激发学生学习数学的兴趣 [随笔杂谈]

发表于：2012-08-26 阅读：9次

让学生自主的参与教学活动是素质教育的基本体现。课堂教学中的素质教育的根本任务，就是落实学生的主体性。课堂上学生能否自主参与学习活动是学生能否成为学习的主人的明显标志。只有学生在情感、思维、动作等方面自主参与了教学活动，学生学习的主体性才能体现。因此，学生能否自觉参与到教学活动中来，成为教学活动的一个难点。要解决这一难题，在教学活动中首先要诱发学生的学习兴趣 ，“兴趣是最好的老师”，“没有兴趣的学习，无异与一种苦役；没有兴趣的地方，就没有智慧和灵感。”入迷才能叩开思维的大门，智力和能力才能得到发展。作为教师，要善于诱发学生的学习兴趣。

　　1、以生动的实例，描述枯燥的概念，使比较抽象的内容变得通俗形象。

　　数学知识原本就比较抽象，不象语文具有描述性，美术具有的直观性，体育具有的身体参与性。各种概念的描述既枯燥又无味。要使抽象的内容变得具体、易懂，就得从生活中挖掘素材，在日常生活中发现数学知识，利用数学知识，来提高学生学习的兴趣。

　　例如：“角的认识”这一课，“角是一个端点引发的两条射线”，这个概念的描述不易理解，非常抽象。在教学时可做如下描述：盛夏，酷暑炎热，人们都习惯在树下纳凉 ，小朋友们在树下玩耍。瞧，老师来了。师摆臂作走路状，并挂出示意图：手臂与身体成一个角。有的小朋友在荡秋千，出示荡秋千图。这时老师立即一转，进入话题，老师说：“手臂这一摆，秋千这一荡，就是一个数学概念。”这时，学生兴趣正浓一定会想：摆臂、荡秋千怎么会同数学概念连在一起呢？此时此刻，思维的火花不点自燃。

　　2、利用思辨问题或实验结论作引导。这样既可激发学生的学习兴趣又可启发学生的思考。

　　有时学生所学的知识混淆不清。在数学的很多概念中，“0除外”这个概念学生掌握起来比较困难，但生硬的灌输会记忆不牢。为了让学生更好的掌握“0不能作除数”和“分数的基本性质”，又要激发学生的学习兴趣，设计了一个等式。首先教师说：“我知道3能等于0。”学生齐声说这是错的，教师出示连等式： 3= = = = = = = 0 学生认为3是不可能等于0的，可是上面的等式正好说明了这个道理。3=0吗？学生的学习兴趣猛增，思维的神经必然迅速工作，通过回忆，判断和推理，最后得出正确的结论。

　　3、提出矛盾的问题，引起学生的疑惑。

　　有矛盾才会有进步，寻求解决矛盾的方法就是对知识的掌握情况的检验。学生必然会寻找集结所在，这时就有了对知识的运用。学生产生疑惑，探求真理的愿望，也是激发学习兴趣的手段之一。

　　如，在讲“较复杂的求平均数的方法”时，教师出示这样的道题：某水果店运来600个西瓜，300个大的，300个小的。小组长对售货员小张说：大的一元卖2个，小的一元卖3个，结果可以买250元。第二次又运来同样数量的大小西瓜，价钱也没变，小张想：何必分开卖，不如不许挑，平均每元钱可以买两个半个，每个4角钱。卖完西瓜后一算，只卖了240元，这是怎么回事呢？为何第二次比第一次少卖10元呢？

　　学生思维的积极性被调动起来了，通过讨论分析，不难知道：两个西瓜价钱的平均数和每元钱卖的西瓜并不是一回事。

　　4、诱发求知欲。

　　学生的学习要有对知识的渴求，也就是求知欲。有了求知欲 ，对学习的兴趣也就油然而生。学生对新知识的渴求，想对未知事物的了解，是激发学习兴趣的一个契点。

　　如讲授“圆的周长计算”时，教师带着系着线的乒乓球进入教室。向学生提问：系住乒乓球的线都可以量出来，要使系住乒乓球的线球一米远，此线需多长？进而又问：假设我们用绳子绕地球一圈，现在把这条绳子都距地球1米远，绳子增加多少？

　　学生纷纷估计，有的说是一千米，有的说是一万米，有的说是一百米，答案形形色色，这时教师说：大家说的都不对，增加的长度比10米还短呢！在学生一双双惊异的眼光中，教师指出要是学习了圆周长的计算后，就可以很快算出结果。这样可大大激发学生的求知欲，从而提高学生学习数学的兴趣。

高中数学教与学的几点尝试 [随笔杂谈]

发表于：2012-08-26 阅读：9次

在传统单一的教学模式中，将几十个学生集于一堂，学生的知识基础和认知水 --平参差不齐，智力相差悬殊，教师唯以应付。按以往的“等量，同速，同要求”授课，势必出现有的吃不饱，有的吃不了的情况，这对大面积提高教学质量，推进素质教育，培养合格的人才是很不利的。必须从学生的实际出发，调整课堂结构，改进教学方法，使各个层次的学生在课内学有所得，各展其长，充分发展个性。教师的教法必须根据学生的学法而定，教师的教是为了学生的学。在教学过程中应因人而异，因材施教，实施分层教学。 

    分层教学就是把全班学生按知识基础和认知水平分几个层次，然后根据各层次学生的情况设计授课内容和目标进行教学，它包括教学目标分层，教学过程分层，课堂提问和练习分层及课后作业分层。实施分层教学，要创设良好的教学环境，重要的是要优化师生关系，使课堂中有一个师生真诚友好的学习环境；教师要真正了解学生心理，尊重学生个性，使学生对数学产生浓厚的兴趣，有了兴趣，学生才会主动的去学。再者，分层教学不仅使成绩好的学生更优秀，更有发挥潜能的空间，而且也使基础差的学生觉得有东西可学，一节可下来自己也有所收获，有一种成就感，从而不会觉得枯燥无味，厌恶数学，也不会对数学产生畏惧的心理。这样使得不同层次的学生都能在原有的基础上得到进步的开拓，使他们心理平衡，互相帮助，互相促进，积极向上，从而达到预期的效果。并且分层教学充分体现了学生的主体作用和教师的主导作用，课堂教学充分调动了学生的学习积极性，实施分层教学，因材施教，有利于发展学生的思维。实施一段时间后，各层次的学生都得到了进一步的发展，尤其是后进生和优秀生，优秀生更优，后进生也有某些进步。对成绩有进步的学生要及时表扬，评价以鼓励为主，使其享受成功的喜悦，更加增强自信心；而对变差的应多加以关心，多作引导，使其重燃希望之光。 

    当然，学生成绩的好坏不仅与教师的教有关，而且更离不开学生自己的学。因此，教师更应教会学生怎样学习，帮助学生掌握学习方法，培养学生的学习能力。使得学生在学习中善于思考，善于联想，善于对比，善于总结。 

    一、善于思考 

    学生在整个教学过程中始终是认识的主体，引导学生积极参与课堂教学，学会发现问题，提出问题，养成善于思考的习惯，这样既能充分体现学生的主体地位，又能促进学生的认知结构。紧抓相关知识，通过层层削析思考，逐步引导学生掌握解题的实质，强化思维训练，形成独立的求知能力。 

    二、善于联想 

    联想是由一个事物想到与其相关的另一个或多个事物的思维过程，是一种由此及彼的思维方法。一旦让学生掌握了联想的方法，就能举一反三，触类旁通，起到事半功倍的效果，比如平面问题与立体问题的联想 ,“数式”与“图形”的联想等。 

    三、善于对比 

    有比较才有鉴别，通过对相近或相似知识的比较，了解它们之间的共性和个性，从而加深对知识的理解和掌握。特别是把容易混淆的概念，相近的问题进行搜索，整理并加以对比，许多问题往往可迎刃而解。 

    四、善于总结 

    总结包括对知识一类问题的解法及思想方法的归纳。学生在学习过程中往往不善于对所学知识进行系统性地小结，机地记忆，并且在解题过程中为做题而做题，根本不去归纳方法。那么教师在讲解过程中应引导学生学会作总结，使知识形成网络，便于抓住重点，掌握规律，并掌握数学的思想方法及解题方法。 

    课堂教学是教与学的双边活动，学的真谛在于 “悟”，教的秘诀在于“度”，课堂上，教师应把学法指导渗透到各个教学环节中去，使课堂教学成为学法指导的主渠道。只要这样，才能不断提高教学质量，让学生终身受益。

高三数学复习最有效的方法 [学习经验]

发表于：2012-08-26 阅读：12次

众所周知，高三数学练习测试几乎每月一次，利用好这些测试机会可以发现自己数学学习中的很多不足，查漏补缺，可以迅速提高数学学习成绩，达到事半功倍的效果。

　　分析试卷：将存在问题分类

　　每次考试结束试卷发下来，要认真分析得失，总结经验教训。特别是将试卷中出现的错误进行分类，可如下分类:

　　第一类问题———遗憾之错。 就是分明会做，反而做错了的题；比如说，“审题之错”是由于审题出现失误，看错数字等造成的；“计算之错”是由于计算出现差错造成的；“抄写之错”是在草稿纸上做对了，往试卷上一抄就写错了、漏掉了；“表达之错”是自己答案正确但与题目要求的表达不一致，如角的单位混用等。出现这类问题是考试后最后悔的事情。

　　第二类问题———似非之错。记忆的不准确，理解的不够透彻，应用得不够自如；回答不严密、不完整；第一遍做对了，一改反而改错了，或第一遍做错了，后来又改对了；一道题做到一半做不下去了等等。

　　第三类问题———无为之错。由于不会，因而答错了或猜的，或者根本没有答。这是无思路、不理解，更谈不上应用的问题。

　　制订策略：将问题各个击破

　　建议策略是:分步打好三个战役，即：消除遗憾；弄懂似非；力争有为。

　　■第一战役：消除遗憾要消除遗憾必须弄清遗憾的原因，然后找出解决问题的办法，如“审题之错”，是否出在急于求成？可采取“一慢一快”战术，即审题要慢、答题要快。“计算错误”，是否由于草稿纸用得太乱，计算器用得不熟等。建议将草稿纸对折分块，每一块上演算一道题，有序排列便于回头查找。练习计算器使用技巧以提高使用的准确率。“抄写之错”，可以用检查程序予以解决。“表达之错”，注意表达的规范性，平时作业就严格按照规范书写表达，学习高考评分标准写出必要的步骤，并严格按着题目要求规范回答问题。

　　■第二战役：弄懂似非“似是而非”是自己记忆不牢、理解不深、思路不清、运用不活的内容。这表明你的数学基础不牢固，一定要突出重点，夯实基础。你要建立各部分内容的知识网络；全面、准确地把握概念，在理解的基础上加强记忆；加强对易错、易混知识的梳理；要多角度、多方位地去理解问题的实质；体会数学思想和解题的方法；当然数学的学习要有一定题量的积累，才能达到举一反三、运用自如的水平。

　　■第三战役：力争有为在高三复习的第一轮中，不要做太难的题和综合性很强的题目，因为综合题大多是由几道基础题组成的，只有夯实了基础，做熟了基础题目，掌握了基本思想和方法，综合题才能迎刃而解。在高三复习时间较紧的情况下，第一阶段要有所为，有所不为，但平时考试和老师留的经过筛选的题目要会做，要做好。

　　巩固成果：不断调整目标
　　每次测试都要确立自己本次改错的目标，考后要检查目标实现情况，随着自己的不断进步，问题会越来越少，成绩会越来越好，这时离你的理想也越来越近。

浅谈高中数学应用题的教学 [随笔杂谈]

发表于：2012-08-26 阅读：18次

数学应用题的教学，是提高学生分析问题，解决问题能力的好途径。但往往由于这类题目文字叙述长，数学背景陌生，涉及面又广，因而对部分学生来讲，在阅读和理解方面存在着一个困难。要解决这一困难，至关重要的是要做好以下几件事。
    
    一、帮助学生消除心理和语言障碍
    
    许多学生一见应用题文字这么长，数学中的情景又比较陌生，连题目都不“敢”去看了。实际上，带着自信，冷静地去读完题目也是对学生心理素质的一种考验，教师必须要求每一个学生都树立起学习的信心，提高心理承受能力，保持冷静，认真对待，不能随意放弃，每次考试都尽可能地考查一道与复习内容紧密相关的应用题，以便帮助学生消除心理障碍。
    要排除语言障碍，必须做好读题和翻译工作。读题是翻译的基础，读题时要抓住题目中的关键字、词、句，弄清题中的已知事项，初步了解题目中讲的是什么事情，要求的结果是什么。在读题的基础上，学生要能复述题目中的要点，深思题意，很多情况下，可将应用题翻译成图表形式，形象鲜明地表现出题中各数量之间的关系。
    
    二、引导学生学会数学建模
    
    阅读是为了理解题意，建模的过程就是将文字语言、符号语言、图表语言转化成数学语言的过程。一道题目可能有较多的建模思路，应让学生选择自己最熟悉或运算过程少、技巧性不太强的数学模型来解答题目，一般来说，可采用下列策略帮助学生建立数学模型：（1）双向推理列式，利用已知条件顺向推理，运用所求结果进行逆向搜索；（2）借助常用模型直接列式，平均增长率的问题可建立指、对数或方程模型，行程、工程、浓度问题可以建立方程（组）或不等式模型，拱桥、炮弹发射、卫星制造问题可建立二次模型，测量问题可建立解三角形模型；计数问题可建立排列组合问题；机会大小问题可建立概率模型，优化问题可建立线性规划模型……
    
    三、注重运算的正确性
    
    在平时的教学过程中，教师应努力让学生做到以下几点：
    思想上重视计算。许多学生只注重列式不注重运算，对复杂的算式缺乏信心，对简单的算式粗心马虎。原因在于思想不重视，平时没有养成良好的运算习惯。为此，教师要加强教育，让学生知道运算失误所造成的对学习成绩的消极影响。
    算法要精心研究。运算过程中使用的概念、公式和法则要准确无误，这是保证运算准确的基本条件。因此，平时的作业、练习、测验等都必须要求学生认真检查、总结、订正，提高运算的正确率。另外还需要学生运算要熟练且合乎算理，运算过程中的每一步都要有依据。或根据概念，或根据公式，或根据法则，要养成思维严谨的好习惯。
    书写要清楚规范。一是步骤书写要规范，解证、文字说明、列式、拖式、计算结果、计量单位、答案等都要严格按照要求书写，条理清楚，一目了然。二是符号书写要规范，运算符号、关系符号、代数符号、几何符号、三角符号等的书写必须规范清晰、准确无误。三是文字书写要规范，在解题和答题过程中，必须书写工整、笔画正确、标点符号使用得当，完整地表述解题过程。规范的书写不仅能准确地输出信息，更能培养学生学习认真、做事精细的良好品质。

浅谈运用多媒体技术优化数学课堂教学 [随笔杂谈]

发表于：2012-08-26 阅读：17次

随着计算机的日益普及，多媒体辅助教学已成为现代化教育中的一种有效手段，恰当地使用多媒体教学，能利用图形、图像、文本、声音、动画等多种媒体信息刺激学生的感官，通过形象生动的画面、悦耳动听的音乐等充分展示知识的形成过程，培养学生的思维能力，提高学生的综合素质，从而全面提高教学质量。

现代化的课堂教学形式多种多样，这首先得益于教育技术的不断发展，当三机一幕还未普及的时候又被先进的计算机辅助教学所更新，接下去的是更吸引人的网络教学。现在我国倡导采用现代化教育手段，在教学中培养复合型的人才。作为教育者，我们应该遵循着素质教育的方向，提高课堂教学质量，在教学中培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力、发展他们的思维，和创新能力。而采用多媒体教学更是成为教师的重要教学手段。

“课堂教学是 实施素质教育的主渠道”，把握好45分钟的课堂教学对学生知识的掌握和能力的培养尤为重要。教师要使学生在学习的过程中有所收获，必须考虑影响学生学习的激励因素。根据教育心理学的研究：影响学生学习的因素可分为内部因素和外部因素。而外部因素中尤为重要的一点就是教学的媒介。黑板是目前使用最广泛的辅助工具之一，它最适合临时性的板书以及在班级学生面前进行数学运算或类似的练习。但黑板的短处之一是难读难写，而且教师不得不背对学生，从而失去了对班级的控制和与学生的目光交流。投影仪、录音机等先进教学仪器的引入，曾经给课堂带来了生机，但仍因其不能将声、像，动态与静态完美地结合起来而缺乏生命力。于是随着科学技术的发展，计算机辅助教学极为有效地弥补了这一空白，成为教育现代化的重要标志，且正显示出它无以伦比的优势。以下几点，是我在教学实践中运用计算机辅助优化数学课堂教学所总结的一些心得体会和经验。
一、运用多媒体创设情境、诱发学生的求知欲，激发学生的学习兴趣。
      在教学中，用多种媒体来创设情景，诱发学生的求知欲是一种有效的手段。例如我在教学《认识厘米、用厘米量》时，其中有一内容是教学生估测比较短的物体的长度。考虑到这一内容比较抽象，学生难以理解，所以我先提出问题质疑：同学们，你们知道小猫是怎样抓躲在洞里的小老鼠吗？此时学生都产生了强烈的求知欲，特别想知道小猫是如何抓躲在洞里的小老鼠的。于是我让学生观看一段动画片：一只小猫在追一只老鼠，忽然这只老鼠窜到了小洞里，于是小猫就用自己的胡子在洞口量一量，如果小猫的胡子的宽度与洞口一样宽，说明小猫的身子能进入洞口，才有希望抓住老鼠。学生看到小猫就是靠用胡子来估测洞口大小,才能进入洞里抓住老鼠。接着我揭示本堂课的主旨：今天我们也要来学习如何估测物体的长度。其实生活中处处都有尺子，学生们在刚才情境的熏陶下，对这一内容产生了极大的兴趣和好奇，纷纷寻找身边的“尺子”，有的说自己的一柞宽就是10厘米；有的说自己的食指宽就是1厘米；还有的说自己的课桌是80厘米等，只要把要测量的物体与这些生活中的“尺子”比划，就能估测长短，最后得出结论：用这些“尺子”同样可以估测出物体的长短。可见，媒体恰当的演示使学生对所学知识产生了好奇心，激起了他们探索知识的欲望，并使学生明白生活中处处有数学。
     在课堂教学中，教学活动的主体是学生，因此教师设计教学过程和每个教学环节都必须充分考虑儿童的心理特点和需要。小学生年龄小，上课注意听讲时间短，持久性差，对学生的直接兴趣始终是小学生学习动机的稳定组成部分。如果教师善于用色彩鲜明适度的画面吸引学生、点燃学生的好奇之火，激发学生学习兴趣，将极大程度地提高学生学习的效率。
    如我在教学《比较分数的大小》时，为学生创设一个良好的学习环境，充分调动学生思维的积极性和主动性。教师运用多媒体进行导入教学收到良好的效果。其做法是：编制“唐僧师徒分西瓜”的故事。上课伊始，教师将屏幕打开，唐僧师徒四人出现在一荒草丛的大路上，被太阳晒得口干舌燥。悟空便蹦蹦跳跳地来到师傅面前说：“师傅，口太渴了，我去找点解渴的东西来！”并吩咐八戒和沙僧看好师傅。不一会儿悟空抱着一个又大又圆的西瓜回来了。悟空道：“师傅和沙僧吃西瓜的1/4，八戒吃西瓜的1/3，我吃西瓜的1/6。八戒一听瞪着眼睛，很不高兴地说：“猴哥，明知我的肚皮大，吃得多，却分给我的最少，你吃得最多。”语音刚落，悟空便哈哈大笑道：“好一个呆子、呆子、呆子……”到此，教师抓住时机提出问题：“悟空为什么叫八戒呆子？”由于小学生特别喜欢《西游记》，课一开始，同学们便被生动的画面、富有个性的人物对话所吸引，每个情节历历在目，问题一提出，同学们争着回答：“八戒不知道自己分得最多。”“他真呆！”等等。教师紧接着追问：“八戒为什么不知道自己分得最多呢？”此时学生跃跃欲试，欲言不能，教师趁疑而入，因势利导，揭示课题。这样就达到了“一石击起千层浪”的效果。新颖有趣的引入课题，唤起了学生的求知欲望，点燃了学生思维的火花，为学习新的知识铺设了一条平坦的大道。
二、运用多媒体辅助教学，帮助学生突破重点和难点。

在平时的教学中我用的最多就是PowerPoint制作课件，PowerPoint能制作出形象、色彩鲜明、声色结合的背景，并且教师在制作时有较大的随意性，可根据自己教学的需要制作一些有针对性的课件。例如：在教学混合运算时，学生往往对运算顺序这一重点掌握不好，利用 PowerPoint制作的幻灯片就可以突破这一重点。先出示混合运算试题让学生判断每题先算什么再算什么，把学生说的先算部分用红色闪烁的线条标出来且配以声音，再现知识点，以此突出重点，加深学生对这一知识的理解。再如教学长方体和正方体的认识时有这样一题：许多正方体有序的叠在一起，要求学生数出共有多少个。这样的题也可以用PowerPoint制作的课件来演示每一层正方体重叠的情况，让学生通过演示一层层的数出总个数，清楚明了且效果良好。
      计算机发展进入到课堂教学中，给教学带来了新的生力，使数学教学有了质的转变，本来枯燥无味的课堂因计算机的作用而使得本身抽象的知识变得生动活泼且易懂明了。特别是在几何图形课、应用题课的表现更加突出。在小学教学中，大量的形式多样、内容丰富的插图是教材的重要组成部分，但插图是静止的，插图借助多媒体，创设动态情境，以鲜明的色彩，活动的画面把活动过程全面展现出来，那么既可突出重点、突破难点，化抽象为具体，又可促进思维导向由模糊变清晰。
     僻如“相遇问题”历来就是小学数学教学中有相当难度的一类应用题，在教材中既是重点，又是难点。这类应用题既要学生掌握相遇、同时、相向的特点，又要理解路程、相遇时间、和速度之间的关系，而且还要会应用它们之间的关系解题。为了突破这一难点，使学生较好的理解，以往的教学中尽管教师作了很大的努力，或用语言形象描述，或用画图讲解；或用滑轮实物与幻灯投影演示；或根据题目与速度、时间的关系等诸多手段进行教学。但由于学生年龄特点的限制和教学知识本身难度的阻碍，学生掌握起来总是很困难、很勉强。在教学这部分内容时，运用多媒体动态的例题教学，为学生创设视听情境，产生一种化静为动的效果。其做法是：开机，屏幕上出现了王娟和张明分别在两地（指示灯在两地连闪两下，强调两地），接着显示两人同时从两地对面走来（强调同时相向而行），最后显示两人同时从两地对面走来（强调同时相向而行），最后通过一分钟一分钟或一小时一小时行程的演示，一直走到两人碰到一起（强调相遇）。多媒体的动态演示，图像准确科学、简洁明了、真实可信，使学生正确、科学地理解了“两人两地同时出发”、“相向而行”、“相遇”等术语的含义，帮助学生正确地掌握了路程与速度、时间之间的关系，让学生顺利完成由自我形成到自我完善的认知过程，大大降低了传统手段靠单一讲解带来的理解上的难度，避免了因实物表演、模具演示不准确、不科学而造成的负面影响。
三、运用多媒体辅助教学，启动学生的思维能力、培养学生的创造性和操作能力。
      思维的创造性程度是衡量思维能力高低的重要标志。良好的思维能力不是凭空而生的，它依赖于扎实的基础知识和技能，与一个人的思维素质所受的思维训练密切相关。根据数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性、系统性、应用的广泛性等特点，教师要为学生开拓思维空间，帮助学生破除因循守旧的思想，增加思维的自由度，鼓励学生探索，启发学生发现问题，互相讨论研究问题，解决问题。
     僻如在教学《分数的意义》时，为巩固分数的意义，设计了这样一个CAI课件：在美丽的大自然中，果红草绿，苹果树上结了10个又红又大的苹果，有6只辛勤的蜜蜂正一桶一桶的在采蜜，它们一起去采了12桶蜜……这活泼生动的画面，鲜艳的色彩，延长了学生有意注意的时间，全班学生围绕老师提出的一系列问题展开讨论：（1）你可以把图中的什么看作单位“1”？（2）可以把它平均分为几份？（3）可以表示这样的几份？（4）用分数表示是谁的几分之几？在学生兴趣盎然、思维活跃的情况下，充分挖掘画面中所提供的素材，说出：可以分别把10个苹果、12桶蜜、6只蜜蜂看作单位“1”，并能把每个“1”平均分成不同的份数，用不同分数表示的过程中自由选择自己喜爱的东西，充分展开思维的翅膀，独立思考问题。这样做不仅较顺利地将具体形象的事物转化成抽象的数学知识，而且培养了学生良好的观察力、注意力、丰富的想象力和创造力，从而调动了学生思维的积极性与主动性。
     现代教育要求教育者要培养出具有实践能力的复合型人才。而计算机不仅可以用来演示形象生动的画面，突出教学的重点，利用计算计辅助教学还可以培养学生动手操作的能力。我在教学《四位数的读、写法》一课时，在计算机上出示0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这几个可以在屏幕上可以随意移动的数，然后，我报出一个数让学生利用鼠标移动这些数，使它们组成老师刚才报的数。以前上课总是老师在操纵电脑，这回轮到他们操作，学生们感到十分新鲜，所以都跃跃欲试。这堂课不仅使学生在愉快、师生共同协作下完成教学任务，且融知识和技能于一体，学生的动手操作能得到了充分培养。
     由于多媒体的引进，使得课堂教学的形式多种多样。而多样的教学形式又常常为学生的创新思维发展提供了有利的条件。当今是一个信息化时代，这就要求教师要培养学生有收集信息、处理信息的能力。教师可以布置一些动手操作或与生活实际紧密联系的作业题，如有一次在学完《千米的认识》后，我就布置学生找一些有关“千米”这一长度单位的资料，结果有学生告诉我，教科书上说汽车每小时行40千米不全面，他在网上查找资料时看到有的汽车每小时可行80千米，还有的车速度更快。在学习《24小时计时法》前，我布置学生观察在哪儿看过24小时计时法，学生告诉我他通过看电视，了解到中央电视台新闻联播时每晚19：00开始；《大风车》节目是 18:00开始，有的甚至将它们列成时间表等等，学生都是通过多种媒体进行了解的，这样既拓宽了学生的视野，又培养了他们的创新精神。
四、运用多媒体，巧设练习、巩固新知。
     知识的掌握、技能的形成、智力的开发、能力的培养，以及良好的学风的养成，必须通过一定量的练习才能实现。所以，练习是学生学习过程中的重要环节。在教师的主导作用下，发挥计算机容量大，信息的检索、提供、显示及信息类型的转换方便迅速，信息传播速度快的功能优势，巧妙设计练习，激发学生“乐学乐做”的情感非常重要。因此，在教学中，应广泛借助多媒体为学生提供更多的练习素材，更多的练习和表现自己能力与成就的机会。同时，也为教师提供及时获得学生准确、真实的学习成效和学习态度及反馈信息的方法和途径。
     僻如在教学《角的认识》时，学生最容易犯“角的大小与构成角的两边长短有关”的概念性错误。为了克服学生这一错误的认识，我们运用多媒体自制一个CAI课件，很好地解决了这个问题。其做法是：在讲完《角的认识》新课后，反馈练习时，依次出示一组练习（1）根据屏幕上提供的各种图形（图中有的是角，有的是两条没有相交的射线，摆放的形式多种多样）判断哪些是角哪些不是角。结果98%的学生能准确判断；（2）接着出示一组两个大小相等而边的长短不相等的角和两个边的长短相等而大小不等的角的画面，要求学生判断每对角的大小。结果有些学生得到边长的角大这一错误的判断。这说明学生没有真正抓住事物的本质；（3）为了直观验证他们判断的错误，屏幕上出现了一个以黑色为背景的高亮度的角。此时教师提醒学生注意两条边长短变化时这个角的大小有什么变化。学生通过观察屏幕演示自己得出角的大小与边的长短没有关系的结论。这种非常直观的演示，为学生积极思维提供了丰富的素材，是其它手段所无法比拟的。学生根据观察，抓住了解决问题的关键，提高了学生解决问题的能力，达到了巩固新知的目的。
     电子计算机技术的发展与应用，特别是CAI课件（计算机辅助教学）的开发、研究和应用，引起教育技术的第四次革命。CAI课件在教学中的合理应用，对于提高学生的学习兴趣，激励学生主动参与学习的全过程，培养数学能力，发展智力以及突出教材的重、难点，提高课堂教学效率等方面都有积极作用。无论科学技术以何其迅猛的速度发展，只要“人类教师”更好地控制设计，操作使用“电脑教师”，“人类教师”的地位将永远不会被取代，现代化的教育手段必将推动教育改革的深入发展。
    由此可见，运用多媒体教学，不但能充分刺激学生的感官，调动他们的积极性，并能激发学生创造性的学习，发展他们的思维，培养运用知识的综合能力。

总之，利用多媒体辅助进行教学是教育改革实践中的一种新探索，不仅能调动学生的学习积极性，而且学生的数学知识、能力和思维等智力因素也得到发展。我们深信：教学改革伴随着多媒体手段的普遍运用，课堂教学效率将会不断提高，学生的整体素质将得到全面发展。最后，望各位教师在实践中能得出更多的心得与经验交流。

数学课堂管理与教学的优化 [学习经验]

发表于：2012-08-26 阅读：4次

新课标的颁发，我国基础教育进入了一个新的时代，教育思想和教育观念的发展要求教育的价值取向作相应的调整。随着课程改革的进行，对数学本质的认识进一步深化，“数学教学要以学生发展为本，要把学生的个人知识、直接经验和现实世界作为教学的重要资源。要进一步改变过于以传授知识为主，过于以接受学习为主，过于以学科本位为主的倾向。要进一步关心学生的数学素养的全面发展，关心学生的需求和发展差异，关注学习方式的多样化和探究性”。数学教育者必须对自己的教育对象作更全面的了解，对教育过程和数学学科特点作更深入的分析，才有利于调动教学中不同方面的积极因素，提高教学效率，培养学生的能力。本文从教育对象的心理特征、课堂教学与管理的策略、课堂教学中如何高效提问等三个方面来认识高效率的数学教学。

    一、教育对象的学习心理与高效教学

    （一）学习的过程是通过智力活动，以及推动和调控这种智力活动的动力因素来完成的。在数学学习中，一些学生不仅表现得聪明，而且整个学习活动富有进取性，最后能取得优秀成绩；另有一些聪明程度一般，但学习有毅力，善于自我约束和自我控制，对学习充满热情，结果能取得很好的学习效果；也有一些学生头脑灵活，但学习热情低落，注意力不集中，不能很好克服遇到的困难，学习效果不理想。这表明我们只重视知识的掌握和智力的发展是不够的，必须充分重视学生学习积极性的激发和主动性的调动，通过帮组学生建立一个积极的学习系统，使他们的潜力得到发挥，能力得到发展，学得有成效。简单地说，学习除了智力活动，还必须有心理因素的介入，才能有效进行。这种心理因素可以在学习活动中起着引导和推动智力活动的作用，并能够根据学习任务的不同增减其智力能量。它的功能大致有以下三种。

    1、激励功能 它起着激发学生学习热情的作用，使学生在学习中注意力集中，努力程度加强，以一种内驱力保证学生处于积极状态之中，整个学习活动得以展开并持久地进行下去。

    2、选择功能 它决定了学生对学习的反应倾向。如学习过程回避什么，喜欢什么，厌恶什么。

    3、调控功能 它使学生在学习活动中根据学习目标的具体要求，调控学习的行为。如注意什么，忽视什么，强化什么行为，制止什么行为。

    （二）如何在数学教学中激活学生潜在的积极心理因素，影响着学生学习的效果，决定着我们的教学质量。所以在教学中应注意：

    1、教学内容要体现知识的实际意义和应用价值。陈旧、空洞、抽象的知识和理论往往被学生心理排斥和拒绝，更谈不上激发学生学习的热情了。学生在学习过程中的被动，只能使学习效果大打折扣。现行的新教材的编写就体现了这一思想，每一章除了最后的研究性课题外，其开篇都有一个章节知识在现实问题中应用的例子。

    2、教学过程中创设问题情境。人们总是倾向于关注富于变化的、新奇的、能够引起认知不协调的事物。数学本身就容易使人感到单调，教学过程的平铺直叙、波澜不惊更使学生觉得枯燥乏味。教师在教学过程善于创设一种氛围，合理设置一些问题，使学生在学习过程中处于期待、困惑、愤悱的心理状态，才能有效激发并维持学习热情。如在函数概念教学中，可提问圆是否能作函数的图像，既避免了单一反复地对定义字面的强调，又使学生在问题中更深刻理解概念。

    3教学评价中正确运用奖励和惩罚。奖励能够给学生带来尊重、成就、自豪等的心理体验，从而有利于学生学习。但要注意 ①奖励的公正性，不能带上过浓的主观色彩，在奖励过程中过分奖励一部分学生，而忽视另一部分学生；②奖励的多样化，奖励作为积极的强化因素，形式应该多样。如较高的分数、赞扬的评语、亲切的微笑等都构成事实上的奖励；③奖励的针对性，对优秀的学生要求可严格一些，对学习困难的学生，可适当放宽一些，分情况采用教师直接奖励或来自集体的间接奖励。

    4、教学辅导中帮助学生科学归因。归因理论由美国心理学家海德（F . Heider）提出，韦纳（B . Weiner）等人又进一步使这个理论系统化。学生在分析自己行为的成败时常常用能力、努力、任务难度、运气等一些原因加以解释。韦纳从三个角度对这些因素进行划分，从学生自身来看，可分为内部的和外部的；从因素特性来看，可分为稳定的和不稳定的；从对因素的调控来看，分为可控制的和不控制的。同一个因素可以有多个角度的认识，如坚持不懈的努力是内部的、稳定的、可控制的因素。归因理论认为，学生本体的因素对成败的情感体验最为重要。将成功归因于努力和能力等内部因素时会感到满意和自豪；将失败归因于努力不够和能力不强时，会感到自卑和内疚。因素的稳定与否的特性会使个体对未来结果的预期有重大影响。当学生将成功归因于能力，就会对以后的成功抱有较高的期望。因素的可控制与否影响着个体以后的努力程度。积极、科学、实事求是的归因，有利于增强学习的信心，促进差生的转化，帮组学生调整学习方法，培养良好的学习品质。

    二、数学课堂的教学管理及优化的策略

    数学教学目标的实现，主要是依靠课堂教学的高效来完成。对课堂管理策略的研究，是提高教学质量的要求。从上个世纪六七十年代开始，这种研究一直方兴未艾。1970年，希尔伯曼提出以“开放”为特征的课堂教学模式，受到广泛的关注和支持。所谓“开放”，是指空间的灵活性，学生对活动的选择性，学习材料的丰富性，课堂内容的综合性。现在正在进行的数学课改也是以此为目标的。开放的课堂的学生具有更出色的创造性，教学任务的完成和教学目标的实现更为高效。因为“开放”形成一种氛围，有助于促进批评性的探究和自我指导的学习。这种课堂，给教师的教学和管理都提出了更高的要求。

    （一）良好的数学课堂管理应包括以下四个策略：

    1、数学问题、方法与思想的准备 对教师而言，对课堂可能出现的问题，需要的数学方法，蕴含的数学思想的假设和预见，是一种极为可贵的能力。这包括多角度认识教材内容，多方面分析学生的思维，预设多样的问题情境和考虑可能的异常情况。

    2、课堂意外情形的及时处理 课堂的全部过程都应该在教师的控制中，任何问题的发生都要有及时的应对措施，不能漠视和拖延。这些问题包括学生对所学内容与众不同的认识，老师在教学过程中的疏漏或错误，以及学生的一些不良表现等。

    3、适当的课堂容量和教学进度 保持一定的容量和进度不仅仅是教学任务的要求，从课堂管理策略来看也非常必需。如果教学安排过于缓慢，长时间停留在一个问题上，多数学生会越来越没有兴趣，以致无事可做。比如在一个简单的例题或纯粹的数值计算中花过多的时间都是不可取的。保持适当的进度对维持学生的热情很有必要，也使学生“没有时间做不相干的事”。

    4、积极的交流与良性互动 学生主动性和积极性的调动是课堂教学成功的要素之一。教师的一言一行，都不能让学生有被忽视的感觉，包括言语、表情、姿势，都必须为师生之间和谐交流服务。当有学生就某个例子有其他解法，或就某个知识点有不同的理解时，要用交流探讨的方式进行处理，鼓励学生积极参与教学。只有当学生与教师间的情感互动起来，学生对课堂的破坏性行为将大为减少，建设性行为相应增加。

    （二）任何一种课堂教学模式都不能到处套用，不同的内容，不同的对象，就应采取不同的形式，呈现不同的教学结构。但合理的课堂教学结构的创设，仍然有一定的规律可循。

    1、“问题”原则。数学的学习，是思维活动与发展的过程。“问题”是点燃思维运动的火花，是认知结构得以不断发展的源泉。就学习任务所提出的问题要处于学生思维水平的最近发展区，提问的方式要能够引起学生的兴趣，语言要有情趣，内容要有较丰富的直观背景，充分激发学生的求知欲望。

    2、发现过程的参与原则。在老师的指导下，学生主动去探索数学概念的形成，定理、公式、法则的发现过程。从传统听讲模式到把听讲与读书、研究、讨论、练习有机地结合起来。教师应精心设疑，置疑，适时调控，让学生处在猜想、类比、推测和解答的思维活动中。 

    3、归纳原则。整理归纳是知识反思内化的过程。数学教育家弗洛登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”要引导学生归纳整理各知识要点，并揭示它们在知识整体上的地位、作用，与其他知识的相互关系和结构上的统一性，特别要揭示出数学思想和数学方法。

    4、变式训练原则。为了提高训练效率，必须防止机械模仿，可采取一题多变，一题多解等方式开阔学生的思路。变式练习的思维要求是循序渐进，逐步提高思维强度。

    5、反馈原则。数学教学是信息交换的动态过程，对这个过程的控制，主要依据和学生的信息的联系。教师要根据制定的教学目标，采取观察、提问、练习、测验等手段，检查和评定学生的学习效果与制定的教学目标的差距，灵活及时调整教学环节。

    三、数学课堂的高效提问

    提问是最古老的教学方法，也是师生最重要的交流方式之一，每一位教育者都有引导学生去“真正理解，达到课堂进行目标”的愿望。侃侃而谈的律师，富有激情的主持，他们精彩的表现本质上是因为在他们的言语中有高效的提问机制。但并不是所有的提问都能获得高效的结果，例如我们的考试，实质上就是一组提问，但考试本身并不能提高学生的能力，只是对学生学习效果的一种考核，一种评价。作为教师，仅知道要在教学中提问学生，而不考虑如何有效提问，显然会使课堂教学僵化和低效。

    （一）提问的意义 

    提问本身不是目的，作为一种教学手段，必然为教学目标服务。①提问能帮助教师正确评价学生，了解学生对所学任务的理解和掌握程度，是否已经学会了指定的任务；②提问能帮助学生进入学习状态，集中精神，积极应用思维的技能去解决问题；③提问能保持教师的注意力，只通过讲授的方式去进行一堂课的教学，很容易产生的后果就是教师以自我为中心去重组教材和设计提问，常常假设学生能及时理解，很少有机会获知学生的错误认识；④提问能使教师依据学生的答案，提供即时的反馈，即教师依赖提问使学生理解问题及相关的所有要素，同时利用学生的答案设计新的问题，使学生趋向于真正的理解。

    高效的提问要求学生在每个问题上都表达自己的意见和理解，教师以各种不同的提问方式提高学生的学习。

    （二）高效的提问机制

    1、前面已经提到，优化的课堂具有“开放”的特征。当然，课堂上的提问也应该是开放的。这里的“开放”并不是指随意提一些问题，而是要求问题本身和问题的措辞在保证教学目标的前提下，尽可能地鼓励学生做更多的脑力活动。教师的注意力应多集中在学生回答问题时所反映的思维过程，而非问题的答案。如果提问的答案仅仅用“是”或“否”就可以表达，那学生的思维过程就大打折扣，甚至还可能完全不动脑筋。在这一点意义上，我们的提问问题要注意两个条件：①范围 问题的范围有关问题的可能答案的宽阔度，刚一起步的问题给予宽广的范围。如对函数的定义的认识，可以问“你是如何理解定义的？”或“你觉得定义强调了哪些条件？”而不是问“你怎样理解‘A集合中每一个元素’与‘B集合中都有唯一的元素与之对应’这两个条件的？”学生在回答开放性问题时，其答案有助于表明他们在理解问题上的智力水平如何。如果一开始教师的提问范围较窄，这也许能更快地引导学生进行教师期望的智力活动，但其后果是它们经常使教师忽视学生现有的水平。②目的性提问本身是教师期望从学生的回答中获得什么，尽管问题是开放的，也希望学生的回答具备“具体、正确和完整”的特质。有时教师的提问不能诱使学生寻求到答案，或学生的回答离教师期望太远，教师应要求学生回答得更完整或更合理，回到有效的提问过程中来。在处理用解析式变换求函数的值域的问题时，教师希望学生用方程思想看待函数解析式，但学生往往难于作到这一点，就要求教师提问时要把方程与函数的联系作一点解释。

    提问的一方面是教师想引导学生做出特别的反应、回答或理解，另一方面是教师不想牵着学生走，以致使学生失去大量进行思考的机会。由于所有的问题在本质上都有指向性，再开放的问题都不例外，故在高效的提问中，教师应寻求开放式问题与详细的、理由充足的回答之间的平衡。

    2、用提问的方式提高教学的效率，使得问题的类型和提问的顺序成为我们在教学中考虑的重要因素。根据布鲁纳的认知规律，知识的掌握包括①辨别发现；②比较联系；③解释综合；④应用实践；⑤整合小结（评价）这五个过程，这也是学生思维由低到高的发展顺序。第一步要求训练学生寻找重要的相关性信息，挖掘知识内涵，要避免叫学生注意细节和关注概念词汇本身；第二步是让学生建立各信息要素之间的联系，理解它们在同一个内容主体中互相联系的不同方式，应注意避免主动替学生解决；第三步是通过对知识的各组成部分的分析，懂得怎样将它们合成，不要急于提示学习内容的结果，必须保持范围的全开放性；第四步则相反，使学生在看到问题的全貌情况下，再进行拆分。前四步中的提问必须确保诱发学生产生的智力活动是正在学习的知识和内容所要求的，即要限制提“综合先前知识”和“与其他章节相联系”的问题。由于教师会自觉地将新旧知识结合起来，所以提问就可能经常超越即时内容的限制。如果学生偶然独立地建立了一个跨章节或学科的联系，却不应打击这种思维，而应该让他保留那些思想，因为没有人能够“关闭”旧知识。不受内容限制的问题能够也应该由教师来问，但关键在于什么时候问才能使学生获得最大收益，这是一个过程和时间问题。第五步的提问的综合质量或层次就应该最高了，甚至不再受内容的限制，以期完成新学知识的建构，新旧知识的整合。

    3、对提问本身的要求 ①提问题时态度应当积极或中立，应避免提问过程中的消极因素影响学生，包括语气、表情、甚至内容本身，它们会降低学生回答的渴望。如“难道我们以前没有讲过吗？”、“你怎么会得出那个答案？”②不要让学生逃避提问，要让学生明白说“我不知道”是不可接受的，不能作为不参与课堂和不努力学习的借口。学生一无所知的情况是很少的，多数情形是学生不完全理解问题，或不能全部正确回答，甚至有时是不愿意回答，这些都是不主动进行思维活动；③不使用鼓励尝试的问题。一是课堂中的尝试学习，会使成绩差的学生的“缺乏计划、无组织、没有因果逻辑感和学习中的马马虎虎的态度”的特点得到了强化；二是课堂时间有限，而尝试学习是一个较大的学习过程，容易教学重点淡化，目标模糊。尽管数学课程标准特别强调过程性目标，强调学生探索新知的体验，但重过程的目的是为了获得更好的结果，数学教学的重要目标之一就是让学生理解和掌握具有统一性的正确结论。课堂尝试的学习过程只会使学生对问题悬而不决，降低教学效率。

“超预期思路”在数学解题教学中的价值透视 [学习经验]

发表于：2012-08-26 阅读：13次

数学教学应立足于学生的主体性发展，这一建设性方向的首要表征在于数学创新意识的培养而一种教育理念从理论宣言的层面转化为实际的课堂教学行为需要一个过程。在这个过程中，一些不起眼的教学细节往往正是实现这种教育理念的绝好素材，但它却常常被有意无意地忽略，没有体现出其应有的价值。对待学生数学解题活动中的“超预期思路”，即属于这样一种情况。为使其潜在的教学价值得到有效的张扬，本文旨在结合 自己的教学感受作些探讨和分析。

    一、“预期思路”与“超预期思路”

    就一般的解题教学而言，教师总是先由自己的解题活动达到对问题的总体认识与把握，这也往往被视为衡量教学能否高质量完成的一个先决条件。在此环节中，教师已经形成了一种或数种解题的预定思路。教学中，也就希望学生能够沿着这条预定思路顺利地解决问题，因为师生的这种和谐与默契常常被视为成功教学的一个重要标志。 由此，无论是问题启发引导的方式，还是解题程序的展开过程，抑或是时间的规划序列，都是据此组织设计的。我们不妨将教师的这种业已形成并希望在学生的后续解题活动过程中再现的思路称为 “预期思路”。与之对应，将学生解题中出现的偏离教师预设“航线”的思路称为“超预期思路”。

    众所周知，学生的学习过程是自主建构知识 的过程。由于个人知识经验背景及潜能的差异，会 形成各具特色的具有个性特征的知识结构。因而， 对同一数学问题出现不同的心理表征、产生不同 的解题思路实属正常现象。甚至在一定程度上来 说，这种超出预期的思路是必要的，它常常成为创 造潜能得以发挥的动力源。从教学的角度来说，它 往往又是教学充满生命活力的“添加剂”。相反，一 切都按预期的思路进展，谁也逃不出“如来佛的手 掌心”，这种毫无悬念可言的解题教学能有多少活 力倒是值得怀疑的。

    总体上来说，对待学生的超预期思路基本上存在两种教学方式：一是针对具体情况，因势利导，将其作为拓展解题途径的有利资源。但由于超预期思路往往具有一定的粗泛性、片面性、难以预测性，教师可能会担心教学的“低效率”。二是将其视为不和谐的“噪音”，想方设法加以消除，以便引导到预期的思路上来?但超预期思路有时又不乏精彩见解，或“奇思怪想”映衬下的首荡精神，处理不好，很容易挫伤学生的自尊心。显然，这里涉及到教学的机智问题，任何简单粗暴的处理方式都有违解题教学的精神。那么，超预期思路到底有多少可以利用的教学价值，在哪些方面存在着发展的余地和契机呢？

    二、学生超预期思路的教学价值及处理机智

    应该说，教师的预期思路反映了解题的一种成功思路，就教学的经济性而言，正应是学生选择的解题途径。但从另一个角度分析，教师预期的思路以一种权威的姿态使解题教学始终在一个因循的圈子里徘徊，可能会压抑创新精神的张扬。相反，学生的超预期思路即便有时是错误的，却反映了学生的真实思维状态，至少可为教师提供许多不曾料到的信息资源。

    1、捕捉独特性思维特征 建构灵活性知识结构

    个体的知识结构是在主动参与的数学活动过程中自主建构的结果，而且随着认识的不断深化，逐渐得以丰富与发展。解题的主要目的之一正在于促成良好知识结构的形成。学生的超预期思路往往更能揭示当前认知发展中的独特状态，这种独特状态可能正是学生思维发生障碍的关键所在，也可能是对问题的片面或错误理解，或者是从另一个角度所作的创造性思考。无论哪种情况，都能使教师透析出解题背后所映衬的知识组织的质量和效率。注意捕捉学生的这种独特性思维特征，不失时机地加以点化，非常有利于学生建构、拓展灵活而宽厚的知识结构。

    一般来说，学生知识结构的构建过程必须经历三个不可缺少的环节：

    （1)自主活动；

    （2）智力参与；

    （3）个人体验

    学生的超预期思路正好体现了这三个环节的特征。教师要做的则是首先承认超预期思路的合理性，并创造机会使这些思路展示其本来的面目。如果学生的超预期思路是基于独特创造的精彩见解，那么很易得到教师的首肯，并作为一种解题的创新途径加以推广，其自身的价值也就顺理成章得以升华。但当超预期思路是一种错误理解或是一种暂时难辨真伪的模糊表征时，教师多半会流露出不耐烦的情绪，倾向于采用简单否定的处理方式。岂不知这样就失去了一次识别学生对知识理解、概括程度的绝好机会，也就丧失了引导学生进一步建构良好知识结构的机会。其实，错误或模糊的超预期思路正反映了学生当前的认识冲突，或知识迁移上的障碍所在，教师完全可以将其作为衡量学生发展状态的一个参照系，作为洞察、开发、利用学生发展潜能的有效工具。比如，学生对某个概念的概括水平，对某个定理的理解程度，对某些知识关系的把握状况等。根据反馈的这些情况，找出某些错误的“合理性”，及时沟通、点拨，激发学生的思维进人“不平衡”状态，在由冲突走向和谐的过程中，使学生认识上获得质的飞跃。由于找准了学生知识理解的一些症结所在，由此引发的一些思考，远比正面的反复强调来得深刻、有效，在此基础上进行的知识建构是能够灵活加以迁移的。

    2、营造开放性教学环境发展高层次思维能力

    镶嵌着明显个性特征的超预期思路汇集起来，可以组织成一个开放性的教学环境一个问题的标准答案可能只有一个，但思考途径却是多种多样的，解题教学应提倡这种多样性。每一个学生要发展创造性思维、批判性思维及反省性思维等高层次思维能力，他就应该从更多角度看问题，感受更多的问题情景。因此，让学生敞开心扉、各抒己见，将自己真实的解题思路及想法说出来，形成一个充满对话、交流甚至辩论、争执的开放性情景，完全有实施的必要和可能。别人的不同思路可能正是自己应该开发而尚未发现的盲点，而自己的思路也可能成为他人关注的焦点。由此看来，预期思路与超预期思路在学生的发展上并无轻重、缓急之分，他们的差异仅仅体现在教学的价值取向和教学环境的开放程度上。

    开放的教学情景“重在参与”，参与的最大收益在于获得发展。解题中学生的高层次思维能力唯有在这种开放、宽松的自由和谐环境中方能有效获得。研究表明，富有创造特质的学生往往因教师不能理解、支持其思想而隐藏自己的观点和想法，从而使其创造性品质受挫。开放的情景本身就意蕴着对学生创造性思维的认可。而在学生各自提出自己的解题思路，毫无顾忌地彼此评价、沟通、判断，并对错误思路进行审查和纠正时，必然需要进行自主而积极的批判性思维。此外，与认识错误相伴随的思考，主要是逆向的、反思的，解题同伴达成某种程度的默契，自然也要反思自己的成功与失败，这无形中提高了自己的反省性思维能力。总之，在开放的教学环境中，每个学生都有机会展示思路，训练、发展高层次思维能力。

    3、创造相关“过程知识”培养自主学习意识

    教师在解题教学中常常产生这样的困惑：多次反复强调的范例性解题方法，学生却总也难以灵活的应用。调查表明：其根本原因在于，以模仿、诵记为主获得的解题方法，缺少“过程知识”的支撑，难以迁移到新情境中去。这里的过程知识是指个体在自己的解题活动中获得的一些只可意会、不可言传的潜在个性化的知识。其中既有成功的体会、也有失败的感受。由于这种过程知识融人了个体特定解题活动场景中的特定心理体验，对解题者本人而言是鲜活的、有生气的。超预期思路的可贵之处正在于蕴含着相关的过程知识。教学中要善加引导和利用，帮助学生恰当表征过程知识，使学生逐渐将不够精确的过程知识升华为知识网络的一部分。这要通过对学生的超预期思路进行分析和反思，指出其思路中的可圈可点之处，启发学生将那些难以说清的过程知识用一些特殊的符号，如概念图式、关系网、类比码等形象地表征出来，以丰富学生的解题“知识库”。

    如果将学生产生超预期思路所获得的过程知识给以足够的重视和鼓励，学生会自然生成一种成就感、满足感，也就容易意识到：

    （1)解题应该就是自己的活动，自己调整认知心向，发掘和利用智慧潜能，大胆地作出猜想、再创造，只要是自己付出的，就应当是有所收获的，没有绝对意义上的解题失败者。

    （2)自己形成的解题思路，就应当有与之相应的“合理性解释”，敢于承担起为之辩护的责任，成为一个有主见的解决问题者。

    （3)解题同伴（包括教师）并无过人之处，大家不过是各自在自己所走的路上创造属于自己的过程知识。

    思路也许有优劣之分，但体验却没有多寡之别。自信与自尊不是靠别人的施舍与怜悯，而是在自己的自主活动中产生的。这些感受靠教师的言语启迪显得苍白无边，但要经过学生的亲身体验和感悟，则显得自然而然。对学生超预期思路的恰当展现，就能有效地形成主动学习的意识和自主判断的能力。

    推崇解题中学生的超预期思路，并不是无原则的、不加区别地一味认同和放任，而应当根据具体情况进行艺术性处理，尽力使各种超预期思路所具有的价值体现出来。解题活动好比一个各自组织的混沌系统，超预期思路的展现会使活动成为一个“无序”的混乱状态，解题教学的机智化处理可以达到“有序”的境界。

浅谈数学教学中“读书”的思考 [学习经验]

发表于：2012-08-26 阅读：13次

数学教学过程是一个不断变化发展的过程,其中人的因素起决定性作用 ,它不是一种机械运动,不可能有一种统一的操作方法,因此教学方法、教学环节可以有各种派系、各种模式，势必“知无不言 ,言无不尽 ,共同探索”。同时在不断的教学实践当中, 立足于培养和发展学生的各方面能力，在教学过程中总结出“读书、联想”的做法。

其一,读书。

读书有三道：眼到，口到，心到。

教科书是教师传授知识的依据，是学生获得知识培养能力的主要源泉。现在中学生毕业以后，如若考不上的，也有大部分靠自学成材，即使升学，也要具备相当的自学能力，才能很好完成学业。同时在中学阶段要发展知识培养学生能力也必须从培养学生阅读能力入手，养成独立思考自学探究的习惯。这样既可以为教师讲解打下基础，又可以弥补教师讲课不足。教师在教授知识时，不仅要把知识的精髓教给学生，而且还要教会学生看书，指导学生阅读方法，养成学生良好的读书习惯。只有学生看通弄懂了教材，熟悉有关数学语言，懂得了定义、定理、性质、法则、公式的真实意义，才能掌握知识，运用知识。

培养学生的阅读能力应该从低年级就开始。目前中学生读数学书存在着以下几个问题：

（1）不看书，教学课本仅作为抄习题、练习之用。

（2）看书，一晃而过，像看小说、连环画，不思考，不探求。

（3）语文水平低，语法结构不清，读不通。

（4）数学语言、数学词汇难懂，障碍多，读不懂。

（5）兴趣容易转移，易受外界干扰，持久性差。

针对以上情况可以采取以下方法：

（1）初中一年级学生重点应放在培养读书习惯。可以在课堂上由教师带领阅读，分析章节内容，扫清文字障碍，难以理解的数学名词或句子，可先作一些解释。

（2）学生初步养成阅读习惯后,可以把读书分成两个阶段:讲前预习,讲后阅读。讲前预习可以不用要求太高,也可指定范围,要求学生通过阅读对教师所要讲的内容大体了解,将难懂的地方用铅笔做上记号,以便教师讲授时,集中精力听讲。讲后阅读重点放在独立思考上,根据课堂讲授与书本内容两相对照,弄通、弄懂各种数学概念,该识记的定义、定理、公式、性质,就要下功夫记,既要动脑子又要动手,重要的难懂的定理和例子,要亲自动笔推证和演算。通过讲后阅读还搞不懂的问题再用铅笔做记号,也可请同学或老师帮助解答。当然对于初中学生,每次阅读时间不宜过长。

（3）根据教材的不同内容和各年级的特点,教师要帮助学生辨析数学用语、数学名词和数学符号,如“提高了”和“提高到”、“都不”和“不都”,“或”、“且”和“当”,“仅当”、“当且仅当”,“有”、“仅有”、“有且仅有”，“至少”、“至多”，“不超过”、“不低于”等。对难懂的长句子要帮助学生找出句子的主要成份和附加成份。还可引导学生把数学语言翻译成数学式子,或把数学式子用数学语言叙述。

（4）指导学生通过阅读写提要,在教材上划着重点（找重点）,写批注，添补内容（如补图形、补步骤、扩张概念等）。

（5）引导学生阅读时注意数学结构，分清定义、公理、性质、法则、定理，推论的内涵和外延，弄清逻辑关系。

（6）强调学生阅读时注意教材中数学语言的严谨、简练，注意例题的格式，要求学生以课本上的规范纠正自己作业中的错误。

（7）考试时适当考一些课本中的数学概念或常识，以提高学生看书的兴趣,达到督促的目的。

二、联想

培养能力，必须基于培养学生的思维能力，如逻辑思维能力、空间想象力、抽象思维能力等等。简单地说，就是要培养学生的想象力。爱因斯坦说过：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界一切，推动着进步，而且是知识进化源泉”。要培养学生丰富的想象力，首先从培养学生联想能力入手，因为它比较具体、直接。培养学生联想能力，大致可分以下几种类型：

（1）类比联想。所谓类比是指同类的比较和类似的比较。要比较，就要联想。

通过类比提高想象力，加以分析归纳，再进行抽象思维，寻求规律性的东西。数学中类比是比较丰富的，如代数中的二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式和二次函数，以二次函数为最基本，二次函数的零点（y=0）、正数值(y>0)、负数值(y<0)与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集紧密联系，可以通过二次函数的深入研究，综合其它相应的主要内容，让学生联想比较，既便于记忆，又便于了解它们的相互联系。再如平面几何中全等三角形的判定，与相似三角形的判定，也可以进行“类似”比较。

（2）形数联想。数学中形数之间关系是彼此相依的，要启发学生用“数”来巩固与研究“形”，利用“形”巩固研究“数”。讲函数时，一定要强调学生记性质、想图形，画图形、想性质；对于不等式、方程一类的问题也要强调学生形数联想，利用图解。

（3）结构联想。数学结构是数学知识中心和灵魂，如果搞不清数学结构，学生知识是支离破碎，以单元进行教学，每个单元的数学概念、定义、法则、性质、定理、推论等等可以自成体系，学生可以融会贯通；启发学生，对概念问题想定义，计算问题想法则，推证问题想定理。引导学生结构联想也要注意年级特征，如初一年级有理数概念，只作描述来下定义，重点放在法则上，可启发学生看例题想法则，对照法则看例题，作习题想法则，对照法则想习题。又如平面几何中要强调学生根据每一单元的公理、定义、定理的逻辑关系，综合分析以结构为中心把知识系统化。

（4）新旧联想。数学教学中必须注意新旧知识之间联系，只有温故才能知新。如讲解用求根公式对二次三项式的因式分解时，就应引导学生回忆联想用乘法公式和十字相乘法等对二次三项式的因式分解，这种平行的新旧知识对比，加深了对新知识的认识。

总之,在教学中,要教会学生怎样读书,引导学生进行联想,善于发现各个问题之间的联系,揭示问题之间联系的规律,有利于开拓学生的智力,培养学生的逻辑思维能力,从而提高教学效果。

数学教学中非智力因素的培养 [学习经验]

发表于：2012-08-26 阅读：4次

    在教学中发现，差生中的绝大多数智力并不差，可见决定差生的因素往往是非智力因素。所谓非智力因素，是指学生学习积极性方面的因素，例如动机、兴趣、情感、性格、意志、习惯等。因此在教学中，在启迪学生的思维，开发学生的智力，培养能力的同时，还必须把非智力因素的培养融于教学之中，把培养学生非智力因素作为学科教学的目标之一。下面谈谈我在教学中结合教材内容、培养学生的非智力因素的一些做法。

一 、用典型事例教育学生，培养学生良好的学习意志。

    意志是非智力因素的重要方面，学生良好的意志品质，对其智能的发展是有强化和推动作用的。教学中，有目的地不断用榜样言行生动范例教育学生，培养学生顽强的学习意志，例如讲华罗庚、陈景润等我国著名数学家的事迹及成才的故事，指出他们之所以能登上数学的高峰，是因为他们具有锲而不舍的坚强意志，教育学生学习科学家的可贵品质，培养克服困难的毅力，勤奋而顽强地学习。教学中给学生提供独立活动克服困难的机会，教师积极启发诱导，通过学生自己的努力，独立探索克服困难的方法和途径。同时注意培养学生的自我控制能力，初中生思想不稳定，兴趣容易转移，上课容易分心，在课堂上不断以目光、表情、手势以及声音的变化或者作必要的停顿来警示他们，使其感到自己始终置身于老师的关注之下，从而自觉控制自己的注意力。部分学生依赖性强，不爱动脑筋，抄作业，教育他们认识到做作业是自己学习过程的真实记录，是对所学知识的巩固。独立完成作业虽是长期的艰苦的事情，但对学习有利，让他们明确要善于控制自己的不良行为，在认真复习的基础上，“强迫”自己去独立完成作业，养成良好的自控力。

二、激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。

    “兴趣是最好的老师”，浓厚的学习兴趣可使大脑处于最活跃状态，增强人的观察力、注意力、记忆力和思维力。结合课本内容适当介绍一些古今中外数学史或有趣的数学知识，激发学生的进取和求知欲。注意编造教学内容的趣味性、探索性和应用性，例如讲列方程解应用题时讲一讲古希腊数学家刁番都的故事。讲距形时，自制平行四边形教具，利用平行四边形的不稳定性，将一个平行四边形变成有一个直角的平行四边形。通过演示观察，提出如下问题，让学生争议、探索：在四边边长不变的情况下，平行四边形在变动中成为一个怎样的图形？平行四边形的什么发生了变化？（角），什么没有变化？（边）。矩形的定义是什么？它是什么四边形的特殊的一种？除具有什么图形性质外，还具有怎样的特殊性质？一连串问题激发学生主动去思考、探索。讲两圆的位置关系时，利用直观教具，用运动的方式，让学生看到两圆外离——外切——相交——内切——内含的变化过程。从而归纳出两圆之间的五种位置关系，增强了直观性。

三、手脑并用，培养学生的动手操作能力。

    现在的初中生，由于家庭条件较优越及家长的包办代替，动手能力较差，这给数学的学习带来了障碍。在教学中让学生动手操作，制作教具，在完成操作过程中将直觉思维上升到抽象思维。例如讲三角形内角和定理时，让每一个学生先准备好一个硬纸做的三角形，在课堂上让同学们都把这个三角形的两个角剪下来，再和第三个角拼在一起，就成为一个平角。这样，就能很快地找到定理的证明思路。再如在研究三角形全等的判定方法时，指导学生动手画图实验，分别剪两个有两边夹角、两角夹边、三边对应相等的三角形，通过比较，启发学生自己总结出判定定理。通过让学生多参加实践活动，制作教具，实物在手，看得见，摸得着，对它们的特征记忆深刻，既活跃了课堂气氛，又开拓了学生的思维。

四、加强学法指导，培养良好的学习习惯。

学生获得知识和能力是在学习行为过程中实现的，一定的学习行为，重复多次就会形成一定的学习习惯，养成好的习惯会使人终生受益。而不良习惯会严重影响学生的数学学习，阻碍学生数学素质的全面提高。因此，只要学生想学是不够的，还必须“会学”。要讲究学习方法，提高学习效率，变被动为主动。在教学中，重视加强数学学法指导，主要采取以下做法：

1、预习方法的指导。

    预习是学生自己摸索、自己动手、动脑、自己阅读课文的过程，可以培养学生的阅读和自学能力。课前要布置预习提纲，让学生先通读课文，然后细读理解大致内容，自定一些“划”和批的记号，在课本上把关键句、重点词、概念、公式、定理划出来，使他们养成边读边划边批边算的习惯。

2、听课方法的指导。

    听课方面要求学生上课做到 “一专三动”，即专心听老师对重点难点的剖析，听例题解法及思路分析、技巧等。勤于思考，积极举手发言，敢于发表自己的见解。认真做好堂上练习，认真听老师讲评及课后小结，积极动脑、动手、动口参与教学活动。

3、总结归纳复习方法的指导。

    在进行单元小结或学期总结复习时，引导学生对所学过的每个知识点、每章节的内容加以综合归纳，注意知识的新旧联系、知识的前后联系、知识的横向联系，写出简明小结，使知识系统化、条理化、专题化。有选择性地解一些各种类型和档次的习题，使学生掌握各类题的解题规律和方法，巩固所学内容。

4、培养学生“准加快”的计算能力。

    数学是运算要求高的学科，运算能力是学生应具备的基本能力之一。学生在小学阶段应用心算较多，而在初中数学中，相应运算的难度、运算的步骤都有所增加，运算中常出现由于心算不笔算带来的错误，一步出错，步步错。有些学生常常“看”题而不算题，懒动手，长此以往，做题速度减慢，导致能力下降。教学中首先得重视运算方面的训练和指导，用练习或考试中出现的错例教育学生，使其感到丢分丢得“心痛”，让学生笔不离手，计算时动手打一下草稿，把心算和笔算有机结合起来，能大大提高运算准确度，减少失误。其次应加强运算的限时训练，如进行5分钟测评，提高运算速度，培养学生好的运算习惯。

总之，在搞好教学改革的同时，也要注意学生的非智力因素的培养，调动学生的数学学习积极性，使学生掌握科学的学习方法，养成独立获取数学知识的本领，全面提高学生的数学能力和素质。

高中数学教科书中应用问题初探 [学习经验]

发表于：2012-08-26 阅读：18次

－、数学及其应用

数学是研究空间形式和数量关系的科学。当代数学能够处理科学中的数据和观测资料，进行推理、演绎、证明，可提供自然现象、社会系统的数学模型。

数学的特点：高度抽象性、逻辑严密性、应用的广泛性。

随着社会的发展，数学的地位日益提高，应用越来越广泛。它是人们参加社会生活、从事生产劳动和学习、研究现代科学的基础；它在培养思维品质，提高思维水平方面发挥着特有的作用；它的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。

１９５９年５月，华罗庚教授在《人民日报》发表了《大哉数学之为用》一文，精彩地叙述数学在“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁”等各方面的应用；进入九十年代，中国科学院数学物理学部在《今日数学及其应用》（王梓坤执笔）一文中，对数学及其应用进行了酣畅淋漓的论述。正如该文的第一句话：“本文的目的是双重的和互补的：一是论述数学在国富民强中的重要意义；二是通过近年来数学在我国的许多应用来证实这种意义的真实性，从而希望提高人们对数学的认识。”

数学科学的发展对数学课程教材的建设起着至关重要的作用。

二、数学课程改革中的“应用”

近年来，数学教育界内的“问题解决”、数学建模等无一例外地把应用提高到一个非常高的程度，因此，正确理解“应用”就成为一个非常重要的问题。

对于“问题解决”、“大众数学”、“数学建模”、 “应用”等等，对于使数学课程“贴近”实际，历史上已作了许多讨论。事实上，理论与实践相结合是数学课程教材改革的重要目标之一。在两千多年前，数学教育就存在着着眼于实用和训练思维的两大目标。今天数学的内容大大地丰富和深化了，实际应用和训练思维的涵义也大大拓展了。归根到底，数学教育的目的除思想教育方针之外，仍然是这两个目标的结合。数学就自身发展来说，始终是理论与实践密切结合一门科学。

综观数学教育史，我们不难发现，数学教学总是具有很强职业成分，只是随着中学和大学的学院化，数学和现实的联系才被忽视，但是如何人教“应用”和运用“现实生活”例子为数学教学服务仍有待研究。应用在数学教学中可以有许多解释，有些人为的，非现实生活的例子，也可能有重要的教育价值，能养成学生应用数学的技能，不能一概否定；还有一类传统的例子是过分“现实”的，是直接从职业中拿出来的，如储蓄、税收等，这就有一个谁的“现实”的问题。这些例子只是社会的一些特殊需要，不足取。就算排除了这类实例，还会有多种形式体现“应用”。比如，守门员如何占位才能缩小对手的射门角度？这些问题把数学与实际情境联系在一起，对一些学生有吸引力，但并不是真用数学解决问题，没有哪个球员会这样去计算他们站立的位置。数学的应用主要不在于这样的“应用”，更重要的是，这种“联系”不可能总是结合学生的“现实”的，正如卡尔松说的“现实是主体和时间的函数，对我是现实的，对别人未必是现实的，在过去是现实的，现在不一定再是现实的了”。可见要使课程有“应用”性是既复杂，又有待长期解决的问题。

前面说的都是用来为数学教学服务的“现实”例子，当数学为现实服务时，情况就完全不同了，它是完全不同的一种例子，它是用数学去描述、理解和解决学生熟悉的社会现实问题，这种问题不仅有社会意义，而且不局限于单一的数学，还要用到学生多方面的知识。

著名数学教育家弗兰登塔尔曾对数学教学表示了忧虑，他认为，数学教学应讲授从丰富的现实情境中抽象出这些结构的数学发现过程。学习是指形成这种系统化的数学活动过程，而不是系统化的最后结果。因为系统化的最后结果是一个系统，是一个漂亮的封闭系统，甚至封闭到没有入口和出口……学生所要学习的不是作为一个封闭系统的数学，而是作为一项人类活动的数学，即从现实生活出发的数学化过程。如果需要，也可以包括从数学本身出发的数学化过程。学生应该形成一个相对开放的系统，至少是一个既有入口又有出口的封闭系统。

“问题解决”恰恰反映了“入口”和“出口”问题，即从现实情景（“入口”）出发，这里所说的现实情景，既包括客观的世界和现实的生活，又包括学生的数学现实。事实上，这是应用的一个非常重要的方面。所谓“出口”，是指数学知识应用到现实情景中去。我们所说的应用，不仅仅是解决出口问题，更重要的是解决入口问题，即从现实情景引入数学，让学生随时随地都感到数学就在我身边。

我国的一些数学教育工作者提出的“掐头去尾烧中段”与“入口”和“出口” 的观点可以说不谋而和，他们都强调数学学习的一个完整过程，要了解数学的来龙去脉。

强调数学应用现已成为各国数学课程教材改革的共同特点，在数学课程、教科书中更加重视应用。在处理数学内容时，更多地遵循“实际问题→数学概念→实际问题”这个模式来展开。许多教科书面向现实，数学知识的引入以阅读材料的方式出现。这些材料内容广泛，形式各异，图文并茂，有生动具体的现实问题，有让人着迷的数学史，有发人深思的悬念，也有尚未解决的各种实际问题，还有现代数学及其应用的最新发展等。教科书中每节后，还安排大量与现实世界结合并带有挑战性的问题，供学生讨论、思考和实践，并对每一问题在题首注明数学知识被应用的领域（例如天文、建筑、管理、经济、物理、化学等），让学生充分感受数学与其他学科和科学之间的联系。

总之，数学教育改革中对于应让学生认识有关知识的来龙去脉已形成共识。

《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》（以下简称《大纲》）进一步突出了理论联系实际，加强应用。“培养解决实际问题的能力，并逐步形成数学创新意识”是高中数学的教目的之一。

解决实际问题的能力是指：会提出、分析和解决带有实际意义的或在相关学科、生产和生活中的数学问题；会使用数学语言表达问题、进行交流，形成用数学的意识。

数学创新意识主要是指：对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，不断追求新知，独立思考，会从数学的角度发现和提出问题，加以探索和研究。

《大纲》在“教学内容和目标”“教学中需注意的几个问题”等处，对应用数学知识解决实际问题只做了原则性的说明。《大纲》中规定的教学内容和教学要求由教科书、教师的教学、学生的学习等多种渠道来体现，教科书如何更好地贯彻大纲中的“应用”，对编者来说，有一个再发现、再创造的过程。

我们认为，数学应用不仅包括人们常讲的用数学的结论，用数学的方法，用数学的思想，还包括用数学的语言，用数学的观念，用数学的精神。因此，强调数学课程教材中的应用，并不是仅仅通过“增加一些有用的数学内容”，，“在例题和习题中增加一些应用题”，而是要在教材设计、编排体系等方面做更深层次的考虑。

三、高中数学教科书中的“应用”

下面以《全日制普通高级中学教科书（试验修订本）数学第一册（上）为例》，对“应用”进行具体的分析：

1．教学内容的选取

知识点：函数的应用举例。实习作业。等差数列及其通项公式。等差数列前n项和公式。等比数列及其通项公式。等比数列前n项和公式。

研究性课题：数列在分期付款中的应用

教学目标：

能够运用函数的性质、指数函数、对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

实习作业已函数应用为内容，培养学生应用函数知识解决实际问题的能力。

理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。

理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。

毋庸讳言，现在的数学教科书主要是以数学知识为中心，进行教材的设计；数学的组织基本上以数学学科的内在逻辑顺序为主线。

2．教学内容的处理

（1）　正文：“2.2函数一节中”

例5　 在国内投寄外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g 付邮资160分，依此类推，试建立平信应付邮资（单位：分）的函数关系，并画出图象。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

这是几乎每个人在现实生活中都会遇到的问题，也即现实情境（问题情境），建立函数关系式（数学模型）：

当邮寄35g的外埠平信时，从图象中可以看出，应付160分的邮资（应用到现实情境中去）。

这是一个比较简单的“数学建模”过程：问题情境→建立模型→解释与应用。可以说，在一定程度上，“数学建模”使应用更现实化。学生看到数学如何才能应用到真正的“现实生活”问题中，并且渴望获得进一步学习的动力，会自然地寻找“数学建模”的机会。

在解决实际问题中，“会使用数学语言表达问题、进行交流，形成用数学的意识”是应用的一个重要的方面。从上例中可以看出，在建立数学模型的过程中，自然经历自然语言、数学语言（函数关系式）、图形语言（函数图象）相互转化的过程。

(２）阅读材料 自由落体运动的数学模型

该阅读材料结合典型事例，详细地介绍了数学模型的概念、数学模型建立过程，以及利用数学模型方法解决问题的基本步骤。

（３）研究性课题：数列在分期付款中的作用

研究性课题主要是指对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活和其他学科中出现的问题进行研究。充分地体现学生的自主活动和合作活动。研究性课题应以所学的数学知识为基础，并且密切结合生活和生产实际。可以师生自拟课题。提倡教师和学生自己提出问题。

四、应注意的几个问题

（一）应用的层次性

单就出口而言，有以下几个层次：

1．在数学学科本身的应用。

由于数学学科本身具有逻辑严密的特点，前面知识的学习为学习后面的知识做准备。换句话说，前面的知识要应用到后面知识的学习中。

2．在其他相关学科的应用，特别是物理及工程技术中的应用。

3．应用到现实情境中去

由于高中学生学习的知识毕竟还是有限的，他们用数学知识解决的现实问题，与应用数学家所面临的现实问题相比，充其量是个“准数学问题”，至少是“半数学化”的问题，是一个经过人为加工的“数学半成品”。

4．发现问题、提出问题、分析问题、解决问题这四者之间，能够发现问题、提出问题，这是要求最高的。能够解决已经“数学化”了的问题，对学生来讲，是个技能化的过程。而能够发现问题、提出问题、分析问题则是一个能力问题。

5．数学语言的灵活运用是应用的最高层次，特别是自然语言、数学语言、图形语言的相互转化，以及用数学语言进行交流。

（二）应用与基础知识的关系

对高中学生来讲，掌握数学的基础知识应该是教学的首要目标，应用是以掌握数学知识为前提的。应用不仅仅是目的，更重要的是过程，即我们不仅要使学生树立起数学应用意识，认识到数学的广泛应用性特点和应用价值，具备应用数学解决实际问题的规律性认识和操作性能力，而且还要切切实实让学生在应用数学中掌握基础知识和数学方法，学会使用数学语言，并受到数学文化的熏陶。很难想象，没有扎实的基础知识，谈何应用？

（三）应用与计算机（器）

计算机（器）的普及，为数学的应用提供了先进的计算工具，更便于处理实际数据，使应用问题更加真实，切合实际；良好的演示平台，使数学应用有了广阔的空间，计算机能够把静态的变成动态的，把抽象的东西具体化，直观化，使人们的思维能够得到一定程度的延伸。

（四）从数学学习和数学活动看“应用”

数学不同于其他自然科学，它具有逐级抽象的特点。从客观实际、现实世界中的抽象只是数学的低级抽象；脱离具体事和物的数量关系和空间形式的数学研究的对象是数学的高级抽象。高级抽象是在低级抽象基础上的进一步抽象，它的研究对象是一种形式化的思想材料，是经过人加工了的思想，是人对自然界的概括和认识。数学的逐级抽象性的特点，说明了学生学习过程中思维发展的不同阶段和水平，因而数学的学习活动也是分层次的。学习的最低层次是数学的组织：通过学生自己的猜测、探索，从现实问题情景中提炼数学问题，发现问题及其规律，对问题有整体理解，这是学生数学地组织经验材料的活动层次；学习的第二个层次是将数学问题组织成原理，并用数学语言模式去描绘原理。即通过对脱离具体事和物的数量关系和空间形式的数学研究，构筑抽象理论意义的数学原理。这是学生组织经验领域的活动，是进一步抽象概括数学材料并提炼数学原理的过程；第三个层次是数学原理的验证、推广阶段。如果说前两个层次是“发现”原理的过程，那么这个层次就是验证推广的阶段。验证的过程实际是将“发展”的结果演绎推理的形式系统化、逻辑化的过程；最后一个层次是反省上述学习过程，将抽象结果应用于实际，用以指导现实生活。此层次的反省活动，是对前述认识过程的进一步认识，是对前述学习过程的反思，对整个学习过程起到调节和监控作用。斯托利亚尔认为，数学活动可分为三个阶段：经验材料的数学组织化、数学材料的逻辑组织化、数学理论的应用。这三个阶段构成了学生学习活动的完整过程，忽视甚至丢弃哪个阶段的做法都是不对的。学生亲自感受和经历“发现”数学的过程，也就是数学再创造的过程，唯有以再创造的方式进行数学学习，将知识的发生发展过程理清，才能在数学上向趋向成熟的下一阶段迈进。传统的数学课程只是按照以形式化了的现成的数学规则去操作数学。现在的数学课程强调了经验材料的数学组织和数学的应用。

“应用”是一个非常大的话题，不但是课程教材改革的问题，而且还涉及教学、学习、评价（考试）等等。笔者认为，“应用”最主要的是教学思想的问题，即在教学中培养学生的应用意识，从“出口”着眼，从“入口”着手。课程教材和评价（考试）只是培养学生应用意识过程的一个必不可少的环节，更重要的是要在平时的教学中去实现。