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静安区2008学年第一学期期末教学质量检测及评分标准
发表于：2012-04-27阅读：84次
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静安区2008学年第一学期期末教学质量检测 高三年级数学试卷 （本试卷满分150分 考试时间120分钟） 2009.1 考生注意： 1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．试题纸上题号后注明（理）的试题表示理科生做，注明（文）的试题表示文科生做，未注明的试题所有考生都要做．答题纸另页，正反面． 2． 在本试题纸（共4页）上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题． 祝考试顺利！ 一、填空题 本大题共有12小题，每小题5分，本大题满分60分．请将结果直接填入答题纸的相应位置． O A 1．计算： = ． 2．设 的展开式中含有非零常数项，则正整数 的最小值为 ． 3．已知某铅球的表面积是 cm2，则该铅球的体积是 cm3． 4．（理）如图，已知圆柱的体积是 ，点O是圆柱的下底面圆心，底 面半径为1，点A是圆柱的上底面圆周上一点，则直线OA与该圆柱 的底面所成的角的大小是 ．（结果用反三角函数值表示） （文）已知圆锥的母线长 cm，高 cm，则该圆锥的体积是 cm3． 5．已知复数 满足方程 ，则 ． 6．若复数 是纯虚数（ 为虚数单 位），则实数 ． 7．（理）8名同学排成前后两排，每排4人．如果甲、乙两同学必须排在前排，丙同学必须 排在后排，那么不同的排法共有 种．（用数字作答） （文）某班上午要排语文、数学、体育、英语四门课，如果体育课不排在第一节也不排在 第四节，则不同的排课方案共有 种．（用数字作答） 8．（理）已知等差数列 （ ）的首项 ，设 为 的前 项和，且 ， 则当 取得最大值时， ． （文）已知数列 的通项公式为 （ ），设 为 的前 项和， 则 ． 9．（理）某工厂的一位产品检验员在检验产品时，可能把正品错误地检验为次品，同样也会把次品错误地检验为正品．已知他把正品检验为次品的概率是0.02，把次品检验为正品的概率为0.01．现有3件正品和1件次品，则该检验员将这4件产品全部检验正确的概率是 ．（结果保留三位小数） 开始 结束 输入正整数k 输出S n -1 S 0 S S+2n n n+1 n £ k 否 是 （文）抛掷一枚均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6点），则事件“出现的点数大于4”的概率是 ． 10．已知周期为2的偶函数 的定义域是实数集 ，且当 时， ，则当 时， ＝ ． 11．执行右面的程序框图，如果输入的 k=50，那么输出的 S= ． 12．（理）已知关于 的不等式组 有唯一 实数解，则实数 的取值集合是 ． （文）已知关于 的不等式 的解集是 ，则实数 的取值范围是 ．
二、选择题 本大题共有4小题，每小题4分，本大题满分16分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，选择正确项的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置． 13. 函数 与函数 在 上的单调性为( ) ． （A）都是增函数； （B）都是减函数； （C）一个是增函数，另一个是减函数；（D）一个是单调函数，另一个不是单调函数 14．下列以行列式表达的结果中，与 相等的是（ ）． （A） ；（B） ；（C） ；（D） 15．已知长方体的表面积是24cm2，过同一顶点的三条棱长之和是6cm，则它的对角线长是 （ ）． （A） cm； （B）4 cm； （C） cm； （D） cm 16．已知关于 的不等式 的解集为非空集合，则实数 的取值范围是（ ）． （A） ； （B） ； （C） ； （D） 三、解答题 本大题共有5题，本大题满分74分．解答下列各题必须在答题纸的相应位置上写出必要的步骤. 17．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分. 20070412 （理） 是平面上的两个向量，若向量 与 相互垂直， （1）求实数 的值； （2）若 ，且 ，求 的值．（结果用反三角函数值表示） （文）已知 ， ， 是平面上的两个向量． （1）试用 表示 ； （2）若 ，且 ，求 的值．（结果用反三角函数值表示）
18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，已知直三棱柱 中， ， ，BC=1， ，点 分别是△ 边 的中点，求： (1) 该直三棱柱的侧面积； (2)（理）异面直线 与 所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示） 理科18题 （文）异面直线 与 所成的角的大小． 文科18题
19．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （理）根据统计资料，某工艺品厂每日产品废品率 与日产量 （件）之间近似地满足关系 式 （ ， ）（日产品废品率= ）．已知每生产一件正 品可赢利2千元，而每产生一件废品则亏损1千元．该车间的日利润额 按照日正品赢利 额减去日废品亏损额计算． （1）将该车间日利润额 （千元）表示为日产量 （件）的函数； （2）当该车间的日产量为多少件时，日利润额最大？最大日利润额是几千元？ （文）沪杭高速公路全长166千米．假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于60 千米/时且不高于120千米/时的时速匀速行驶到杭州.已知该汽车每小时的运输成本 ( 以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 (千米/时 )的平方成正比,比例系数为0.02；固定部分为220元. (１) 把全程运输成本 (元)表示为速度 ( 千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域； (２)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小?最小运输成本约为多少元？（结果保留整数）
20．(本题满分16分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分. 已知各项为正数的等比数列 （ ）的公比为 （ ），有如下真命题：若 ，则 （其中 为正整数）． （1）若 ，试探究 与 、 之间有何等量关系，并给予证明； （2）对（1）中探究得出的结论进行推广，写出一个真命题，并给予证明．
21．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分. 已知 ，函数 （ ）． （1）当 时，求所有使 成立的 的值； （2）当 时，求函数 在闭区间[1，2]上的最小值； （3）试讨论函数 的图像与直线 的交点个数． 说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分． 2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分． 一、（第1题至第12题） 1．1； 2．3； 3． ； 4．（理） ；（文） ； 5． ； 6． ； 7．（理）5760（文）12； 8．（理） 或 ；（文） （即 ）； 9．（理）0.932；（文） ；10． ； 11． 2548； 12．（理） 或 ；（文） ． 二、（第13题至第16题） 题 号 13 14 15 16 代 号 B C D C 三、（第17题至第21题） 17．理（1）由题设，得
的值为2. ………………………5分 （2）解法1： ， ………………………7分 …………………10分 又 ，所以 ． ………………………12分 解法2： ， ………………………10分 又 ，所以 ． ………………………12分 文：（1） = ； ………………………5分 （2）因为 ，所以 ；又 ， ，所以 ， ………………………7分 = ．……………10分 所以 ．（或 ， ） ………………………12分 18．（1） ， ………………………2分 ，所以该直三棱柱的侧面积是 ； ……………6分 （2）（理）取 中点 ，则四边形 为平行四边形， // ．在△ 中， ， ， ， ………………………9分 所以 ． ………………………12分 所以异面直线 与 所成的角的大小为 ．………………………14分 （文）因为点 分别是△ 的边 中点， 所以 // ，又 // ，所以 // ．所以 的大小就是异面直线 与 所成的角的大小， ………………………12分 所以，异面直线 与 所成的角的大小为60°． ………………………14分 （通过其他方法确定异面直线所成的角或用向量解答参照上述标准评分） 19．（理）（1） ，（ ， ）；……6分 （2）令 ，则 ， ．因为 ，9分 当且仅当 时取等号，而 ，当 或 时， 有最小值11，……12分 从而 有最大值为4．此时 或5． 即车间的日产量定为4件（或5件）时，该车间可获得最大利润4千元．……………14分 （或 ，当且仅当 时取等号，……） （文）（１）依题意知汽车从莘庄匀速行驶到杭州所用时间为 ，全程运输成本为 ， ……………4分 故所求函数及其定义域为 ……………6分 （２） （696.4）， ……………9分 当且仅当 ，即 （104.88）时上式中等号成立．……12分 （因为 ，）所以当汽车以105 km/h速度行驶时，全程运输成本最小，约为696元． ………………………………………………………………………………………………14分 20．（1）因为 ，所以 ， 即 ． ………………………6分 （2）以下列出推广命题的评分建议，命题证明部分的得分，不得超过推广命题的得分． 对于命题仅作形式上的变化，或者不是对（1）的推广不得分． 如：若 ，则 ； 第一层次：（仅对题目所列进行简单总结或对结构简单变化）1分 如：若 （分开写也可），则有 成立． 若 （其中 为正整数），则有 成立． 若 （其中 、 为正整数），则有 成立． 以下两个层次，可以根据学生的实际答题情况再作划分． 第二层次：（对于确定项数（至少三项）给出一般性结论或部分推广常数 ）3分 如：若 ，则 ； 如：若 ，（ ）则 ； 如：若 （其中 为正整数， 互素），则有 成立． 第三层次：（进行一般化的推广）5分 若 、 、 、 是公比为 的各项为正的等比数列 的任意m项，则存在以下真命题：若 ，则有 成立． 若 、 、 、 是公比为 的各项为正的等比数列 的任意m项，则存在以下真命题：若 （其中 为正整数， 互素），则有 成立． 21.（1）-1，1； ………………………………………3分 （2） ， 当 时， ，这时 ，对称轴 ，所以函数 在区间[1，2]上递增，最小值为 ； ……………………5分 当 时， 时函数 取得最小值1；………………………7分 当 时， ，这时 ，对称轴 ， ， ， ，所以最小值为 ；………9分 （3）因为 ，所以 ，所以 在 上递增； 在 递增，在 上递减． ………………………………………11分 又 ，所以当 时，函数 的图像与直线 有2个交点；…12分 又 ， ，所以 ，当 时等号成立（或 ，当且仅当 时等号成立）……14分 所以当 时，函数 的图像与直线 有2个交点； …………15分 当 时，函数 的图像与直线 有3个交点； …………16分 当 时，函数 的图像与直线 有3个交点； …………17分 当 时，函数 的图像与直线 有1个交点． …………18分 |
