得

②

③

由①②③可知，摩擦力对两物体做功的代数和为

④

上式即表明：一对滑动摩擦力做功的代数和必不为零，且等于滑动摩擦力的大小与两物体间的相对位移的乘积。

l 对于与外界无能量交换的孤立系统而言，滑动摩擦产生的热等于滑动摩擦力的大小与两物体间相对路程的乘积，即

例5. 如图7（a）所示，质量为的木板静止在光滑水平面上，板的右端放一质量为的小铁块，现给铁块一个水平向左速度，铁块在木板上滑行，与固定在木板左端的水平轻弹簧相碰后又返回，且恰好停在木板右端，求整个过程中，系统机械能转化为内能的多少？

图7

解析：在铁块运动的整个过程中，系统的动量守恒，因此弹簧压缩到最短时和铁块最终停在木板右端对系统的共同速度（铁块与木板的速度相同），由动量守恒定律得

代入数据得

从开始滑动到弹簧压缩到最短的过程中（如图7b），摩擦力铁块做负功；摩擦力对木板做正功

从弹簧压缩最短到铁块最终停在木板右端的过程中（如图7c），摩擦力对铁块做正功；摩擦力对木板做负功

故整个过程中，摩擦力做功的代数和为（弹簧力做功代数和为零）

（式中就是铁块在木板上滑过的路程）

根据动能定理有

。

由功能关系可知，对于与外界无能量交换的孤立系统而言，系统克服摩擦力做功将这的动能转化为了系统的内能，即，这表明滑动摩擦产生的热等于滑动摩擦力的大小与两物体间相对路程的乘积。

l 系统机械能的损失等于滑动摩擦力的大小与两物体间的相对位移的乘积，即

例6. 设木块与木板间的摩擦系数为，则木块在木板上滑动过程中，在摩擦力作用下，木板做匀加速运动，木块做匀减速运动直至达到共同速度为止。

图8

以木块和木板整体为研究对象，由动量守恒定律可得

这一过程中，木板的位移为

木块的位移为

摩擦力对木板做正功

对木块做负功

则摩擦力对两物体做功的代数和为

①

整个过程中木板动能的增量为

木块动能的增量为

系统动能的总增量为

②

上述①、②表明：系统机械能的减少刚好与一对摩擦力做功的代数和的绝对值对等。

l  静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。

如图5－15－3，物块A在水平桌面上，在外力F的作用下向右运动，桌面对A向左的滑动摩擦力做负功，A对桌面的滑动摩擦力不做功。

 如图5－15－4，上表面不光滑的长木板，放在光滑的水平地面上，一小铁块以速度

从木板的左端滑上木板，当铁块和木板相对静止时木板相对地面滑动的距离为，小铁块相对木板滑动的距离为，滑动摩擦力对铁块所做的功为：―――①

根据动能定理，铁块动能的变化量为：―――②

②式表明，铁块从开始滑动到相对木板静止的过程中，其动能减少。那么，铁块减少的动能转化为什么能量了呢？

以木板为研究对象，滑动摩擦力对木板所做的功为：――――――③

根据动能定理，木板动能的变化量为：――④

④式表明木板的动能是增加的，由于木板所受摩擦力的施力物体是铁块，可见木块减小的动能有一部分（）转化为木板的动能。

将②、④两式相加得：―――――――⑤

⑤式表明铁块和木板组成的系统的机械能的减少量等于滑动摩擦力与铁块相对木板的位移的乘积，这部分能量转化为系统的内能。

综上所述，滑动摩擦力做功有以下特点：

①滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可以不做功。

②相互摩擦的系统内，一对滑动摩擦力所做的功总为负值，其绝对值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，且等于系统损失的机械能。

③一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两种情况：一是相互摩擦的物体间机械能的转移；二是机械能转化为内能。滑动摩擦力、空气阻力等，在曲线运动或者往返运动时所做的功等于力和路程（不是位移）的乘积。

3.摩擦生热

摩擦生热是指滑动摩擦生热，静摩擦不会生热。产生的热等于系统机械能的减少，又等于滑动摩擦力乘以相对位移，即

【案例剖析】

例.如图5－15－5，质量为M的足够长的木板，以速度在光滑的水平面上向左运动，一质量为m（）的小铁块以同样大小的速度从板的左端向右运动，最后二者以共同的速度做匀速运动。若它们之间的动摩擦因数为。求：

（1）小铁块向右运动的最大距离为多少？

（2）小铁块在木板上滑行多远？

【解析】小铁块滑上木板后，由于铁块相对木板向右滑动，铁块将受到向左的滑动摩擦力作用而减速，木板将受到向右的滑动摩擦力作用而减速。由于，所以当的速度减为零时，仍有向左的速度，相对于仍向右滑行，将在向左的滑动摩擦力作用下相对地面向左做初速为零的匀加速运动，木板继续向左减速，直到二者达到相同的速度，而后保持相对静止一起向左匀速运动。正确理解“小铁块向右运动的最大距离”和“在木板上滑行距离”的区别是解决问题的关键。（答案：（1）；（2））

3.综合分析

例 1、一传送带以速度v_o匀速运行，左端上方有一漏斗，单位时间漏下的砂子质量恒定，即（恒量），设传送带足够长，求传送带运行功率P=？

解析：砂子在水平方向靠摩擦力作功，使砂子获得动能

　设△t时间内落在带上砂子质量为△m。

　依功能关系。

　在△t内砂子获得能量的功率

　在这段时间内砂子的位移

　带的位移 s₂=v_o△t其相对位移△s=s₂-s₁=s₁

　部分机械能转化的内能△E=f△s=s₁f=W₁

　传送带消耗的功率为砂子获得功率与转化的热功率之和

例 2、如图所示，一小木块以初速v₀=10m/s，沿倾角为30°的固定斜面向上运动，木块与斜面间的滑动摩擦因数

　　　为，求木块上升的最大高度。

（方法一）：

设木块上升的最大高度为 h，此时木块速度为零，由功能关系，

系统的机械能改变量为。其值应等于合外力做的功。

有

（方法二）：

用动能定理 W=Ek2-Ek1

(方法一)错解的错因是：关于重力功应等于其重力势能变化，不能同时考虑，否则重复了。

方法一中：合外力功不应包括重力或弹力功，（它不会转移机械能。）

方法二中：合外力功为所有外力功。

例 3、如图所示，质量为m的物体（可视为质点）以水平速度v0滑上原来静止在光滑水平面上质量为M的小车上，

　　　物体与小车之间的动摩擦因数为μ，小车足够长。求：

（1）物体从滑上小车到相对小车静止所经历的时间；

（2）物体相对小车滑行的距离；

（3）到物体相对小车静止时，小车通过的距离。

解析：

　　 物体滑上小车后，物体受到向后的摩擦力为 f＝mg而做匀减速直线运动，小车受到向前的摩擦力为f＝mg而做匀加速直线运动，物体相对小车静止时，物体与小车以相同的速度v共做匀速直线运动。

（1）由于物体加速度为摩擦力产生，有mg＝ma1 ∴a1＝g.

小车加速度为 a2＝mg/M.　　 v共＝v0－gt＝

∴ t＝　　　　　∴v共＝

（2）物体相对小车的位移L可由一对摩擦力做的总功（即摩擦力与相对位移的乘积）等于系统机械能的增量求得，即：Wf＝-mgL,

△E＝

可解得： L＝。

也可对物体和小车分别用动能定理，列出二式进行联立求解。

（3）对小车用动能定理可求出小车对地位移s:

得： s＝.

例 4、一木块静止在光滑水平桌面上，被水平飞来的子弹击中，并未穿出，深入深度为d，此过程木块位移为

　　　s₂，子弹位移为s₁，（子弹阻力恒为f），则：

A．子弹损失的动能为fs₁.　　　　　　　　　 B．子弹损失的动能为fd.

C．系统增加的内能为fd.　　　　　　　　　　D．子弹对木块做的功为fs₂.

E．子弹损失的动能等于木块获得的动能

解析：由动能定理，

　　　子弹对木块做的功等于木块动能的改变量 W₁＝fs₂＝M.

　阻力对子弹做的功 W₂＝－fs₁＝－.

　其系统机械能损失 △E=Q_内=

　综合上述分析，正确选项为 A、C、D。

1、一对静摩擦力对系统不做功：只发生能量的转移，不发生能量的转化；方式——

一正一负或均为零

2、一对滑动摩擦力对系统做负功：能量既发生转移，又发生转化；方式——一正一

负（且正功小于负功）或一零一负或均为负