信息迁移型

信息迁移题是指以考生已有的知识为基础，在此基础上设置一个新的数学情境，或把已有的知识进一步引申，设置一个简单而又熟悉的物理情境或生活情境或定义新的数学内容，要求考生读懂题目，并根据题目引入的新内容解题．

例4如图是集合 中的点在平面上运动时留下的阴影，中间形如“水滴”部分的平面面积为                    （    ）

 A.     B.      C.      D.

分析：圆 的半径为 ，圆心在半圆 上，“水滴”共由图中的三部分组成，其中 ， 的面积都为半径为 、圆心角为 的扇形面积减去一个直角三角形的面积， 为半径为 的半圆的面积．

解：图中的“水滴”面积共由三部分组成，即 ， ， ，其中 ，而 ， ，所以“水滴”部分的平面面积为 ．故选C．

评注：此题问题背景比较新颖、别致，问题设计耐人寻味，但用的知识却很传统，所以只要细心剖析题意，用所学知识便不难使问题获解．

趁热打铁：

规定密码把英文的明文（真实文）按分母分解，其中英文 的 个字母（不论大小写）依次对应 这 个正整数，见表格：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

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并给你一个变换公式：

将明文转换成密文，若 → ，则 变为 ； → ，则 变成 ，按上述规定，若将某明文译成的密文是 ，你能否得出原来的明文？

解：字母 在密码表中对应的数字是 ，或 ，则 ，但原明文中只对应 个整数，从而 ，所以 ，因此 的明文是 ．

同理可求 → ， → ， → ．

因此 的明文是 ．

创新方向五：探索探究型                                                

探索性问题是开放性问题的一种，高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机融合，并赋予新的情境创设而成的．要求考生自己观察分析，创造性地运用所学知识和方法解决问题．

例5歌德巴赫（Goldbach．C．德．1690—1764）曾研究过“所有形如 （ ， 为正整数）的分数之和”问题．为了便于表述，引入记号：

＝ ＋ ＋

 

写出你对此问题的研究结论：               （用数学符号表示）．

分析： 可以分解成无数个无穷递缩等比数列组成，所以只需利用无穷递缩等比数列求和公式求解，然后利用裂项相消法便可得出相关结论．

解：

．

所以 ．

评注：本题给出背景看似深奥，其实只需透过表面看其本质，便可将“不可能”的问题转化为非常熟悉的问题进行求解．

趁热打铁：

已知定理：“若 为常数， 满足 ，则函数 的图像关于点 中心对称”．设函数 ，定义域为A．

（Ⅰ）试证明 的图像关于点 成中心对称；

（Ⅱ）当 时，求证： ；

（Ⅲ）对于给定的 ，设计构造过程： , ，…， ．如果 ，构造过程将继续下去；如果 ，构造过程将停止．若对任意 ，构造过程可以无限进行下去，求 的值．

解：（Ⅰ）∵ ，∴ ，由已知定理得， 的图像关于点 成中心对称；

（Ⅱ）首先证明 在 上是增函数，为此只要证明 在 上是增函数．

设 ，则 ，

∴ 在 上是增函数．

再由 在 上是增函数得，

当 时， ，即 ；

（Ⅲ）∵构造过程可以无限进行下去，∴ 对任意 恒成立，

∴方程 无解，即方程 无解或有唯一解 ，

∴ 或 ，由此得到