中考数学应用题赏析

数学应用题，以现实生活中的实际问题为背景，要求解题者用他所掌握的知识去建立一个数学模型，从而解决相应的问题。

由于在解题过程中，解题者必须首先嚼透题意、弄清所给信息和需要解决的问题，然后才能在此基础上分析已知和未知之间的数量关系、根据具体情况建立相应的数学模型，从而解决问题。因此，应用题被认为是考查学生的阅读理解能力和思维分析能力的较好的题型，似乎在每一份中考卷中都有出现。

数学来源于实践，当然得反过来服务于实践。我们的数学教学，如何使学生学习好一些适应今后日常生活、参加生产和进一步学习所必需的数学基础知识与基本技能，使他们能够运用所学知识解决简单的实际问题，这是我们数学教育工作者所担负的一项重大任务。

分析近年各地的数学中考试卷，我们发现许多地方的试题都发生了一些可喜的变化。以应用题的变化为例：以往的中考应用题，以方程型为多，即使是函数型的，也多为二次函数。但在近几年的中考应用题中，一改过去那种以方程型为多的局面，出现了许多以函数（尤其是一次函数）应用型为主的应用题。这些应用题都有如下的特点：

（1）问题提出的背景更贴近现实生活，实用性更强；

（2）比较重视对学生收集处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力等能力的考查；

（3）分类等数学思想在这些题中得以较好地体现；

（4）不少题目在考查学生数学知识的同时，还融进了对学生进行思想品德教育。

下面笔者试以几道试题为例，与各位同仁共同来探讨：

例1： 某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其它商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元。请问：根据商场的资金状况，如何购销获利较多？（2001山西省）

解：设商场投入的资金有x元，到月末时的盈利数为y元，

　 如果月初出售，那么到月末盈利数为 y₁ = [(1+15%)(1+10%) – 1 ]x = 0.265x；

　 如果月末出售，那么盈利数为 y₂ = 30%·x – 700 = 0.3x – 700 ；

　 则 y₁ – y₂ = –0.035x + 700 = 0.035(20000 – x)，

　 当 0 < x < 20000 时，y₁ – y₂ > 0，即 y₁ > y₂ ，此时，月初出售获利较多；

　 当 x = 20000 时，y₁ = y₂ ，月初出售和月末出售获利一样多；

　 当 x > 20000 时，y₁ < y₂ ，月末出售获利较多。

赏析：利用一次函数的单调性解题，在近年的中考数学应用题的新变化中出现得最多，它不同于单纯的一次函数，其自变量的取值范围往往有较多的限制条件。同时，在运用一次函数的性质解决问题时，还往往涉及到分类思想。这是近年中考数学应用题的新热点。

例2： 某果品公司欲请汽车运输公司或火车货运站将60吨水果从A地运到B地。已知汽车和火车从A地到B地的运输路程均为s千米。这两家运输单位在运输过程中，除都要收取运输途中每吨每小时5元的冷藏费外，要收取的其它费用及有关运输资料由下表给出：

运输工具

行驶速度

（千米/时）

运费单价

（元/吨千米）

装卸总费用

（元）

汽车

50

2

3000

火车

80

1.7

4620

说 明 ： “1元/吨千米”表示“每吨每千米1元”

（1）请分别写出这两家运输单位运送这批水果所要收取的总费用y₁(元)和y₂（元）（用含s的式子表示）；

（2）为减少费用，你认为果品公司应选择哪家运输单位运送这批水果更为合算？（2001江苏省无锡市）

解：（1）如下表：

路程

（千米）

时间（时）

冷藏费

（元）

运费

（元）

装卸费

（元）

总费用

（元）

汽车

s

3000

火车

s

4620

　 则有 ，　 ，（其中s ≥ 0）

　 （2）令 ，则

易知：当s < 80时，y < 0，即y₁ < y₂ ，此时选择汽运较省；

　 当s = 80时，y₁ = y₂ ，两家公司费用相同；

　 当s > 80时，y₁ > y₂ ，此时以火车运送较好。

所以，选择运输方式和路程s的远近有关：若运输路程不超过80千米，应选择汽车运输较合算；若运输路程不少于80千米，应选择火车货运为宜。

赏析： 和上例一样，本题着重考查一次函数和分类的运用。

尽管涉及到的量很多，数量关系也较繁杂，但若考生能够静心细想，就不难分析出它们之间的相互关系：共有哪些支出项目？各项目又是如何计算的？那么接下来的事情就变得很简单了。

　　　 所谓的“选择哪家运输单位运送这批水果更为合算”，当然是指y_汽车和y_火车哪个更小。这里，因为路程s未知，所以y_汽车和y_火车并不能直接进行比较。在此，考生能否自觉运用分类思想解决问题，便成为了考查的重点。

例3： 阅读下面材料：

在计算 3+5+7+9+11+13+15+17+19+21 时，我们发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值。具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式来计算它们的和（公式中的n表示数的个数，表示第一个数的值，d表示这个相差的定值）。

那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21 = 。

用上面的知识解决下列问题：

为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林。从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地。由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997三年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据。假设坡荒地全部都种上树后，不再水土流失形成新的坡荒地，问：到哪一年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木。 （2001重庆市）

1995年

1996年

1997年

每年植树的面积（亩）

1000

1400

1800

植树后坡荒地的实际面积（亩）

25200

24000

22400

思路一：从实际增加的绿地入手，逐年累计，看何时增加到25200亩（实际上应该是“增加到不少于25200亩）：

　　　 从表中知，1995年植树1000亩，以后每年均比上一年多植树400亩。1996年植树1400亩后，坡荒地只减少了1200亩，因此，每年新产生的坡荒地为200亩。

根据新学到的知识：假设从1996年起（1996年为第一年），第n年全县的坡荒地都被绿荫所覆盖，则有 =25200， 即n²+5n=126，

解得 n = 9 （n = – 14 被舍弃），即到2004年全县所有的坡荒地全部种上树木。

思路二：从实际减少的坡荒地入手，此处略。

思路三：列表，直至“植树后坡荒地的实际面积”为零或出现负数为止。

赏析： 等差数列，本为高中数学的学习内容。这里，面对新出现的知识点，考生能否迅速理解接受，并进而掌握运用，以解决所面临的问题？在运用新知解决问题的过程中，需要收集一些什么样的信息？这对学生的学习能力是一个很大的挑战。

由于问题的地理背景是“我市”，对于考生来说：到了2004年，“我”的家乡全部都被绿荫所覆盖、没有寸片坡荒地，那是一幅多么诱人的画卷呀！

结合教学内容对学生进行思想品德教育，这是数学教学的一项重要任务。在数学考查中融入环保、能源、美育等教育，在各地的中考数学应用题中，为数不少。