2012陕西省初中毕业学业考试

数学试卷

第Ⅰ卷（选择题   共30分）

一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）

1．如果零上5 ℃记做+5 ℃，那么零下7 ℃可记作（      ）

 A．-7 ℃ B．+7 ℃ C．+12 ℃ D．-12 ℃

2．如图，是由三个相同的小正方体组成的几何体，该几何体的左视图是（      ）

 

3．计算 的结果是（      ）

A．    B．          C．         D．

4．某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九年级三班的演唱打分情况（满分100分）如下表，从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下的分数的平均分是（      ）

分数（分） 89 92 95 96 97

评委（位） 1 2 2 1 1

 A．92分         B．93分          C．94分         D．95分

5．如图，在 是两条中线，则 （      ）

 A．1∶2        B．2∶3       

    C．1∶3          D．1∶4

6．下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（      ）

 A．（2．-3），（-4，6）   B．（-2，3），（4，6） 

 C．（-2，-3），（4，-6）      D．（2，3），（-4，6）

7．如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点 ， ，垂足为 ，若 ，则 的大小为（      ）

A．75°      B．65°     

C．55°      D．50°

8．在同一平面直角坐标系中，若一次函数 图象交于点 ，则点 的坐标为（      ）

A．（-1，4）    B．（-1，2）      C．（2，-1）       D．（2，1）

9．如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（      ）

A．3          B．4        

C．         D．

10．在平面直角坐标系中，将抛物线 向上（下）或向左（右）平移了 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则 的最小值为（      ）

A．1         　　 B．2  　　　　   C．3   　　　　  D．6

第Ⅱ卷（非选择题   共90分）

二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）

11．计算：            ．

12．分解因式：            ．

13．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．

A．在平面内，将长度为4的线段 绕它的中点 ，按逆时针方向旋转30°，则线段 扫过的面积为           ．

B．用科学计算器计算：            （精确到0.01）．

14．小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶．已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买           瓶甲饮料．

15．在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数 的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是           （只写出符合条件的一个即可）．

16．如图，从点 发出的一束光，经 轴反射，过点 ，则这束光从点 到点 所经过路径的长为           ．

三、解答题（共9小题，计72分．解答应写过程）

17．（本题满分5分）

化简： ．

18．（本题满分6分）

如图，在 中， 的平分线 分别与 、 交于点 、 ．

（1）求证： ；

（2）当 时，求 的值．

19．（本题满分7分）

某校为了满足学生借阅图书的需求，计划购买一批新书．为此，该校图书管理员对一周内本校学生从图书馆借出各类图书的数量进行了统计，结果如下图．

请你根据统计图中的信息，解答下列问题：

（1）补全条形统计图和扇形统计图；

（2）该校学生最喜欢借阅哪类图书？

（3）该校计划购买新书共600本，若按扇形统计图中的百分比来相应地确定漫画、科普、文学、其它这四类图书的购买量，求应购买这四类图书各多少本？

        

20．（本题满分8分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭 处测得湖心岛上的迎宾槐 处位于北偏东 方向，然后，他从凉亭 处沿湖岸向正东方向走了100米到 处，测得湖心岛上的迎宾槐 处位于北偏东 方向（点 在同一水平面上）．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐 处与湖岸上的凉亭 处之间的距离（结果精确到1米）．

（参考数据： ，

 ）

21．（本题满分8分）科学研究发现，空气含氧量 （克/立方米）与海拔高度 （米）之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米．

（1）求出 与 的函数表达式；

（2）已知某山的海拔高度为1200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？

22．（本题满分8分）

小峰和小轩用两枚质地均匀的骰子做游戏，规则如下：每人随机掷两枚骰子一次（若掷出的两枚骰子摞在一起，则重掷），点数和大的获胜；点数和相同为平局．

依据上述规则，解答下列问题：

（1）随机掷两枚骰子一次，用列表法求点数和为2的概率；

（2）小峰先随机掷两枚骰子一次，点数和是7，求小轩随机掷两枚骰子一次，胜小峰的概率．

（骰子：六个面分别刻有1、2、3、4、5、6个小圆点的立方块．点数和：两枚骰子朝上的点数之和．）

23．（本题满分8分）

如图， 分别与 相切于点 ，点 在 上，且 ， ，垂足为 ．

（1）求证： ；

（2）若 的半径 ， ，求 的长．

24．（本题满分10分）

如果一条抛物线 与 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）“抛物线三角形”一定是           三角形；

（2）若抛物线 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求 的值；

（3）如图，△ 是抛物线 的“抛物线三角形”，是否存在以原点 为对称中心的矩形 ？若存在，求出过 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

 

25．（本题满分12分）

如图，正三角形 的边长为 ．

（1）如图①，正方形 的顶点 在边 上，顶点 在边 上．在正三角形 及其内部，以 为位似中心，作正方形 的位似正方形 ，且使正方形 的面积最大（不要求写作法）；

（2）求（1）中作出的正方形 的边长；

（3）如图②，在正三角形 中放入正方形 和正方形 ，使得 在边 上，点 分别在边 上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．

2012陕西省中考数学试题答案

第Ⅰ卷（选择题   共30分）

一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）

1、A     2． Ｃ    3．Ｄ   4、C    5、D    6、A    7、B    8、D   9、C    10、B

二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）

11、       12、        13、       2.47         14、 3

15、  （只要 中的 满足 即可）        16、 

三、解答题（共9小题，计72分．解答应写过程）

17．（本题满分5分）

化简： ．

【答案】解：原式=

                =

                =

                =

                = ．

18．（本题满分6分）

如图，在 中， 的平分线 分别与 、 交于点 、 ．

（1）求证： ；

（2）当 时，求 的值．

【答案】解：（1）如图，在 中， ，

        ∴ ．

        ∵ 是 的平分线，

        ∴ ．

        ∴ ．

        ∴ ．

       （2）

        ∴△ ∽△ ，

        ∴ ，

        ∴ ．

19．（本题满分7分）

某校为了满足学生借阅图书的需求，计划购买一批新书．为此，该校图书管理员对一周内本校学生从图书馆借出各类图书的数量进行了统计，结果如下图．

请你根据统计图中的信息，解答下列问题：

（1）补全条形统计图和扇形统计图；

（2）该校学生最喜欢借阅哪类图书？

（3）该校计划购买新书共600本，若按扇形统计图中的百分比来相应地确定漫画、科普、文学、其它这四类图书的购买量，求应购买这四类图书各多少本？

【答案】解：（1）如图所示

一周内该校学生从图书馆借出各类图书数量情况统计图

        

       （2）该学校学生最喜欢借阅漫画类图书．

   （3）漫画类：600×40%=240（本），科普类：600×35%=210（本），

    文学类：600×10%=60（本），其它类：600×15%=90（本）．

20．（本题满分8分）

如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭 处测得湖心岛上的迎宾槐 处位于北偏东 方向，然后，他从凉亭 处沿湖岸向正东方向走了100米到 处，测得湖心岛上的迎宾槐 处位于北偏东 方向（点 在同一水平面上）．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐 处与湖岸上的凉亭 处之间的距离（结果精确到1米）．

（参考数据： ，

 ）

【答案】解：如图，作 交 的延长线于点 ，

    则 ．

    在Rt△ 和Rt△ 中，

    设 ，则 ，

     ．

    ∴ ．

    ∴ （米）．

    ∴湖心岛上的迎宾槐 处与凉亭 处之间距离约为207米．

21．（本题满分8分）

科学研究发现，空气含氧量 （克/立方米）与海拔高度 （米）之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米．

（1）求出 与 的函数表达式；

（2）已知某山的海拔高度为1200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？

【答案】解：（1）设 ，则有

        解之，得

        ∴ ．

       （2）当 时， （克/立方米）．

    ∴该山山顶处的空气含氧量约为260.6克/立方米．

22．（本题满分8分）

小峰和小轩用两枚质地均匀的骰子做游戏，规则如下：每人随机掷两枚骰子一次（若掷出的两枚骰子摞在一起，则重掷），点数和大的获胜；点数和相同为平局．

依据上述规则，解答下列问题：

（1）随机掷两枚骰子一次，用列表法求点数和为2的概率；

（2）小峰先随机掷两枚骰子一次，点数和是7，求小轩随机掷两枚骰子一次，胜小峰的概率．

（骰子：六个面分别刻有1、2、3、4、5、6个小圆点的立方块．点数和：两枚骰子朝上的点数之和．）

【答案】解：（1）随机掷两枚骰子一次，所有可能出现的结果如右表：

骰子2

骰子1 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

      右表中共有36种等可能结果，其中点数和

      为2的结果只有一种．

      ∴ （点数和为2）=  ．

     （2）由右表可以看出，点数和大于7的结果

      有15种．

      ∴ （小轩胜小峰）=  = ．

23．（本题满分8分）

如图， 分别与 相切于点 ，点 在 上，且 ， ，垂足为 ．

（1）求证： ；

（2）若 的半径 ， ，求 的长．

【答案】解：（1）证明：如图，连接 ，则 ．

        ∵ ，

        ∴ ．

        ∵ ，

        ∴四边形 是矩形．

        ∴ ．

       （2）连接 ，则 ．

        ∵ ， ， ，

        ∴ ， ．

        ∴ ．

        ∴ ．

        设 ，则 ．

        在 中，有 ．

        ∴ ．即 ．

24．（本题满分10分）

如果一条抛物线 与 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）“抛物线三角形”一定是           三角形；

（2）若抛物线 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求 的值；

（3）如图，△ 是抛物线 的“抛物线三角形”，是否存在以原点 为对称中心的矩形 ？若存在，求出过 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）等腰

       （2）∵抛物线 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，

        ∴该抛物线的顶点 满足  ．

        ∴ ．

       （3）存在．

        如图，作△ 与△ 关于原点 中心对称，

        则四边形 为平行四边形．

        当 时，平行四边形 为矩形．

         又∵ ，

        ∴△ 为等边三角形．

        作 ，垂足为 ．

        ∴  ．

        ∴ ．

        ∴ ．

        ∴ ， ．

        ∴ ， ．

        设过点 三点的抛物线 ，则

              解之，得

        ∴所求抛物线的表达式为 ．

25．（本题满分12分）

如图，正三角形 的边长为 ．

（1）如图①，正方形 的顶点 在边 上，顶点 在边 上．在正三角形 及其内部，以 为位似中心，作正方形 的位似正方形 ，且使正方形 的面积最大（不要求写作法）；

（2）求（1）中作出的正方形 的边长；

（3）如图②，在正三角形 中放入正方形 和正方形 ，使得 在边 上，点 分别在边 上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．

【答案】解：（1）如图①，正方形 即为所求．

       （2）设正方形 的边长为 ．

        ∵△ 为正三角形，

        ∴ ．

        ∴ ．

        ∴ ，即 ．（没有分母有理化也对， 也正确）

       （3）如图②，连接 ，则 ．

        设正方形 、正方形 的边长分别为  ，

        它们的面积和为 ，则 ， ．

        ∴ ．

        ∴ ．

        延长 交 于点 ，则 ．

        在 中， ．

        ∵ ，即 ．

        ∴ⅰ）当 时，即 时， 最小．

        ∴ ．

        ⅱ）当 最大时， 最大．

        即当 最大且 最小时， 最大．

        ∵ ，由（2）知， ．

        ∴ ．

        ∴  ．