从课程标准看高考数学复习 掌握方法触类旁通 [学习经验]

发表于：2012-08-26 阅读：13次

从事数学教育工作三十余年，高三毕业班也教了十六届，我倡导和推行“递进式”和“数学方法论”学习法，即“梳理知识，夯实基础，掌握方法，触类旁通”。只有把数学知识点娴熟于心，才能掌握解基本题的技能，只有掌握了数学方法，才能达到举一反三，从解决一道习题实现能解决一批习题，逐步提高解综合问题和应用问题的能力，做到触类旁通。

　　学习课程标准建构知识网络
  
　　《课程标准》会反映命题的方向，不但可以使考生从宏观上准确掌握考查内容，做到复习不超纲，不作无用功，而且可以使考生从微观上细心推敲对众多考点的不同要求，分清哪些内容只要一般理解，哪些内容应重点掌握，哪些知识又要求灵活运用和综合运用。第一轮复习，在基础知识形成体系上花功夫，但知识与知识之间的网络还没有完整建立起来。第二轮复习，使知识不断深化是当务之急，所以每位考生应当结合课本，对照《课程标准》把知识点从整体上再理一遍，既有横向的串联，又有纵向的并联，这样才能逐步形成和扩充知识结构系统，在解题时可由考题提供的信息，从知识结构系统中检索相关信息进行组合，寻找解题途径，优化解题过程。同时还应针对近几年上海市的高考走向进行研究分析，准确把握难度，虽说年年有新题型、新情景出现，但总体上还是稳定的，所以复习的着眼点是放在建构完整的“知识网络”上，“以不变应万变”，从而突破弱点，培养能力。

　　抓好专题复习领会数学思想

　　高考数学第二轮复习实质上是知识专题和方法专题的复习，在知识专题方面可以进一步巩固第一轮单元复习的成果，加强各数学板块知识的综合。方法专题是指对高中数学中涉及的重要思想方法，主要有函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法、化归与转化的思想方法……数学思想方法是数学的精髓，对此进行归纳、领会、应用，才能把数学知识与技能转化为分析问题解决问题的能力，使学生的解题能力和数学素质更上一个层次，成为“出色的解题者”。

　　第二轮复习中还要加强必要的针对性专题的复习，如最值问题，开放性、探索性问题，应用问题，阅读理解问题……最值问题涉及的知识点多，题型丰富，而解决这类问题需要较强的抽象、判断、运算能力，还要讲究技巧。开放性探索性问题旨在培养学生的思维能力和思想方法，是高考命题的热点。应用问题则是每年必考而且考查力度呈上升趋势的题型，是高考命题的又一热点。阅读理解和类比推广问题重在知识形成过程，是高考命题的一个重要视角，应当引起重视。

　　重视反思总结尽量减少失误

　　在复习过程中当然还要做一些高考模拟卷，应当挑选导向性好、难度适中的综合卷进行考前的适应性训练，两小时内完成，每做一份试卷力求达到一定的效果。完卷之后，应进行认真总结，找准自己的薄弱环节，看一看自己在数学知识上还有什么薄弱环节，认真加以补上；看一看自己在解题方法上是否还有薄弱环节，在总结解题策略上提高解题能力；看一看自己在思维上是否还有薄弱环节，从变换视角、逆向思维和求异思维中提高思维的灵活性、创造性。对试卷中做错的地方进行纠正、分析、反思是非常必要的，所以千万不要做好试卷对一对标准答案就完事，对易出错的地方应扎扎实实地进行整理归纳，这样做可以减少失误，杜绝低级错误。

　　做好心理调适掌握应试技巧

　　考试的过程是紧张劳动的过程，既有体力上的，又有心理上的，想要在高考中取得好成绩，不仅取决于掌握扎实的数学基础知识，熟练的基本技能和出色的解题能力，还取决于考前的身体状况、心理状况和临场发挥。

　　越是临近高考越不应把大量精力放在做模拟卷上，切忌由于对自己不放心，总是多做几套，打疲劳战肯定得不偿失。这时候，首先应当休息好，抽点时间把高中教材结合《课程标准》像看电影一样“过一遍”，对每章每节涵盖的知识点进行回忆和联想，回忆运用这些知识能解决哪些题型，联想几个知识点结合起来又能解决哪些题型。

　　自信心和优良的心理素质是取得成功的重要条件，良好的心态可以确保水平的正常发挥，进入考场应沉着应对，先易后难，重视审题，稳扎稳打，尽量做到层层有据，步步正确，该交待的一定要交待清楚，争取在高考中获得数学高分.

温故知新学数学 [学习经验]

发表于：2012-08-26 阅读：22次

温故而知新，是两千多年前我国大教育家孔子所提倡的学习方法。但对于我们今天学习数学来说，也是有益的。如何才能做到温故知新？可以从以下几个方面考虑：

（1）学会对比      在学习新知识时，要同时对比着复习有关的旧知识，并着重弄清它们的区别和联系，特别是区别，因为正是这个区别，才标志着所学的是“新”知识。例如，在学习相似三角形判定定理时，可以与全等三角形的判定定理对比学习。通过对比可以发现，它们在结构上是类同的，定理中对应角相等的条件是一样的，主要区别在于对应边相等变成了对应边成比例。这样一来，定理更易于理解和掌握。

（2）学会总结归纳            抽象概括是数学的一个重要特征，在一部分内容学完之后，对其及时进行总结归纳，可以帮助我们更系统地掌握知识，提高能力。例如，在学完无理数之后，把所学的数的概念进行归纳如下：

 

                                        实数

                                       

那么，我们对实数概念的掌握就更深刻。

另外，经常进行概括总结，还有助于我们发现解题方法和规律。例如，当我们学习方程解法后，及时总结出高次方程可以转化为低次方程求解这一规律，再解方程：x6-2x3-3=0就不感到困难了。

（3）学会推广演变           一方面，随着学习的深入，我们会遇到许多旧知识所不能解决的问题，这就需要对原有的知识进行推广。如当我们在正数和零的范围内无法表示海平面以上的高度和海平面以下的高度时，就必须把数的范围推广到有理数；另一方面，许多新问题，包括中考题，竞赛题，往往是由课本中的例题、习题推广而来的，例如：

例1：在△ABC中，D、E是B、C的三等分点，M是AC的中点，BM交AD、AE于G、H，则BG：GH：HN等于                          （    ） 

（A）3：2：1      （B）4：2：1      （C）5：4：3    （D）5：3：2 

这是1993年“祖冲之”杯数学邀请赛中的一道题，实际上是以下例题的推广变形：

例2、已知BE、CF是△ABC的中线，它们相交于G.

求证：        =         =       .

把题中的中点条件改成三等分点，就可以推广演变成例1。因此，学会利用旧知识，进行推广、演变，对我们学习新知识，提高解题能力，有很大的帮助。

（4）防止因“旧”扰“新”            因“旧”扰“新”是学习中出现错误、困难的一个重要原因，这既有客观因素，如初学用字母表示数时，总觉得很抽象，难以接受，这是以往习惯于用具体数字表示数对学习新知识的干扰；也有主观因素，例如在学习幂的运算时，初学的同学总易出现如a3+a3=a6，a3×a5=a15之类的错误，这是因为对新知识理解不透，掌握不牢，旧知识对新知识的干扰就会乘虚而入。因此，我们在学习时，既要注意温故知新，又要注意防“旧”扰“新”，才能取得较好的效果。

总之，通过“温故”而“知新”，不仅有助于我们学习新知识，也是我们提高学习效率的一种方法。对我们掌握数学知识，提高能力有很大的好处。

    

复合函数面面观 [高中数学]

发表于：2012-08-26 阅读：4次

 在高中数学新教材的函数这一章中，没有复合函数的知识介绍，而复合函数是高考年年必考的重点内容，在与新教材配套的同步辅导资料中也有与复合函数有关的题目，学生由于没有资料可借鉴，难以对复合函数有一个系统的了解，笔者根据多年的教学经验，结合高考考查内容，对复合函数的知识作点系统归纳，供大家研讨参考。

图形语言在集合问题中的应用 [高中数学]

发表于：2012-08-26 阅读：24次

在数学教学中，注意引导学生用数学语言表达问题，进行交流，形成用数学的意识，对于培养学生思维品质、提高思维水平是非常重要的。数学语言包括符号语言、文字语言和图形语言。

 

学好集合知识，必须理解把握好数学语言，特别是图形语言在集合知识中的应用。会用简约、准确的数学图形语言来转换相关的数学问题，是数学的其本能力之一，也是“数形结合”这一思想在集中体现。

复合函数面面观 [高中数学]

发表于：2012-08-26 阅读：5次

 在高中数学新教材的函数这一章中，没有复合函数的知识介绍，而复合函数是高考年年必考的重点内容，在与新教材配套的同步辅导资料中也有与复合函数有关的题目，学生由于没有资料可借鉴，难以对复合函数有一个系统的了解，笔者根据多年的教学经验，结合高考考查内容，对复合函数的知识作点系统归纳，供大家研讨参考。

高三数学后期备考复习浅谈 [学习经验]

发表于：2012-08-26 阅读：19次

距高考还有十几天时间，各校后期备考复习陆续开始。下面就后期备考复习每一阶段的做法和应注意的问题谈谈自己的看法。

   1.重视对《考试说明》的研究，并结合对近年高考题的认真分析，深化对高考题的认识

    高中数学总复习是策略性高、针对性强的一项工作．研究《考试说明》中对考试的性质、考试的要求、考试的内容、考试形式及试卷结构各方面的要求，并以此为复习备考的依据，也为复习的指南，做到复习不超纲，同时，从精神实质上领悟《考试说明》，具体来说是：

    (1)细心推敲对考试内容三个不同层次的要求.准确掌握哪些内容是了解，哪些是理解和掌握，哪些是灵活和综合运用.这样既明了知识系统的全貌，又知晓知识体系的主干及重点内容.

    (2)仔细剖析对能力的要求和考查的数学思想与数学方法有哪些，有什么要求.明确一般的数学方法、普遍的数学思想及一般的逻辑方法(即通性通法).

    再结合近年，特别是2004年高考试题的分析研究和学习领会教育部考试中心对试题的分析报告，您会有所体会并认同如下策略：

    重视教材，狠抓基础是根本；立足中低档，降低重心是策略；过程中发展能力，提高素质是核心.

   2.专题讲座

    目的在于强调和突出重点，解决基本数学思想和数学方法的落实.如果说第一阶段主要以纵向为主、顺序复习的话，那么这一阶段就是以横向为主、深化提高了.专题的选取可包括：①全面复习过程中反映出来的弱点；②教材体系中的重点；③近年高考试题中的热点；④基本数学思想方法的系统介绍.如数学归纳法、反证法、换元法、待定系数法、配方法，以及函数与方程思想、数形结合思想、等价转换思想、分类讨论的思想等.

3.模拟训练

    选用资料要依据《考试说明》的要求层次，结合各校学生的自身实际，适当参考近年的高考试题，题量要适当，难度要适中，并要有一定的综合性.对于外地资料，要有所取舍，要有选择地使用.综合练习后，学生应进行一次反思，教师要进行一次讲评，针对学生存在的问题进一步有重点、有针对性、有目标地进行复习，有利于进一步的提高.

   4.突破一个“老大难”问题

    “会而不对，对而不全”是一个老大难问题.“会而不对”是拿到一道题目不是束手无策，而是在正确的思路上，或考虑不周，或推理不严，或书写不准，最后答案是错的.“对而不全”是思想大体正确，最终结论也出来了，但丢三落四，或缺欠重大步骤，中间某一步逻辑点过不去；或遗漏某一极端情况，讨论不够完备；或是潜在假设；或是以偏概全等.这个老大难问题应该认真重视，并综合治理加以解决.

5.注重良好习惯的培养

    (1)速度.考试的时间紧，复习时一定要有速度意识，加强速度训练.用时多，即使对了也是“潜在丢分”，要避免“小题大做”.

    (2)计算.数学高考历来重视运算能力，虽近年试题计算量略有降低，但并未削弱对计算能力的要求.运算不仅要熟练、准确、简捷、迅速，还要与推理相结合，要合理.

    (3)表达.在以中低档题为主体的高考中，获得正确的思路相对容易，如何准确而规范地表达就变得重要了，因此，复习中要有书写要求，模拟考试后要求交“满分卷”.

   6.注重学生的心理辅导和心理调节

教师应对学生出现的各种心理问题及时给予有针对性的辅导、咨询，帮助他们解决心理困扰，以平常心对待高考，提高学生面对高考的心理能力.还应结合实际教给学生应试的一些基本策略和临场发挥的技巧、经验，要加强考试的常规要求训练.

含绝对值不等式解法的推广 [高中数学]

发表于：2012-08-26 阅读：644次

绝对值不等式是数学中的重要内容，在历届高考中，绝对值不等式除独立命题外，也常与其它知识相结合命题，试题难度一般是中等难度或中等偏高的问题。在学习过程中，要注意掌握含绝对值不等式的基本思想：含绝对值不等式

一道几何折叠题的解法 [高中数学]

发表于：2012-08-26 阅读：15次

让学生走进生活、感悟数学 [学习经验]

发表于：2012-08-26 阅读：1次

数学是对现实世界的一种思考、描述、刻画、解释、理解和应用，其目的是发现现实世界中所蕴藏的一些数与形的规律，为社会的进步与人类的发展服务。数学是一个非常美的领域，这是因为数学的主要部分是由人类的心灵创造和构成的。数学与科学技术、人文科学、经济发展等都有着广泛的联系。“数学来源于生活，又运用于生活。”在我们身边的大千世界中蕴涵着大量的数学信息，而数学在现实世界中也有着广泛的应用。
    一、对数学的认识
    说到数学，大家都会觉得只是“计算”和“证明”，学生学数学只要会做题就行了。而在使用新教材的过程中，我逐步体会到了，数学它本身不只是“数字符号”，它有更丰富的内涵，它与人的生活息息相关。数学是对现实世界的一种思考、描述、刻画、解释、理解，其目的是发现现实世界中所蕴藏的一些数与形的规律，为社会的进步与人类的发展服务。我们可以自由探索自己心目中的数学世界，正是这种自由探索才是数学美的体现。我认为,数学学习应该是一种有广泛的思维空间和实践空间,是生动有趣的学习活动,学生是可以用心去体会感悟的。
    1、  数学来源于生活
    数学是生活的一部分，它是在这个现实世界中生存的，离开了现实生活这个世界，数学将是一片死海，没有生活的数学是没有魅力的数学。同样，人类也离不开数学，离开了数学人类将无法生存和发展。为了使学生切实体会到数学源于生活，我提倡学生写数学日记，记录生活中发现的数学问题，达到了很好的效果，学生的日记中体现着他们对数学的发现、应用和理解。
    ２、数学是一种文化 
    数学是思维与线条的文化。数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。由于实际的需要，数学在古代就产生了，现在已发展成一个分支众多的庞大系统。数学与其他科学一样，反映了客观世界的规律，并成为理解自然、改造自然的有力武器。
    作为21世纪的数学教师，不能只让学生学会做各种各样的“习题”，而是要让学生去体会到数学的一种社会价值，并且从生活中去体会一种数学思想。数学里包含着丰富的哲学道理和人文精神，教师在教学的过程中应当积极发掘数学中蕴涵的宝贵的东西。我们说，无论是哪一种学科，都要考虑到人的全面发展，数学学科尤其重要，应结合一定的教学情境，培养学生良好的思想品德及优良的学习习惯，老师不仅要做经师，更重的是要做人师，教书的同时一定要育人，把育人放在首位。
    二、对新课改数学教学的思考：数学教学应该教给学生什么？
   《数学课程标准》建议教师“让学生在现实情境中体验和理解数学”，可见在体验中感悟数学知识是学生掌握数学知识和技能的重要途径。作为数学教师要为学生感悟数学创设和谐的情境，触动学生的生活积累，使学生能有所悟，能自悟自得，并能在实践活动中深化感悟。
    一般来说，中小学数学教学的功能包括两个方面：一是实践功能，即它与人们的生产活动和日常生活有着密切的联系。数学教学的内容来自于人类日益丰富、不断提高的生产活动和社会生活，并通过对一代代新人的培养，而越来越明显和能动地促进各个时代，尤其是现代社会的生产活动和社会生活的发展和进步。二是精神功能，即它联系于人们的思维与方法。通过对儿童的数学教学，在早期就尽可能充分地开启儿童的智慧，发展儿童的思维品质和思维能力，丰富儿童的精神世界，能为他们日后乃至终身的良好发展，创造高质量的生活，奠定不可或缺的极为重要的基石。20世纪80年代开始，美国教育界提出了“大众数学”的教育理念，“大众数学”的实质是指对数学教学进行再创造，使之顺应学生的需要，顺应社会的需要。在理解大众数学的基础上，提出了下列理念：①数学对任何人都有价值。②几乎所有人都能学会大量的数学。③数学教学应鼓励各种程度的学生积极参与。④学校数学不仅限于算术、代数、几何，在各个阶段都应扩充内容。⑤课堂不应脱离现实世界。⑥问题的主要根源在课程。⑦教师应提高对数学教学的责任心。
    我们认为，数学学习应该是一种有广泛的思维空间和实践空间，是生动有趣的学习活动，学生是可以用心去体会感悟的。而以往的数学学习，常常使学生们感到离开自己的生活实践太远，枯燥乏味。其实，数学学习完全可以将学生学习范围延伸到他们力所能及的社会生活和各项活动之中，将教育和生活融为一体，让学生获得更多的直接经验和感受体验。教给学生思维方式与思维的习惯。让学生去体会感悟数学的智慧与美。
    三、新课程下教师该怎么办？重新认识数学、感悟数学
    新课标强调数学教学应重视从学生的生活经验和已有知识中学习和理解数学，使他们体会到数学就在身边，数学和现实生活是密切联系的。数学课上不是教给学生多少知识，而是要教给他们思维的方法，开发他们脑中未被开发的脑细胞，要想做到这一点，就要求我们教师要不断的充实自己。
    体验是青少年在实践活动中亲身经历的一种心理活动，更多的是指情感的一种体会和感受。而这种体会和感受外在表现出来便是学生的感悟。学习数学知识悟性是重要的决定因素，它与数学教学有密切的关系，它是一种具有生命驱动力的思维形态，介于感性认识和理性认识之间，是联结感性与理性的带有生命体验的心灵之桥。可以说，没有以悟性点醒的材料是僵化的凝固的材料，没有以悟性化解的理论是空洞、乏味的理论。悟性的养成与提高主要靠学生学习数学知识的体验。由此我认为应由以下几个方面来加强：
（一）、创设和谐的情境，使学生能有所感悟
    “让学生在生动具体的情境中学习数学”，“让学生在现实情境中体验和理解数学”是《数学课程标准》给我们广大数学教师提出的教学建议。的确，创设宽松、和谐的教学情境有利于激发学生学习数学的兴趣和求知欲望，调动学生学习数学的积极性；有利于学生认识数学知识，体验和理解数学，感受数学的魅力，从中能有所感悟，掌握必要的基础知识和基本技能。
（二）、触动生活积累，在体验中使学生自悟自得
    感悟是一种心理现象，也是一种心理过程，先有所感，方有所悟。感悟主要借助感知，感知的形成又要依赖于学生的亲身体验，依靠平时积累。学生有了一定的感性经验，就可以通过自己的感受、体会、揣摩而有所感悟。在数学课堂中，教师不能过早地将具体的知识抽象化，感性的知识理性化，使学生匆匆跨过感性阶段而步入理性的殿堂，有的知识讲得越多，学生越不明白，而应主要让学生自悟自得。
  （三）、在实践活动中深化感悟
    悟性的高低，标志在一个人的智力水平。在教学中，不同学生往往表现出不同的悟性，言语、思维有的产生“奇思怪想”，有的是“平淡无奇”，作为教师就要善于发现学生中因为思维撞击所溅起的“智慧”火花，引导或利用学生去矫正学生的思维方向，由学生自己去梳理自己的思路，去捕捉别人思维的闪光点。为了真正让学生走进生活、感悟数学需要我们教师做到：
    １、教师要不断更新教学形式
    新课标下的数学教学需要教师组织大量的数学活动，让学生体会知识的产生发展过程。关于活动课国家有统一的指导思想：结合学生特点，发挥学生的主动性和创造性，使学生受到政治思想道德教育，扩大视野，动手动脑，增长才干，发挥志趣和特长，丰富精神生活，增进身心健康。
    ２、教师要不断更新教学语言、素材
    生动的素材能在学生心目中留下永恒的记忆，而活泼的语言又是激发学生求知欲的良方。不同年龄段的学生有自己的思维方式和思维习惯，教师要针对他们的特征，选择适当的素材，采用贴切的语言才能收到预期的效果。
    ３、教师要不断更新教学手段、掌握数学技术
新课标下的数学教学只靠传统的粉笔加黑板是无法完成达到要求的。有许多图片、图象需要多媒体展示，许多知识的发生发展过程需要电脑演示。在教学中我们会经常遇到用较多的语言说明一些概念、算理、公式等现象，而且它往往又是教学的重点和难点，借助多媒体辅助教学，可以活化这些现象，而且特别直观、形象，从中不需要教师多言语学生就可以自己感悟到数学知识。教师必须掌握现代化教学手段，才能为学生提供丰富的知识和素材。
    数学课堂是常被人认为比较枯燥、乏味、和缺乏激情的，因此，努力创建既宽松、又富有人情味的且便于学生善于思考、乐于探究的课堂环境显得尤为重要。只有当学生体会到数学的乐趣学生才会主动学习和感悟数学，数学教学才能为学生的未来发展服务；才能给我们的所有学生：一双能用数学视角观察世界的眼睛；一双能用数学思维思考世界的头脑；一副为谋国家富强人民幸福的心肠。

高中数学竞赛一些著名不等式及应用 [高中数学]

发表于：2012-08-26 阅读：171次

高中数学竞赛大纲（修订稿）明确指出高中数学竞赛（二试）主要考察ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

1平均值不等式及应用

1.1、相关定义

3  排序不等式