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高考数学必拿分：三角函数综合大题（一）
发表于：2014-04-11阅读：625次
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引言： 高考数学无疑是令广大考生头疼的一门，但实际情况上高考题远远比我们平时想象的要容易得多，关键看你能不能啃得动大骨头（大部分高考题都是中等难度以下），而三角函数大题则无疑是诸多大题中最简单又最容易丢分的一题，如果处理不好，和人家的差距就由此拉开了。所以，要想决胜高考，首先要确保自己的主体实力，再想高精尖处拉分。在高考不到100的时间里，如何拿稳分数，巩固提升并进，在这至关重要。在此，笔者以一个过来者的身份，为大家讲述高考数学如何在该拿分的题目上拿稳分数！
那么，在这篇文章中，我们先来看看三角函数大题的“拿分锦囊”： ①两个必考定理：正弦定理、余弦定理（几乎都是绑定考查的） ②必考公式：两角和或差的正余弦公式（正向运用和逆向运用）；二倍角公式 ③公式化简：形如ASinX+BCosX的三角函数化简为仅含Sin或仅含Cos的三角函数； ④与函数、向量、三角形综合运用 由于出题灵活，但万变不离其宗，只要抓住：以“两大定理”为核心，其余方法、公式为途径，深挖隐含条件，那么这类大题可谓引刃而解。现在，我们以一道典型题，先来讲讲三角和函数综合的大题如何快速破解。 例题：已知函数f(x)=4sin(2x+2∏/3)cos2x. (I)求f(x)单调递增区间. (II)若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足b=√3 a, sin(2A+C)/sinA=2+2cos(A+C),求f(A)的值. 分析：本题考查三角函数知识与函数的综合，属于中难题。 (I)首先，第一小题要求函数单调区间，则首先要把函数解析式化简为可判断单调性的形式，联系三角函数知识，我们对单一的某个三角函数如正弦或余弦的单调性都很熟悉，所以第一题的思路很快找到了——转化成只含一种函数名的三角函数，再利用某种三角函数（或正弦或余弦）的单调性及复合函数性质最终求得x的相应范围，注意周期性 (II)然后，对于第二题，看似复杂，其实就是将“正弦定理”与“余弦定理”稍加包装，由题意可知要先求出A的大小，者就启示我们余弦定理cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc),求出cosA,由于A在0~180度以内，则很容易确定A的大小，带入解析式就迎刃而解。这其中，a、b、c三者的关系是需要依据条件化简求得的。 解题示范： (I) $\because$∵ f(x)= 4sin(2x+2∏/3)cos2x=4(sin2x cos2∏/3+sin2∏/3 cos2x)cos2x =(-2sin2x+2√3 cos2x)cos2x =-2sin2xcos2x+2√3cos2xcos2x =-sin4x+√3(cos4x+1) =2[(-1/2)sin4x+(√3/2)cos4x]+√3 =2sin(∏/3-4x)+√3 易知f(x)是有y=2sinU+√3和U=∏/3-4x两个函数复合而成 又 y=2sinU+√3 在[-∏/2+2k∏, ∏/2+2k∏] （k∈Z）上递增， 所以当 -∏/2+2k∏≤∏/3-4x≤∏/2+2k∏，k∈Z时满足题意 解得：-∏/24-k∏/2)≤x≤-5∏/24-k∏/2, k∈Z 即f(x)的单调递增区间为[-∏/24-k∏/2),-5∏/24-k∏/2], k∈Z. (II)由于在一个三角形中，sin(A+C)=sin(∏-B)=sin(B),cos(A+C)=cos(∏-B)=-cosB 由已知条件，得sin(2A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C) sin(A+C)cosA+sinAcos(A+C)=2sinA-2sinAcosB sinBcosA-sinAcosB=2sinA-2sinAcosB sinBcosA+sinAcosB=2sinA sin(A+B)=sinC=2sinA 由正弦定理，得：sinA/sinC=a/c, 则c=2a 又b=√3 a，则由余弦定理，得：cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc) =(3a^2+4a^2-a^2)/(4√3 a^2) =6/(4√3) =√3/2 而A为三角形内角，在0~180度之间，所以A=∏/6 f(A)=4sin[2*(∏/6)+2∏/3]=4sin∏=0 综上所述，对于一般的三角与函数综合的大题，只要清楚求的是什么，就能想到相关的知识点，万一思路暂时找不到，一定要尝试往应用正弦定理、余弦定理这一方向思考，它们可以使角度关系式与长度关系式相互转化，从而整合所有条件，这就是用出题者思维解题，常常可见柳暗花明之功。 |
