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高考试题多种解答
发表于:2013-09-04阅读:26次

2013届福建省高考压轴卷数学理试题)已知函数 若存在函数 使得 恒成立,则称 是 的一个“下界函数”.


(I) 如果函数 为实数 为 的一个“下界函数”,求 的取值范围;


(Ⅱ)设函数  试问函数 是否存在零点,若存在,求出零点个数;若不存在,请说明理由.


【答案】解:(I)解法一:由  得   


记 则   


当 时,  所以 在 上是减函数,


当 时,  所以 在 上是增函数,  


因此  即   


解法二:由  得   


设 则   


(1)若 由 知


在 上是增函数,在 上是减函数,  


因为 恒成立,所以 解得   


(2)若 当 且 时,  


此与 恒成立矛盾,故舍去 ;  


综上得   


(Ⅱ)解法一:函数  


由(I)知 即   


  


设函数  


(1)当 时,


在 上是减函数,在 上是增函数,


故  


因为  所以  即   [来源:Z,xx,k.Com]


(2)当 时,   


综上知  所以函数 不存在零点  


解法二:前同解法一,   


记  则  


所以 在 上是减函数,在 上是增函数,


因此   [来源:学&科&网]


故  所以函数 不存在零点  


解法三:前同解法一, 因为 故   


设函数  


因此 即   


故  所以函数 不存在零点  


解法四:前同解法一,因为 故   


从原点 作曲线 的切线 设切点为 , [来源:学科网]


那么 把点 代入得 所以  


所以 (当且仅当 时取等号),即   


故  所以函数 不存在零点  

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