恒成立的 “藏身”之地

函数隐性恒成立是指在题目中没有明显出现“恒成立”“ 均成立” “ 任意” “ 都成立”字样,若明若暗,隐而不显,含而不露的恒成立条件, 它具有一定的隐藏性与深刻性,极易被解题者忽视, 高一高二的同学在学习时大多数没有引起足够的重视,到了高三时往往是一点即破.自已感到很纳闷.为什么总是想不到.实际上只要在平时的学习中多理解一点，多悟一点在解答问题时,若能够深入地挖掘这些隐性恒成立的条件,将问题转化成恒成立问题,则可达到事半功倍的效果.

“藏身”之一:函数 定义域D.

对 ,函数 有意义,它实际上含有恒成立的情况.如在求定义域中隐含着偶次方根的被开方数大于等于零,对数的真数都要大于零等.

例1:要使函数 在x∈(－∞，1]上有意义，求a的取值范围．

解　由题意得 在x∈(－∞，1]上恒成立，即 在x∈(－∞，1]上恒成立．又

令 ,则 ,则f(t)在上为减函数， ,即.

∵ ，在[，＋∞)上恒成立，.  

“藏身”之二:函数 的值域.

函数 定义域D. 值域M.即对任意 ,存在 使

例2:函数 的值域为R求 的取值范围

解: 对任意 ,存在 使 , 有解,由于 , 的开口向上,所以 故有 即 或

“藏身”之三:函数 的奇偶性.

函数的奇偶性定义,在定义域中若有 ,则 为奇(偶)函数.在逆用函数的奇偶性时,对我们解题大有用武之地的.

例3:已知定义域为 的函数 是奇函数,求 之值

解:根据条件有: ,

  即   由于上式恒成立,故有       定义域为  故   有解,即

“藏身”之四:函数的单调性.

对 ,若 则 (或 ),则 为单调增(减)函数.它与不等式密不可分,它的核心也是隐含不等式的恒成立.

例4:已知函数 常数 ．若函数 在 上为增函数，求 的取值范围．(07上海高考题改编)

解法一：设 ， ，  

    要使函数 在 上为增函数，必须 恒成立．

    ，即 恒成立． 

    又 ， ． 的取值范围是 ．

解法二：   ,在 恒成立.

点评:. 当已知函数单调性时，我们可以从定义, 函数导数，将函数在指定区间上的单调性，转化为不等式恒成立的问题。从而可以通过分离参数求最值的方法来得到参数的取值范围。上述两解法,是解决此类问题的通法

“藏身”之五:函数的最值.对 则有 (或 ),则 为 的最小(大)值.这是典型的恒成立问题.

例:已知函数                   若对于任意实数 ,均存在以 三边长的三角形,则实数 的取值范围是        

解:      当仅当 时成立.

当 时 根据条件对任意 ,均存在以 三边长的三角形,则必有  即 ,即  

当 时       

当 显然成立         

点评：最值是一种特殊的恒成立，即函数值恒比一个常数大或恒比一个常数小。有时利用这样的思想来解决问题有会收到意想不到的效果。

“藏身”之六:函数周期性  对 有 , 为 的周期.

例:是否存在 使函数 是一个最小正周期为 的周期函数,若存在,求出实数 的值,若不存在请说明理由.

解:设存在实数 ,根据条件有:

即          ,恒成立.   从而不存在这样实数

“藏身”之六:函数的对称性.

.函数 定义域D ,若 则 关于 对称. 若 则 关于 对称.上式两式都是恒成立的.

例:(2010上海春考)函数 的图象关于点P对称,则点P 坐标为()

A     B     C        D(0,0)

解:设 由 对任意 恒成立,代入得 整理得 故 从而 所以选C