| 家教张老师的文章专栏 |
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相似三角形
发表于：2011-10-21阅读：416次
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相似三角形 一、知识网络： 三.考点解析 1 (2008年•南宁)如图，已知 ， ， 是线段 的中点， 且 ， ， ，那么 ．
A B C D E
【解析】根据平角定义及直角三角形两锐角互余可知∠ACB=∠CED,由△ACB∽△CED列比例求出AB的长。 【标准解答】4
2(2008年•武汉)如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC。 求证：△ABC∽△FDE． F E D C B A
【解析】根据两直线平行同位角相等证得两三角形相似。 【标准解答】∵FD∥AB，FE∥AC。∴∠ABC=∠FDE,∠ACB=∠FED，∴△ABC∽△FDE。 3（2008年•庆阳）图（1）是夹文件用的铁（塑料）夹子在常态下的侧面示意图． 表示铁夹的两个面， 点是轴， 于 ．已知 ， ， ． 已知文件夹是轴对称图形，试利用图（2），求图（1）中 两点的距离（ ）
(2)
O
(1)
【解析】由于文件夹是轴对称图形，对称轴是CE，A、B为一组对称点，连结CO并延长交AB于点E，则CE⊥AB，AE=EB，利用 ∽ ，列出比例求出AE的长。 【标准解答】解：如图，连结AB与CO延长线交于E， ∵ 夹子是轴对称图形，对称轴是CE，A、B为一组对称点， ∴ CE⊥AB，AE=EB． 在 、 中， ∵ ∠ACE=∠OCD，∠OCD公用, ∴ ∽ ． ∴ ． 又 OC= =26, ∴ AE= = ∴ AB=2AE=30（mm）． 4（2008年•山东临沂) 如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F， 。 ⑴求证：△ABF∽△CEB; ⑵若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积。
【解析】（1）由平行四边形ABCD的对角相等对边平行，证得△ABF∽△CEB；（2）由 △DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，相似三角形的面积的比等于相似比的平方可以求出△ABF和△BCE的面积，从而□ABCD的面积可求。 【标准解答】解：⑴证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CEB， ∴△ABF∽△CEB. ⑵∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，ABCD， ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF， ∵ , ∴ , , ∵ , ∴ , , ∴ , ∴ .
5（2008年•安徽）如图，四边形 和四边形 都是平行四边形，点 为 的中点， 分别交 于点 ． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求 ．
A B C D E P O R
【解析】（1）要善于从复杂的图形中分别出由平行线构成的相似的基本图形；（2）由于四边形 和四边形 都是平行四边形，所以BC=AD=CE，PB=PR , ,由点 是 中点，由 得QR=2PQ , BP=3PQ. 因此 ， 【标准解答】解：（1） ， ， ， ． （2） 四边形 和四边形 都是平行四边形， ， ， ， ． 又 ， ． 点 是 中点， ． ． ．分 又 ， ． 6（2008年•泰安）在等边 中，点 为 上一点，连结 ，直线 与 分别相交于点 ，且 ． A B C F D P 图3 A B C D P 图2 E l l E F A B C D P 图１ l E F
（1）如图1，写出图中所有与 相似的三角形，并选择其中一对给予证明； （2）若直线 向右平移到图2、图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由； （3）探究：如图1，当 满足什么条件时（其它条件不变）， ？请写出探究结果，并说明理由． （说明：结论中不得含有未标识的字母） 【解析】(1)以 的等角和公共角为条件可以得出 ， 易证；（2）由于角度的不变，结论均成立；（3）当BD平分∠ABC时，结合 得出∠PFB= , 根据直角三角形中 的角所对的边是斜边的一半，还需推出PB=PE , 即得到 。 【标准解答】（1） 与 以 为例，证明如下： 分 （2）均成立，均为 ， （3） 平分 时， ． 证明： 平分
又
7（2008年•扬州）如图，在△ABD和ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连接BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G． （1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由； （2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG 和 FB的比例中项吗？为什么？
B D C A G E F
【解析】（1）关键是找出∠BAC=∠DAE，证得△ABC≌△ADE 得出BC=DE；（2）如果∠ABC=∠CBD ，再结合（1）中的全等三角形的对应角相等得出△BFD∽△DFG，写出比例式即得。 【标准解答】解：（1） 的数量关系是 ． 理由如下： ． 又 ， （SAS）． ． （2）线段 是线段 和 的比例中项． 理由如下： ， ． ． 又 ， ． ． 即线段 是线段 和 的比例中项． 说明：若第（1）、（2）题中结论已证出，但在证明前未作判断的不扣分．
8 (2008年•嘉兴市)小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决： （1）如图1，正方形 中，作 交 于 ， 交 于 ，求证： ； （2）如图2，正方形 中，点 分别在 上，点 分别在 上，且 ，求 的值； （3）如图3，矩形 中， ， ，点 分别在 上，且 ，求 的值． （图1） （图2） （图3）
【解析】（1）证 ； （2）作 交 于 ， 作 交 于 ，构造三角形，利用（1）中的 结论可求得 ；（3）作作 交 于 ， 作 交 于 ，转化后，利用相似三角形对应边 成比例可求得 。
【标准解答】 （图1） （1） ， ， 又 ， ， ， ． （2）作 交 于 ， 作 交 于 ， 则 ， ． 由（1）知， ， （图2） ，即 ． （3）作 交 于 ， 作 交 于 ， 则 ， ． ， ， ， （图3） 又 ， ， ． ． |
