近几年来，高考试题在原有基础上进一步加强了对考生运用所掌握的数学知识解决联系生产和生活实际问题能力考查，这些题目的立意，实际背景、假设的情境，设问角度和方式都很新颖灵活。很多考生由于阅读理解能力的训练不足，而语感困难，本文就此有关问题略予浅见，希望于事有所脾益。

　　由于应用问题的实际背景的多样性，立意新颖，设问方式多变，因而增加了“数学建模”的复杂性和难度，这就要求考生一方面要牢固掌握基础知识，基本技能和基本方法；另一方面还应注意不断提高阅读能力和理解能力，善于把文字语言转译成数学语言，特别在学习某项知识时,不但要深刻了解其产生背景,还要清楚它的使用条件和场合，形成使用该项知识的自觉意识，这样就不会得到头，茫然无措，而能做到心有灵犀一点通。

　　根据中学阶段所学知识的实际情况,应用题的内容大致分为以下几个方面：(1)与函数、方程、不等式有关的应用题，经常涉及路程、物价、产量等实际问题，也可涉及长度、角度、面积、体积等几何量，解答这类问题一般要列出有关解析式,然后用函数方程、不等式等有关知识和方法加以解决；(2)与数列有关的应用题，经常涉及到与增长率有关的实际问题,需要运用等差、等比数列和简单的递推知识；(3)与三角函数有关的应用，一般涉及航行、测理及物理学中的摆动、振动等；(4)立体身体应用题，如空中的观测,地球的经纬度、面积、体积的计算等实际问题；(5)与二次曲线有关的应用题，这类问题需要建立坐标系,运用解析几何知识加以解决。

一、增长率问题

例1．从1981年到本世纪末的20年，我国力争使全国的工农业总产值翻两番即由1980年的7100亿元增长到2000年的28400亿元。

　　 (1)求平均每年的增长率 ； (2)如果每年增长8％，几年可以翻两番？

分析：问题(1)可看成是已知a₁＝7100，a₂＝28400，q＝1＋x而求公比q的问题，问题(2)则可看成是已知首项，第n项和公比，而求项数n的问题

解：(1)设平均每年增长率为x，依题意有7100(1＋x)²⁰＝28400

　　　　即(1＋x)²⁰＝4　　∴ 20lg(1＋x)＝2lg2　lg(1＋x)≈0.03010

　　　　1＋x≈1.072　　　∴ x≈7.2％

　　(2)设经过y年可以翻两番则7100(1＋0.08)^y＝28400

　　　　即1.08^y＝4　　　 ∴ ylg1.08＝2lg2

　　　　∴ y＝2lg2/lg1.08＝0.6020/0.0334≈18.02≈18

答：(1)平均每年的增长率为7.2％(2)约需18年可以翻两番。

例2．右图为一台冷轧机的示意图，冷轧机由若干对轧辊组成,带钢从一端输入经过各对轧辊逐步减薄后输出。

(1)输入带钢的厚度为α，输出带钢的厚度为β,若每对轧辊的减薄率不超过r₀，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？(一对轧辊减薄率＝输入该对带钢厚度－从该对输出的带钢厚度/输入该对的带钢厚度)

　　(2)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20％的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm，若第k对轧辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为L_K，为了便于检修，请计算L₁、L₂、L₃并填入下表(轧钢过程中带钢宽度不变，且不考虑损耗)(99年高考试题)

轧辊序号K

　　 1

　　 2

　　3

　　4

疲点间距L_K(单位：mm)

　 1600

分析：此题看似复杂,实际上只要对等比数列理解较深,便立即会意识到这是一道有关利用等比数列等知识解答的工业生产中的应用问题,题目给出了冷轧机的示意图，交待了加工过程,注明了一对轧辊减薄率公式,由所给公式可知,经第1对轧辊减薄后的带钢厚度为α(1－r₀)经第对轧辊减薄后的带钢厚度为α(1－r₀)²…经第n对轧辊减薄后的带钢厚度为α(1－r₀)ⁿ依题意有α(1－r₀)ⁿ≤β，于是问题就归结为解上述n个不等式。至于第2问,只要意识到两疵点间带钢的体积减薄前后未变,问题便会迎刃而解。

解：(1)厚度为α的带钢经过减薄率均为r₀的n对轧辊后,厚度为α(1－r₀)ⁿ,为使输出带钢的厚度不超过β,冷轧机的轧辊数以对为单位，应满足α(1－r₀)ⁿ≤β，即(1－r₀)ⁿ≤β/α，由于(1－r₀)ⁿ＞0， β/α＞0对上式两端取对数，得nlg(1－r₀)≤lgβ/α，由于lg(1－r₀)＜0，所以： n≥lgβ－lgα/lg(1－r₀)，因此，至少需要安装不小于lgβ－lgα/lg(1－r₀)的整数对轧辊，也即是至少需要安装比lgβ－lgα/lg(1－r₀)的整数部分多1对轧辊。

　　(2)第K对思辊出n处疵点间的距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为：1600α(1－r)^k×宽度(其中r＝20％)而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为L_Kα(1－r)⁴×宽度

，因宽度相等，且无损耗，故由体积相等得1600α(1－r)^k＝L_Kα(1－r)⁴(r＝20％)即L_K＝1600×0.8^k－4，由此得L₃＝2000(mm) l₂＝2500(mm) L₁＝3125(mm)填表如下：

轧辊序号k

　　　1

　　　2

　　　3

　　　4

疵点间距L_K(mm)

　　 3125

　　 2500

　　 2000

　　 1600

二、运输问题

例3．一辆卡车从工地运20根电线杆到500米外的公路一侧埋栽，每隔50米埋1根，每次多运3根，要完成任务并返回工地，卡车的总行程是多少千米？

分析：若运送原则是由近及远，每次都运3根，每次往返的路程依次记为a₁，a₂…(单位为米)则a₁＝1200，a₂＝a₁＋300，a₃＝a₂＋300…显然这是一道等差数列求和的问题。

解：根据题意，欲求卡车的总行程，可选求首项a₁＝1200，公差d＝300的等差数列前7项的和：S₇＝7×1200＋1/2×7×6×300＝14700 S₇－100＝14600

答：卡车往返总行程为14.6公里。

例4．汽船拖载重量相等的小船若干只，在二港之间来回运货，已知每次拖4只小船,一日能来回往返16次,每次拖7只小船，一日能来回往返10次，如果小船增多的只数与大船来回减少的次数成正比,问每次拖多少只小船，来回往返多少次才能运货总量达到最大？

解：设小船增加的只数是x大船往返的次数是y，则y＝kx＋b(其中k，b待定)以x＝4,y＝16及x＝7，y＝10

　　代入上式得：

{

4k＋b=16

解得