（2010陕西），如图：椭圆C： ，顶点为A₁A₂B₁B₂，焦点为F₁，F₂， ，

（1）求椭圆C的方程。

（2）设n是过原点的直线，L与n垂直相交于p点与椭圆相交于A、B两点的直线，|  |=1，是否存在上述直线L使 成立？若存在，求出直线L的方程；若不存在，请说明理由。

第20题图

解：（1）由 知a²+b²=7    ①

        由  知a=2c   ②

        又由b²=a²-c²     ③

由①②③解得a²=4，b²=3，故椭圆C的方程为

（2）设A、B两点的坐标分别为（x₁、y₁），（x₂，y₂），

假设使 成立的直线L存在。

①当L不垂直于x轴时，设直线L的方程为y=kx+m，由于L与n垂直相交于P点，且| |=1，得 ，即m²=b²+1

∵   | |=1

∴

         =1+0+0-1=0   即x₁x₂+y₁y₂=0

将y=kx+m代入椭圆方程，得（2+4K²）x²+8km+（4m²-12）=0

由根与系数关系可得       ④

                         ⑤

0=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）

=x₁x₂+k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+m²

将④⑤代入上式并化简得  7m²-12k²-12=0    ⑥

   将m²=1+k²代入⑥并化简得 -5（k²+1）=0 矛盾

即此时直线L不存在。

②当L垂直于x轴时，满足|OP|=1的直线L的方程为x=1或x=-1，当x=1时，A、B、P的坐标分别为

∴

∴    与题设矛盾

当x=-1时，同时可得  与题设矛盾

即此时直线L不存在。

综上可知，使 成立的直线L不存在这道题浓缩了解几模块大部分知识点和解题方法，对学生能力的考查上升到了一个更高的高度，能否正确解答此题是学生数学成绩高低的一个分水岭，更是尖子生的能否顺利进行名牌大学的一块试金石，解几模块在高中数学中以直线和二次曲线方程的求解和性质的研究与应用为核心，这道题很好地体现出了这一点，同时解题中常用的方法、技巧如（1）待定系数法；（2）设而不解；（3）整体代换；（4）分类讨论；（5）数形结合等也都有所体现，这些都和历年命题的思想一脉相承，保证了高考对解几知识考查的延续性和平稳性，但是这道题运用向量去进行处理，大大简化了运算量，从而保证了解题正确性的进一步提高