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轻弹簧是一种理想化的物理模型，以轻弹簧为载体，设置复杂的物理情景，可以考查力的概念、物体的平衡、牛顿定律的应用、能的转化与守恒，以及学生分析问题、解决问题的能力，所以在高考命题中时常出现这类问题，也是高考的难点之一。

 

弹簧问题的特点：在高考试题中，因弹簧长度不变而使弹力大小不变的例子不多见，更多的是弹簧长度持续变化的问题，在这类问题中弹力是变力。

求解弹簧问题的基本思路：对于变力问题，牛顿定律是适用的，但运动学(匀变速直线运动)公式则难以适用，有不少同学并没有注意到这一点。对于弹簧类问题，一般有三类求解思路：

(1)用牛顿第二定律、胡克定律等可以求解某些状态量，如瞬时加速度、弹簧形变量等；

(2)用能量思路可以求解一些过程量或状态量，如功、弹性势能、动能、速度等。

(3)用动量思路也可以求解一些物理量，但本届学生不作要求。

弹簧类问题综合性很强，物理情景复杂，物理过程较多，但只要我们仔细分析物理过程，找出每一现象所对应的物理规律，正确判断各物理量之间的关系，此类问题一定会迎刃而解。

例1．（弹力为恒力的问题）

Ｆ

Ｆ

F

Ｆ

Ｆ

①

②

③

④

（2004全国理综卷Ⅱ）如图所示，四个完全相同的弹簧都处于水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉力作用，而左端的情况各不相同：①中弹簧的左端固定在墙上，②中弹簧的左端受大小也为F的拉力作用，③中弹簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑动，④中弹簧的左端拴一小物块，物块在有摩擦的桌面上滑动。若认为弹簧的质量都为零，以l₁、l₂、l₃、l₄依次表示四个弹簧的伸长量，则有  D 

 

A．l₂＞l₁                       B．l₄＞l₃                        C．l₁＞l₃                       D．l₂＝l₄

例2．2010·海南物理·8如右图，木箱内有一竖直放置的弹簧，弹簧上方有一物块：木箱静止时弹自由落体处于压缩状态且物块压在箱顶上．若在某一段时间内，物块对箱顶刚好无压力，则在此段时间内，木箱的运动状态可能为

A．加速下降   B．加速上升  C．减速上升   D．减速下降

【答案】BD

例3．（09·山东·22）图示为某探究活动小组设计的节能运动系统。斜面轨道倾角为30°，质量为M的木箱与轨道的动摩擦因数为 。木箱在轨道端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速滑下，与轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程。下列选项正确的是             （  BC  ）

  A．m＝M

　B．m＝2M

　C．木箱不与弹簧接触时，上滑的加速度大于下滑的加速度

　D．在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，减少的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能

例4.（2010·全国卷）如右图，轻弹簧上端与一质量为m的木块1相连，下端与另一质量为M的木块2相连，整个系统置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态。现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块1、2的加速度大小分别为 、 。重力加速度大小为g。则有      （      ）

A． ，          B． ，

C． ，    D． ，

【答案】C

【解析】在抽出木板的瞬时，弹簧对1的支持力和对2的压力并未改变。对1物体受重力和支持力，mg=F,a₁=0. 对2物体受重力和压力，根据牛顿第二定律

例5．（弹力为变力的问题）（2009江苏物理）如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有   BCD

A．当A、B加速度相等时，系统的机械能最大

B．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大

C．当A、B的速度相等时，A的速度达到最大

D．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大

A

F

F₁

F₁

B

v

t

t₂

t₁

v₁

v₂

v

A

B

【解析】处理本题的关键是对物体进行受力分析和运动过程分析，使用图象处理则可以使问题大大简化。对A、B在水平方向受力分析如图，F₁为弹簧的拉力；当加速度大小相同为a时，对Ａ有 ，对Ｂ有 ，得 ，在整个过程中Ａ的合力（加速度）一直减小而Ｂ的合力（加速度）一直增大，在达到共同加速度之前A的合力（加速度）一直大于Ｂ的合力（加速度），之后A的合力（加速度）一直小于Ｂ的合力（加速度）.两物体运动的v-t图象如图，t_l时刻，两物体加速度相等，斜率相同，速度差最大，t₂时刻两物体的速度相等，Ａ速度达到最大值，两实线之间围成的面积有最大值即两物体的相对位移最大，弹簧被拉到最长；除重力和弹簧弹力外其它力对系统正功，系统机械能增加，t_l时刻之后拉力依然做正功，即加速度相等时，系统机械能并非最大值。

例6．（弹簧临界问题）一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定,下端系一质量为m的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。如图1所示。现让木板由静止开始以加速度a（a＜g＝匀加速向下移动。求经过多长时间木板开始与物体分离。

图1

分析与解：设物体与平板一起向下运动的距离为x时，物体受重力mg，弹簧的弹力F=kx和平板的支持力N作用。据牛顿第二定律有：

mg-kx-N=ma得N=mg-kx-ma

当N=0时，物体与平板分离，所以此时

因为 ，所以 。

    典型：kx=mg

例7．如图所示的装置可以测量飞行器在竖直方向上做匀加速直线运动的加速度．该装置是在矩形箱子的上、下壁上各安装一个可以测力的传感器（可测压力和拉力），分别连接两根劲度系数相同（可拉伸可压缩）的轻弹簧的一端，弹簧的另一端都固定在一个滑块上，滑块套在光滑竖直杆上．现将该装置固定在一飞行器上，传感器P在上，传感器Q在下．飞行器在地面静止时，传感器P、Q显示的弹力大小均为10 N．求：

(1)滑块的质量．（地面处的g=10 m/s²)

(2)当飞行器竖直向上飞到离地面 处，此处的重力加速度为多大？(R是地球的半径)

(3)若在离地面 处时，传感器P、Q显示的弹力大小均为F'=20 N，此时飞行器的加速度是多大？传感器始终竖直方向放置，P在上， Q在下。

解：(1)         （3分）

(2)         （3分）写出一公式得2分

解之得        （1分）

(3)由牛顿第二定律，得 ,     （2分）

 所以 .                    （1分）

例8．（2005全国理综Ⅰ）如图，质量为 的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为 的物体B相连，弹簧的劲度系数为k，A、B都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上升一质量为 的物体C并从静止状态释放，已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。若将C换成另一个质量为 的物体D，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B刚离地时D的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。

24 . ( 19 分）

A

B

m₂

k

m₁

开始时，A、B 静止，设弹簧压缩量为x₁，有

kx₁=m₁g   ①

挂C并释放后，C向下运动，A 向上运动，设B刚要离地时弹簧伸长量为x₂，有

kx₂=m₂g    ②

B不再上升，表示此时A 和C的速度为零，C已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为

ΔE＝m₃g(x₁+x₂)－m₁g(x₁+x₂)   ③

C换成D后，当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得

(m₃+m₁)v²+m₁v²=(m₃+m₁)g(x₁+x₂)－m₁g(x₁+x₂)－ΔE    ④

由③ ④ 式得(m₃+2m₁)v²=m₁g(x₁+x₂)     ⑤

由①②⑤式得v=   ⑥

 

例9.（09年福建卷）如图甲，在水平地面上固定一倾角为θ的光滑绝缘斜面，斜面处于电场强度大小为E、方向沿斜面向下的匀强电场中。一劲度系数为k的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端，整根弹簧处于自然状态。一质量为m、带电量为q（q>0）的滑块从距离弹簧上端为s₀处静止释放，滑块在运动过程中电量保持不变，设滑块与弹簧接触过程没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g。

 

 

 

（1）求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间t₁

（2）若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为v_m，求滑块从静止释 

放到速度大小为v_m过程中弹簧的弹力所做的功W；

（3）从滑块静止释放瞬间开始计时，请在乙图中画出滑块在沿斜面向下运动的整

个过程中速度与时间关系v-t图象。图中横坐标轴上 的t_1、t₂及t₃分别表示滑块第一次与弹簧上端接触、第一次速度达到最大值及第一次速度减为零的时刻，纵坐标轴上的v₁为滑块在t₁时刻的速度大小，v_m是题中所指的物理量。（本小题不要求写出计算过程）

答案：（1） ; （2） ;

(3)

解析：本题考查的是电场中斜面上的弹簧类问题。涉及到匀变速直线运动、运用动能定理处理变力功问题、最大速度问题和运动过程分析。

（1）滑块从静止释放到与弹簧刚接触的过程中作初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为a，则有

    qE+mgsin =ma                    ①

                            ②

联立①②可得

                    ③

（2）滑块速度最大时受力平衡，设此时弹簧压缩量为 ，则有

                      ④

    从静止释放到速度达到最大的过程中，由动能定理得

           ⑤

联立④⑤可得

    s

（3）如图

   

训练

1. 陕西省西安高新一中2010届高三高考模拟如图所示，弹簧秤外壳质量为m₀，弹簧及挂钩的质量忽略不计，挂钩吊一重物质量为m，现用一方向竖直向上的外力F拉着弹簧秤，使其向上做匀加速直线运动，则弹簧秤的读数为（  D   ）

 A   mg              B   mg       

 C          D   

2．广东省阳东广雅中学2010届高三周测如图所示，光滑水平面上有质量分别为m1和m2的甲、乙两木块，两木块中间用一原长为L、劲度系数为k的轻质弹簧连接起来，现用一水平力F向左推木块乙，当两木块一起匀加速运动时，两木块之间的距离是      （  B ）

A．      B．

C．           D．

3．湖北省众望高中2010届高三周练如图所示，质量相同的木块A、B用轻弹簧连接置于光滑的水平面上，开始时两木块静止且弹簧处于原长状态。现用水平恒力F推木块A，则从开始到弹簧第一次被压缩到最短的过程中： (  ABC  )

 

F

A

B

A．两木块速度相同时，加速度a_A< a_B

B．两木块加速度相同时，速度v_A>v_B

C．B的加速度一直在增大

D．A的加速度先减小后增大

4．合肥一六八中学2010届高三第二次段考如图所示，光滑水平面上，在拉力F作用下，AB共同以加速度a做匀加速直线运动，某时刻突然撤去拉力F，此瞬时A和B的加速度为a₁和a₂，则（   D   ）

A．a₁＝0，a₂＝0     

A

B

F

B．a₁＝a，a₂＝0

C．a₁＝ a   a    

D．a₁＝a  a₂＝－ a

5、如图所示，小车板面上的物体质量为m=8㎏，它被一根水平方向上拉伸了的弹簧拉住而静止在小车上，这时弹簧的弹力为6N。现沿水平向右的方向对小车施以作用力，使小车由静止开始运动起来，运动中加速度由零逐渐增大到1m/s²,随即以1 m/s²的加速度做匀加速直线运动。以下说法正确的是      (  AC  )

A．物体与小车始终保持相对静止,弹簧对物体的作用力始终没有发生变化

B．物体受到的摩擦力一直减小

C．当小车加速度（向右）为0.75 m/s²时，物体不受摩擦力作用

D．小车以1 m/s²的加速度向右做匀加速直线运动时，物体受到的摩擦力为8N

a

F

 

6、（ 07天津）如图所示，物体A静止在光滑的水平面上，A的左边固定有轻质弹簧，与A质量相同的物体B以速度v向A运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿同一直线运动，则A、B组成的系统动能损失最大的时刻是（  D  ）

A.A开始运动时           B.A的速度等于v时 

 C.B的速度等于零时      D.A和B的速度相等时

 

7、如图所示，一轻弹簧左端固定在长木板M的左端，右端与小木块m连接，且m、M及M与地面间接触光滑.开始时，m和M均静止，现同时对m、M施加等大反向的水平恒力F₁和F₂，从两物体开始运动以后的整个运动过程中，弹簧形变不超过其弹性限度，对于m、M和弹簧组成的系统（   C    ）

A、由于F₁、F₂等大反向，故系统机械能守恒

B、由于F₁、F₂大小不变，所以m、M各自一直做匀加速运动

C、当弹簧弹力大小与F₁、F₂大小相等时，m、M各自的动能最大

D、当弹簧弹力大小与F₁、F₂大小相等时，弹簧的弹性势能最大

（用在牛顿力学观点与能量观点的区别）

典错：选A

分析：学生对系统受外力平衡但机械能又不守恒不理解。可从结果和原因两个方面分析：

从结果：两物动能都增大，而弹性势能又增大，当然机械能增大。

从原因：两力作用下都在力的方向发生了位移，外力对系统都做了正功，系统机械能当然增大。

小结：系统所受外力的合力为零时，可理解成“系统平衡”，但各物体可以不平衡；

当一个物体所受的合外力为零时，物体的动能不变，但系统所受外力的合力为零时，系统的总动能不一定不变。

动能定理只适用于单个可看成质点的对象；对于由多个有相互作用的质点组成的系统，当相互作用力对系统所做的总功不为零时就不适用了。

 

8、（05全国理综Ⅲ）如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A 、B ．它们的质量分别为m_A、m_B，弹簧的劲度系数为k , C为一固定挡板。系统处于静止状态。现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，求物块B 刚要离开C时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位移d。重力加速度为g。

解：令x₁表示未加F时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知

C

θ

A

B

m_Agsinθ=kx₁   　　　　　　                ①

令x₂表示B 刚要离开C时弹簧的伸长量，a表示此时A 的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知

kx₂=m_Bgsinθ           　                ②

F－m_Agsinθ－kx₂=m_Aa    　         　    ③

由② ⑧ 式可得a=         ④

由题意     d=x₁+x₂    ⑤

由①②⑤式可得d=            ⑥

点评：此题在08年10月的月考中被选用，且没有作任何改动，得分率为0.47，主要的问题是：

（1）       用了整体法，但按A、B加速度相同来处理了

（2）       用了隔离法，但漏了A物的下滑分力了

（3）       求d时，没注意到弹簧初时的形变

分析：B刚离C时的临界问题，学生可能以为速度虽不能突变，但加速度可突变，这种想法对许多问题是正确的，但对弹簧而言比较特殊，由于弹簧弹力不能突变，B刚要离开前还是处于平衡状态，因此刚要离开C时也中是一个亚平衡状态，因为弹簧的弹力还没有显著地大于它的下滑分力。

思考：若用一轻杆代替弹簧会是什么情形？

 

9、如图所示，倾角为θ的直角斜面体固定在水平地面上，其顶端固定有一轻质定滑轮，轻质弹簧和轻质细绳相连，一端接质量为m₂的物块B，物块B放在地面上且使滑轮和物块间的细绳竖直，一端连接质量为m₁的物块A，物块A放在光滑斜面上的P点保持静止，弹簧和斜面平行，此时弹簧具有的弹性势能为E_p.不计定滑轮、细绳、弹簧的质量， 不计斜面、滑轮的摩擦，已知弹簧劲度系数为k，P点到斜面底端的距离为L.现将物块A缓慢斜向上移动，直到弹簧刚恢复原长时的位置，并由静止释放物块A，当物块B刚要离开地面时，物块A的速度即变为零，求：

   （1）当物块B刚要离开地面时，物块A的加速度；

   （2）在以后的运动过程中物块A最大速度的大小.

答案：(1) ，方向沿斜面向上    (1)